Cálculo IV EP7 Tutor

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1 Fundação ntro d iências Educação Suprior a Distância do Estado do Rio d Janiro ntro d Educação Suprior a Distância do Estado do Rio d Janiro álculo IV EP7 Tutor Ercício 1: Us a intgral d linha para ncontrar a ára da suprfíci latral sobr a curva abaio da suprfíci z f,y), ond a) : + y 1, com y d 1, ) a, 1) f,y) y b) : y 1 d 1, ) a, 1) f,y) Solução: a) Sabmos da toria qu a ára da suprfíci latral S, sobr a curva abaio do gráfico d z f,y), ond f,y) contínua m é dada por AS) f,y) ds. O sboço d stá rprsntado na figura qu s sgu. y 1 1 omo, com y ntão f,y) y, com m. Além disso, f é contínua m. Então AS) y ds, ond é paramtrizada por r t) cost, sn t), com t π/. Tmos r t) sn t, cos t), dond r t) sn t + cos t 1, portanto, ds r t) dt dt. Assim: π/ [ ] sn AS) cos t sn t dt t π/ 1 u.a. b) O sboço d stá rprsntado na figura qu s sgu. y S fizrmos o parâmtro sr t, ntão tmos as quaçõs t y 1 t com t. Então uma paramtrização d é r t) t, 1 t ), com t. Logo, r t), t), dond r t) 1 + t ds r t) dt 1 + t dt.

2 álculo IV EP7 Tutor AS) f,y) ds ds 1 + t ) 1/ d 1 + t ) ) ) u.a. t) 1 + t dt [ 1 + t ) / ] t 1 + t ) 1/ dt Ercício : Dtrmin a massa d um fio com a forma da curva y ln, com 8, s a dnsidad m cada ponto é igual ao quadrado da abscissa do ponto. Solução: Pd-s M δ,y) ds, ond δ,y). Uma paramtrização d é r t) t, ln t), com t 8. Logo, r t) 1, 1 ), com t > r t) t t t + 1. omo ds r t + 1 t) dt, ntão ds dt. Assim: t t M ds 8 t t + 1 t dt 8 t + 1 ) 1/ d t + 1 ) 1 9 / /) 1 7 8) 19 u.m. ) t t + 1 dt [ t + 1 ) / ] 8 Ercício : Dtrmin a massa d uma quarta part da circunfrência + y a, situada no primiro quadrant s a dnsidad m cada ponto é igual a ordnada dss ponto. Solução: O sboço d stá rprsntado na figura qu s sgu. y a a omo a dnsidad m,y) é igual à ordnada y, ntão δ,y) y. Logo, a massa M é dada por M δ,y) ds y ds ond r t) a cos t,asn t), com t π/, é uma paramtrização d. Tmos r t) a sn t,acos t), dond r t) a sn t + a cos t a. Fundação EIERJ onsórcio EDERJ

3 álculo IV EP7 Tutor omo ds r t) dt ntão ds a dt. Assim: M π/ a sn t)a dt a [ cos t] π/ a u.m. Ercício : alcul o cntro d massa do fio paramtrizado por r t) t,t,t), com t 1, com dnsidad linar δ, y, z) yz. Solução: Tmos r t) 1, 1, 1), r t) ds r t) dt dt. O cntro d massa, y, z) é dado por M δ,y,z) ds yz) ds yz ds My Mz yδ,y,z) ds zδ,y,z) ds y yz) ds z yz) ds y z ds yz ds álculo d M M δ,y,z) ds yz ds 1 t dt [ t u.m. álculo d yz ds álculo d yz ds 1 t t t dt 1 y z ds t dt [ t. y z ds 1 t dt [ t. álculo d yz ds yz ds 1 t dt [ t. Fundação EIERJ onsórcio EDERJ

4 álculo IV EP7 Tutor Subsituindo acima, vmos qu o cntro d massa é dado por: / ) / /, y, z),, / / /,, ). Ercício : Sja um fio dlgado com a forma da intrsção da suprfíci + y + z, com z com o plano + y 1. alcul o momnto d inércia d m rlação ao io z, s a dnsidad m cada ponto é proporcional à sua distância ao plano y. Solução: Tmos qu: + y + z,z + y ) + z,z z,z + z,z ) + z,z + 1 ) + z + 1,z 1 ) + z 9 1/),z + z 1,z. 9/ 9/ 1/) Assim, a projção d sobr o plano z é a smilips + z 1, com z d cntro 9/ 9/ ) 1, smiios a b. Então 1 + cos t z sn t. omo z ntão sn t ou sn t dond t π. omo +y 1 ntão y ) cos t 1 cos t. Assim, uma paramtrização d é dada por 1 r t) + cos t, 1 cos t, ) cos t, t π. Logo, r t) r t) sn t, sn t, cos t ) 9 sn t + 9 sn t cos t sn t cos t. omo ds r t) dt ntao ds dt. O momnto d inércia m rlação ao io z é dada por I z + y ) δ,y,z) ds ond δ,y,z) k z kz pois z, com k > uma constant. Então: I z + y ) π [ 1 kz ds k + ) cos t 1 + ) ] cos t ) sn t dt ) π k 9 [ k cos t 9 cos t ) cos t sn t dt 9 π k cos t ) sn t dt ] π 9 k + 6) 18k. Fundação EIERJ onsórcio EDERJ

5 álculo IV EP7 Tutor Obsrv qu a + b) + a b) a + b ). Ercício 6: alcul a massa d um aram fino com o formato da hélic cos t, y sn t z t, com t π/, s a dnsidad for δ,y,z) k, com k >. 1 + y Solução: Sja r t) cos t, sn t, t), com t π/. Logo, r t) sn t, cos t, ), r t) 9 sn t + 9 cos t omo ds r t) dt ntão ds dt. A massa M é dada por M δ,y,z) ds k π/ 1 + y ds k π/ cos t 1 + 9sn t dt k cos t 1 + sn t) dt. Fazndo u sn t, tmos du cost dt. Para t t π/ tmos u u, rspctivamnt. Logo: M k [ ] du 1 + u k arctg u k arctg arctg ) k arctg u.m. Ercício 7: alcul div F rot F sndo: a) F,y,z) z y, z,y ) b) F,y,z) z + sn y) i z cos y) j Solução: a) S F,y,z) z y, z,y ) ntão: div F z y) + y z) + y ) + + z i j k rot F y z 1 ), ), )),, 6). z y z y b) S F,y,z) z + sn y) i z cos y) j ntão tmos qu P z + sn y, Q z cos y) z + cos y, R. Então: rot F div F P + Q y + R z i j k y z z + sn y z + cos y sn y + sn y ), 1, cos y cos y) 1, 1, ). Fundação EIERJ onsórcio EDERJ

6 álculo IV EP7 Tutor 6 Ercício 8: S r,y,z) a é um vtor constant, dmonstr qu rot a r ) a div a r ). Solução: S r,y,z) a a 1,a,a ) ntão: i j k a r a 1 a a a z a y,a a 1 z,a 1 y a ). y z Assim: div a r ) a z a y) + y a a 1 z) + z a 1y a ) + + rot a r ) i j k y z a z a y a a 1 z a 1 y a a 1 a 1 ),a a ),a a )) a 1, a, a ) a 1,a,a ) a. Fundação EIERJ onsórcio EDERJ