TEORMA DA FUNÇÃO INVERSA. Teorema 2. Dada f : Ω ab

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1 TEORMA DA FUNÇÃO INVERSA Torma Dada f : Ω ab R n R n (n função com drivadas parciais contínuas m P Ω Suponhamos qu dt(jf((p Então xist ɛ > uma bola abrta B B(P ɛ uma função g : B R n (B f(ω com todas as drivadas parciais contínuas tal qu s P (x y B Q (u v Ω ntão g(f(p P f(g(q Q g (Q g (Q g (Q g (Q u(p v(p u(p v(p ( ( quando g(u v (g (u v; g (u v u u(x y v v(x y Torma Dada f : Ω ab R n R n (n função com drivadas parciais contínuas m P Ω Suponhamos qu dt(jf((p Então xist ɛ > uma bola abrta B B(P ɛ uma função g : B R n (B f(ω com todas as drivadas parciais contínuas tal qu s P (x y z B Q (u v w Ω ntão g (Q g (Q g (Q g (Q g (Q g (Q g(f(p P f(g(q Q g (Q u(p g (Q v(p g (Q w(p u(p v(p w(p u(p u(p w(p quando g(u v w (g (u v w; g (u v w; g (u v w u u(x y z v v(x y z w w(x y z Exmpl Considr T : R R dada por T (x y (x + y y + x Vamos aplicar o Torma da funçãoinvrsa para dtrminar S : R R tal qu S(T (x y (x y T (S(u v (u v Rsolução Vja qu T é linar Então Como para todo P R T (x y J(T (P ( dt(j(t (P J(T (P tm invrsa ou sja [J(T (P ] [ x y ( ( Plo Torma da Função Invrsa xist xist ɛ > uma bola abrta B B(P ɛ uma função S : B R (B T (Ω com todas as drivadas parciais contínuas tal qu s P (x y B Q (u v Ω Na vrdad S : R R é dada por S(u v ( u v u v Na vrdad S(u v J(T (P ] (u v Agora é fácil vr qu S(T (x y (x y T (S(u v (u v Vja qu nst caso o conjunto B é todo o R Vamos para o caso m qu a função f : Ω ab R n R n (n ou n não é linar Exmpl Considr f : R R dada por f(x y (x + y x Vamos aplicar o Torma da funçãoinvrsa para dtrminar B B(P ɛ com P ( uma função g : B f(ω tal qu g(f(x y (x y para todo (x y Ω f(g(u v (u v para todo (u v B ] (

2 Rsolução Vja qu f não é linar Mas s P ( ( x y J(f((x y J(f(( x ntão dt(j(t (P J(T (P tm invrsa ou sja [J(T (P ] ( ( Plo Torma da Função Invrsa xist xist ɛ > uma bola abrta B B(P ɛ uma função g : B R (B T (Ω com todas as drivadas parciais contínuas tal qu s P (x y B Q (u v Ω tal qu g(f(p P f(g(q Q g (Q g (Q g (Q u(p g (Q v(p u(p v(p ( Para calcularmos as xprssõs m ( no ponto P ( podmos vr qu u (u(x y x + y v v(x y x Assim u (u( v v( Então Portanto g(f(p P f(g(q Q g(f(p P f(g(q Q g (Q g (Q g (Q ( g (Q g (Q g (Q g (Q g (Q ( ( ( ( EXERCÍCIOS Exrcic Considr T : R R dada por T (x y z ( x + y y + x Apliqu o Torma da função invrsa para dtrminar S : R R tal qu S(T (x y (x y T (S(u v (u v Exrcic Considr T : R R dada por T (x y z (x + y y + x z z x Apliqu o Torma da função invrsa para dtrminar S : R R tal qu S(T (x y z (x y z T (S(u v w (u v w Exrcic Considr f : R R dada por f(x y w (x + y xy Apliqu o Torma da função invrsa para dtrminar B B(P ɛ com P ( uma função g : B f(ω tal qu g(f(x y (x y para todo (x y Ω f(g(u v (u v para todo (u v B Exrcic Considr f : R R dada por f(x y w (x + y x + z z y Apliqu o Torma da função invrsa para dtrminar B B(P ɛ com P ( uma função g : B f(ω tal qu g(f(x y z (x y z para todo (x y z Ω f(g(u v w (u v w para todo (u v w B

3 TEOREMA DAS FUNÇÕES IMPLÍCITAS Dada f : Ω ab R n+p R p (n p { } s Q (x x x n x n+ ntão f(q (f (Q f (Q f n (Q f n+ (Q f n+p (Q para cada Q Ω dfinimos a matriz d ordm q q { p dada por f (Q f (Q (f f q(q (x x q f q(q f (Q q f (Q q f q(q q ( Torma Dada f : Ω ab R n+p R p (n p { } Q (x x x x ( x (n+p Ω é tal qu f(q (i - Suponha qu f têm todas as drivadas parciais contínuas m Q (f f p(q (ii - Suponha qu dt (x n+ x n+p Então s P (x x x n A (x n+ x n+ x n+p xist ɛ > uma bola abrta B B(P ɛ funçõs G (G G G p : B R p drivávis m B para todo P B tm-s f(p G(P f (Q f (G (P G (P G p(p h (f (Q f i p(q (Q (x x n (x n+ x n+p p p f p(q ond P (x x x n Exmpl Considr F : Ω R n+p R p com n p dada por F (x y z u v (x y + z u + v x y z + u v ( f (Q n f (Q n ( f p(q n p n Qurmos rsolvr a quação acima com x y z como variávis xógnas u v como variávis ndógnas para (x y z u v próximo a Q ( Rsolução Como f(x y z u v ( é quivalnt a rsolvr um sistma linar com duas quaçõs três incógnitas podríamos nos valr das técnicas d rsolução d sistmas linars aprsntar a rsposta ao problma sm dificuldads Mas qurmos usar o Torma para rspondr a prgunta qu nos foi formulada Vja qu x x x y x z ainda x u x v f(q ( Então como a matriz» (f f (x x (f f tm dtrminant dado por dt (x x o Torma nos assgura qu xist uma vizinhança B B(P ɛ R com P (x y z um função G : B R drivávl tal qu s P (x x x B Portanto f (Q (G (P G (P (f (Q f (Q (x x x (x x f (Q f (Q f (Q (P (P (P (P (P (P f (Q f (Q» " #»

4 APLICAÇÃO Considrmos a Economia d uma socidad qu aqui srá nomada Economia Doméstica (i Há consnso quando s rprsnta a rnda nacional pla quação ( abaixo ond a produção total Y é dfinida como consumo sndo função da rnda nacilnal (C(Y invstimnto como função da taxa ral d juros (I(r xportaçõs como função das taxas d câmbio (X(E importaçõs como função das taxas d câmbio rnda (M(E Y a soma dos os gastos do govrno à c xógna à c prã c -dtrminada mas nst caso la srã nossa variã vl d Intrss qu rprsnta a variã vl polãtica m nosso sistma Y C(Y + I(r + G + X(E M(Y E ( Vja qu na quação ( s a rnda nacional for variávl ndógna la é dada implicitamnt variávis xógnas são r G E (ii No mrcado montário também é consnso supor-s qu há um quilíbrio quando a dmanda por moda for função da rnda da taxa doméstica d juros L(Y r M s (8 Nst caso a ofrta d moda é ndogna dtrminada plo orgão rgulador (Banco Cntral (iii O balanço d pagamntos afirma qu a soma das xportaçõs líquidas dv sr quilibrada pla saída líquida d capital vic-vrsa ou sja X(E M(Y E + K(r r w (9 HIPÓTESES (i Vamos supor qu as drivadas d primira ordm nvolvidas da quaã à o d rndimnto nacional ( sjam contínuas isto significa qu a mudanças qu são rprsntadas pla quação ( nsta Economia têm suavidad d ordm um Ainda O consumo é uma função crsnt da rnda isto é Ċ(Y > para todo Y O invstimnto é uma função invrsamnt rlacionada com a taxa doméstica d juros I(r r As xportaçõs são positivamnt rlacionadas ao crscimnto da taxa d câmbio Ẋ(E > (dprciação da moda local As importaçõs crscm com crscimnto da rnda M(Y E < (dprciação da moda local M(Y E > dcrscm com crscimnto da taxa d câmbio (ii Vamos assumir suavidad d ordm um na rlação (8 ou sja as drivadas parciais d primira nvolvidas são funçõs contínuas A dmanda por moda L crsc com o aumnto da rnda L(Y r > Os juros domésticos a dmanda por moda são invrsamnt rlacionados lim L(Y r r L(Y r < lim L(Y r r o + (iii Vamos assumir qu as rlaçõs ntr no balanço d pagamntos ntr as xportaçõs as opraçõs d saídas d capital líquidos tnham sauvidads d ordm um ou sja as drivadas parciais d primira ordm da funçõs nvolvidas na quação (8 são funçõs cujas dvivadas parciais d primira ordm são contínuas no su domínio O Capital líquido flui para a Economia Doméstica s a taxa doméstica d juros aumntar O aumnto na taxa xtrna d juros causará saídas rlvants d capital líquido da Economia Doméstica (iv S considrarmos como variávis xógnas nas quaçõs ( (8 (9 apnas Y r E G Assumimos qu a Economia Doméstica xprimnta um quilíbrio P (Y E r G Em vrdad P rprsnta um ponto qu todas as quaçõs ( (8 (9 stão satisfitas Agora s considrarmos como variávis xógnas nas quaçõs ( (8 (9 apnas Y E r G o sistma quaçõs ( (8 (9 torna-s quivalnt ao sistma não linar d quaçõs dado por 8 8 < < : f(y E r G g(y E r G h(y E r G ond : f(y E r G Y [C(Y + I(r + G + X(E M(Y E] g(y E r G L(Y r M s h(y E r G X(E M(Y E + K(r r w (

5 S H(Y E r G (f(y E r G g(y E r G h(y E r G a matriz Jacobiana d H é dada por C (P + M(P X (E + M(P J(H(P L(P M(P Ẋ(E M(P I (r L(P K(P ( Vamos dfinir a matriz d ordm três (f g h(p (Y E r (f g h qu srá dada por (Y E r C (P + M(P L(P M(P X (E + M(P Ẋ(E M(P I (r L(P K(P ( (f g h Analogamnt trmos qu a matriz d ordm três (E r G (f g h(p (E r G qu srá dada por X (E + M(P Ẋ(E M(P I (r L(P K(P ( PERGUNTAS Em ( podmos xprssar Y Y (G E E(G r r(g para algum G msmo qu sja m uma vizinhança d G prsrvarmos nsta vizinhança as quação ( satisfitas? A rsposta para sta prgunta dpnd do (f g h(p dtrminant da matriz dada m ( calculada m P (Y E r Em ( podmos xprssar Y (r E(r G(r para algum r msmo qu sja m uma vizinhança d r prsrvarmos nsta vizinhança as quação ( satisfitas? Em ( podmos xprssar E E(Y r(y G G(Y para algum Y msmo qu sja m uma vizinhança d Y prsrvarmos nsta vizinhança as quação ( satisfitas? A rsposta para sta prgunta dpnd do dtrminant (f g h(p da matriz dada m ( calculada m P (E r G Exmpl Considr as funçõs dadas m ( Calcul a matriz (f f f (Q (x x x (f f f (Q (x x x Rsolução Vja qu m m ( tm-s x Y x E x r x G n p Ainda f f f g f h Então (f f f (P é dada por (x x x (f g h(p (Y E r Analogamnt (f f f (Q (x x x (f g h(p (E r G é dada por C (P + M(P L(P M(P X (E + M(P Ẋ(E M(P X (E + M(P Ẋ(E M(P I (r L(P K(P I (r L(P K(P ( (

6 Exmpl Agora podmos rspondr a prgunta qu foi formulada logo acima Suponha qu xist Q (Y E r G tal (f(q g(q h(q qu m ( dt Us o Torma das Funçõs Implícitas mostr qu m ( podmos (Y E r xprssar Y Y (G E E(G r r(g para algum G Assuma qu a b R a Ċ(Y M(Y r X (E + M(Y E K(r I(r a > a L(Y r L(Y r b > Rsolução Vja qu m m ( tm-s x Y x E x r x G n p Ainda f f f g f h Vamos assumir qu o dtrminant da matriz m ( sja difrnt d zro ou sja (f(q g(q h(q vr ( dt b vr ( (a (Y E r Plo Torma das Funçõs Implícitas xist um intrvalo abrto B B(P ɛ (G ɛ; G + ɛ uma fução G : B R qu é drivávl s P G B J(G(P Ẏ (G Ė(G ṙ(g C M(Y r (Y + L(Y r M(Y r J(G(P J(G(G J(G(P O qu nos mostra qu C (Q + M(Q A L(Q M(Q X M(Y r (E + I (r X M(Y r (E Ẏ (G Ė(G ṙ(g vr ( Ẏ (G Ė(G ṙ(g X (E + M(Q Ẋ(E] M(Q L(Y A K(r A a b a b b a b a b b b a( a b( a (a b b( a b I (r L(Q K(Q A A f(q g(q h(q a a (i Ẏ (G a sobr o quilíbrio ((Y E r G a lasticidad da rnda m rlação aos gastos govrnamntais nsta conomia é dada por Ẏ (G G G a (ii Ė(G M(Y r (iii ṙ(g Posto assim como por hipóts > podmos afirmar qu m uma vizinhança do quilíbrio a (Y E r G sta conomia opra d forma qu a taxa d juros domésticos crsc com o crscimnto dos gastos govrnamintais Ainda a lasticidad da taxa d câmbio m rlação aos gastos govrnamntais nsta conomia é dada por Ė(G G G a C A C A (

7 Exrcic Us ( assuma qu a b R a Ċ(Y M(Y r X (E + M(Y E para rspondr a primira das duas prguntas abaixo: K(r I(r a > a L(Y r L(Y r b > Em ( podmos xprssar Y (r E(r G(r para algum r msmo qu sja m uma vizinhança d r prsrvarmos nsta vizinhança as quação ( satisfitas? Sobr o ponto d quilíbrio r (quilíbrio da taxa d juros doméstica calcul a: A lasticidad da rnda m rlação à taxa d juros b: A lasticidad da taxa d câbio m rlação à taxa d juros c: A lasticidad da dos gastos govrnamntais m rlação à taxa d juros Em ( podmos xprssar E E(Y r(y G G(Y para algum Y msmo qu sja m uma vizinhança d Y prsrvarmos nsta vizinhança as quação ( satisfitas? a: A lasticidad taxa d câmbio m rlação à rnda b: A lasticidad da taxa d juros domésticos m rlação à rnda c: A lasticidad da dos gastos govrnamntais m rlação à rnda Dê as informaçõs análogas solicitadas no itm antrior EXERCÍCIOS DE CÁLCULO DOIS Exrcício Dadas f : U ab R n R (n P U g : I ab R R Suponha qu Im(f I g f sjam drivávis m U Suponha qu a b (i Vrifiqu qu s h(x y g(f(x y a > g for crscnt m I ntão > (ii Vrifiqu qu s h(x y g(f(x y b > g for dcrscnt m I ntão < Exrcício Em cada itm abaixo calcul (i h(x y x p xy + y Rsp (ii h(x y y p x + xy + y (iii h(x y ln( + x + y Exrcício Em cada itm abaixo calcul h(x y h(x y Rsp (i h(x y z p x + xy z + zy (ii h(x y z p x + xy z + zy (iii h(x y z ln( + x + y + z Exrcício Em cada itm abaixo calcul h(x y p xy + y y + p h(x y xy + y h(x y h(x y z h(x y z h(x y (i h(x y p x + ln[x y ] Rsp ln (x y (ii h(x y p y + ln[y x ] Exrcício h(x y h(x y x + y p xy + y x + x + y ; h(x y y + x + y h x+ h(x y z x (x y i (x +ln (x y h(x y ( y (x y (x + (i Na xprssão x z xy z x + y suponha qu x y sjam variávis xógnas z sja variávl ndógna Calcul (x y (x y (x y Rsp x x z + y z (x y x z xy y + xy z x z xy (ii Na xprssão x z xy z x + y suponha qu y z sjam variávis xógnas x sja variávl ndógna Calcul (y z (y z

8 (iii Na xprssão x z xy z x + y suponha qu x z sjam variávis xógnas y sja variávl ndógna Calcul (x z (x z Exrcício Nos ítns a sguir suponha qu as variávis xógnas K (unidads d stoqu capital L (quantidad dmandada por mão d obra sjam os únicos insumos da produção m uma Economia ntão s Y for a quantidad produzida Y F (K L Assumimos qu F sja suav m P (K L ou sja as drivadas parciais d F stão dfinidas m P (i S F (K L K L P ( podmos afirmar qu a produção aumnta quando houvr pquno acrécimo do stoqu d capital K com dmanda por trabalho prmancr constant igual a L? (ii S F (K L K L P ( podmos afirmar qu a produção aumnta quando houvr pquno acrécimo da dmanda por trabalho prmancr constant igual a L for mdida o stoqu d capital K prmancr constant igual a L? (iii Calcul a taxa d variação da produção m P na dirção do vtor u ı + j (iv Calcul a dirção tal qu a taxa d variação da produção m P é zro (v S Y F (K L K L P ( Suponha qu K K(r L L(r ond r é a taxa ral d juros dsta Economia Então a produção é dada ndógnamnt como função da variávl xógna r isto é Y Y (r F (K(r L(r a - Calcul Y (r b - S K (r L (r calcul Y (r (vi S Y F (K L K L P ( Suponha qu o stoqu d capital sja dado ndógnamnt cujas variávis xógnas são a taxa ral d juros dsta Economia G rprsnta os gastos corrnts do govrno aqui rprsntados por r G rspctivamnt Então K K(r G L L(r G Y F (K(r G L(r G (r G (r G a - Calcul b - Suponha qu r G K(r G L(r G calcul (r G Exrcício Um sistma clássico d funçõs dadas implicitamnt n Economia é o modlo IS LM Kynsiano 8 >< >: Y C + I + G C a + b(y T I i i r M s c Y c r (r G Y é o PNB ou rnda nacional C é o consumo dos consumidors I é o invstimnto G gastos govrnamntais T é a colta d impostos M s é a ofrta d moda r é a taxa d juros as ltras minúsculas são parâmtros qu assumimos srm positivos com < b < a- Rscrva o sistma (8 d modo qu Y r sjam variávis ndógnas M s G T sjam variávis xógnas Rsolova st sistma invrtndo a matriz» b i B c c b- Rscrva o sistma (8 d modo qu G r sjam variávis ndógnas M s Y T sjam variávis xógnas Rsolova st sistma invrtndo a matriz corrspondnt à matriz B do itm (a Exrcício 8 Dfina ψ φ : U R R dadas por φ(y r G α[e(y T r + G(r Y h ψ(y r M β L(Y r M(r i p Ond U {x y R x > y > } Y é o pruduto r é a taxa d juros E é o consumo mais gastos com invstimntos G é o gasto do govrno T é impostos mnos transfrência d pagamntos L é a dmanda por moda p o nívl d prços Suponha qu G M p T stjam fixados Os parâmtros β rprsnta a razã o d ajust d bns no mrcado α a razão d ajust montário no mrcado d moda a: Encontr a matriz Jacobiana d φ ψ b: Suponha qu xist P (Y r tal qu Ṁ(r Ġ(r φ(p a φ(p b φ(p c c: Us as informaçõs do itm (b ncontr condiçõs sobr a b c para qu < (P d: Us as informaçõs do itm (b ncontr condiçõs sobr a b c para qu (P : Suponha qu xist P (Y r tal qu Ṁ(r Ġ(r ψ(p x ψ(p d: Us as informaçõs do itm ( ncontr condiçõs sobr x y z para qu L(P 8 < < y ψ(p z < (8

9 d: Us as informaçõs do itm ( ncontr condiçõs sobr x y z para qu L(P > Exrcic Dada F : Ω ab R R dada por F (x y z u w (xy +xzu+yv+ u yz+xv u v Q ( Ω Quando possívl a: scolha u v como variávis ndógnas como variávis xógnas x y z calcul v( u( u( b: scolha x y como variávis ndógnas como variávis xógnas calcul z u v ( ( u ( v b: scolha x y como variávis ndógnas como variávis xógnas z u v calcul ( ( u ( v v(x y z (z u v (z u v u(x y z u(x y z (z u v (z u v u v (z u v (z u v u v 9