Material Teórico - Módulo Triângulo Retângulo, Leis dos Cossenos e dos Senos, Poĺıgonos Regulares. Relações Métricas em Poĺıgonos Regulares - Parte 2

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1 Matrial Tórico - Módulo Triângulo tângulo, Lis dos ossnos dos Snos, Poĺıgonos gulars laçõs Métricas m Poĺıgonos gulars - Part Nono no utor: Prof. Ulisss Lima Parnt visor: Prof. ntonio aminha M. Nto 3 d stmbro d 08

2 xmplos Nssa sgunda part, xaminamos mais alguns xmplos nvolvndo rlaçõs métricas m polígonos rgulars. m particular, discutimos uns tantos xmplos mais laborados qu aquls aprsntados na primira part. xmplo. Na figura abaixo, o polígono é um hxágono rgular d cntro, cujo lado md dm. alcul o prímtro do polígono não convxo. dm Solução. omo podmos obsrvar na figura, o hxágono foi dividido m sis triângulos quilátros:,,,,. Sndo o ponto d intrsçãodos sgmntos, tmos = +. Também, como = =, sgu qu é a mdiatriz do sgmnto, assim, é o pé das alturas dos triângulos quilátros m rlação à bas comum. Lmbrando qu a mdida das alturas d um triângulo quilátro d lado l é igual a l 3, tmos qu o prímtro do polígono é, m dcâmtros, igual a = = = = xmplo. Na figura a sguir, tmos um quadrado um hxágono rgular inscritos m círculos d msmo raio. ncontr a razão ntr os prímtros do quadrado do hxágono rgular. J Solução. onform aprndmos na Part do matrial tórico dssa aula, as mdidas dos lados d um quadrado d um hxágono rgular inscritos m um círculo d raio são dados por l 4 = l 6 =, rspctivamnt. Portanto, a razão ntr os prímtros do quadrado do hxágono rgular é igual a 4 6 = 3. xmplo 3. alcul a mdida do lado d um octógono rgular inscrito m um círculo d raio. Solução. figura a sguir mostra (m vrmlho) um octógono rgular inscrito num círculo d raio. 45 o l matmatica@obmp.org.br

3 Sndo o cntro do círculo dois vértics conscutivos do octógono, tmos 360o Ô = = 45 o. 8 Por outro lado, lmbrando qu cos45 o = aplicando a li dos cossnos ao triângulo isóscls, obtmos: ntão, l = + cos45 o = = ( ). l =. xmplo 4. onsidr um ponto P, intrior a um hxágono rgular d lado 6 cm. alcul os possívis valors da soma das distâncias d P às rtas suports dos lados do hxágono. Solução. Sjam o hxágono rgular,,, J, K L os pés das prpndiculars baixadas d P aos lados,,,,, rspctivamnt (vja a figura abaixo). 6 cm Uma vz qu os lados opostos d um hxágono rgular são parallos, a distância ntr dois quaisqur dls é igual a a 6, ond a 6 dnota o apótma do hxágono; na figura, tais distâncias corrspondm aos comprimntos dos sgmntos tracjados vrmlhos. ntão, tmos: L P K J P+PJ = J = a 6, P +PK = K = a 6, P +PL = L = a 6. Portanto, a soma das distâncias d P aos lados do hxágono, m cntímtros, é igual a P+P +P +PJ +PK +PL+PM = = ( P+PJ ) + ( P +PK ) + ( P +PL ) = a 6 +a 6 +a 6 = 6a 6 = = 8 3. xmplo 5. Na figura abaixo, é um hxágono rgular inscrito m um círculo d cntro, é um triângulo quilátro cujos vértics são os pontos médios dos lados, do hxágono. alcul a razão ntr os prímtros do triângulo do hxágono. Solução. notmos por o raio do círculo qu circunscrv o hxágono. Uma vz qu o lado d um hxágono rgular inscrito m umcírculoéigualaoraiodocírculo,tmosqu oprímtro d é igual a 6. Quanto a, dnotando por a 6 o apótma do hxágono, rcordamos qu o círculo d cntro raio a 6 passa plos pontos médios dos lados d ; m particular, tal círculo passa por,. Por outro lado,, analogamnt, Ô = Ô+Ô +Ô = = 0 Ô = Ô = 0. ntão, é um triângulo quilátro inscrito m um círculo d raio a 6. Lmbrando qu a mdida do lado d um triângulo quilátro inscrito m um círculo d raio r é dada por r 3, concluímos qu o prímtro d é igual a 3a matmatica@obmp.org.br

4 gora, m rlação ao círculo d raio, sabmos qu a 6 = 3. Portanto, o prímtro d md = 3. Por fim, a razão ntr os prímtros do triângulo quilátro do hxágono rgular é: 9 6 = 9 = 3 4. xmplo 6. ncontr o prímtro do triângulo dado na figura abaixo, sabndo qu é um hxágono rgular cujos lados mdm 3 cm qu = cm, = cm = cm. Solução. Sndo M o ponto médio d, tmos M = M = cm (vja a próxima figura). Mostrarmos qu M = 4 cm, m sguida, aplicarmos a Li dos cossnos para ncontrar a mdida lado. M N niciamos notando qu M são ângulos intrnos d um hxágono rgular, logo, mdm 0 o. aí, como M =, concluímos qu o quadrilátro M é um trapézio isóscls. gora, traçando a paralla a passando por dnotamos por N su ponto d intrsção com M, obtmos o quadrilátro d lados opostos parallos (logo, um parallogramo) N. lém disso, como M são rtas parallas, tmos MN = 80 MÂ = 80 0 = 60 NM = ÎM = 80 = 60. Portanto, dois dos ângulos do triângulo M N mdm 60 o, d ond concluímos qu MN é quilátro, assim, MN = M = cm. Por outro lado, N = = 3 cm, d forma qu M = MN +N = +3 = 4 cm. inalmnt, notando qu M = 0 o (novamnt plo parallismontr M), aplicamosali dos cossnos ao triângulo M para obtr = M +M M M cos0 o ( = ) = 6++4 =. Portanto, =, argumntando d modo análogo, concluímosqu = =. Logo,otriângulo é quilátro, d prímtro igual a 3 cm. No próximo xmplo, polígonos rgulars aparcm d forma um tanto inusitada. xmplo 7 (N MP). Um hxágono é chamado quiângulo quando possui os sis ângulos intrnos iguais. onsidr o hxágono quiângulo mostrado na figura a sguir, cujos lados mdm 3, y, 5, 4, x. alcul os comprimntos x y. x y 3 matmatica@obmp.org.br

5 Solução. Uma vz qu o hxágono é quiângulo tm soma dos ângulos intrnos igual a 80 (6 ) = 80 4, concluímos qu cada um dos sus ângulos intrnos md = 0 o. Prolongandoos lados,, formarmos, como mostrado na figura abaixo, os triângulos,, cada um dos quais tm dois ângulos intrnos iguais a 80 0 = 60. Portanto,, são, x 4 3 d fato, quilátros, com lados mdindo, rspctivamnt,, 3 5. Por sua vz, o fato d Ĥ = Î = Ĝ = 60 implica qu também é quilátro, com 5 = + + y = + + = +4+5 = 0. Por fim, argumntando como acima, obtmos d sort qu = + + = 3+x+ = x+4 = + + = 3+y +5 = y +8, = = x+4 = 0 = x = 6 = = y +8 = 0 = y =. ncidntalmnt, a última figura acima mostra como podmos obtr uma infinidad d hxágonos quiângulos dois a dois distintos: basta comçar com um triângulo quilátro traçar parallas a cada lado, dstacando d triângulos quilátros,. icas para o Profssor comndamos qu sjam utilizadas plo mnos duas sssõs d 50min para xpor os xmplos qu compõm st matrial. Sugrimos ao profssor qu rlmbr aos alunos as dduçõs das fórmulas do lado do apótma d polígonos inscritos circunscritos, no momnto m qu for utilizar cada uma dlas, smpr alrtando os alunos para o fato d qu ls não dvm tntar mmorizá-las, sim dduzi-las quando ncssário. s rfrências a sguir trazm mais xmplos problmas, d variados graus d dificuldad, rlativos ao contúdo dssa aula. Sugstõs d Litura omplmntar.. aminha. Tópicos d Matmática lmntar, Volum : omtria uclidiana Plana. io d Janiro, ditora S..M., zzi. undamntos da Matmática lmntar, Volum 3: Trigonomtria. São paulo, ditora tual, matmatica@obmp.org.br