PARTE 8 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDENS SUPERIORES

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1 PARTE 8 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDENS SUPERIORES 8.1 Drivadas Parciais d Ordns Supriors Dada a função ral d duas variávis f : Dom(f) R 2 R X = ) f(x) = f ) aprndmos antriormnt como construir suas drivadas parciais = f x = f. Estas drivadas parciais qu studamos são chamadas d drivadas parciais d primira ordm d f. Nosso objtivo agora é dfinir as drivadas parciais d ordm maior do qu um. Em primiro lugar obsrv qu dpndndo da função f = f x = f também são funçõs d duas variávis dfinidas m abrtos d modo qu ( ) também podmos calcular suas drivadas parciais qu são as funçõs = ( ) ( ) (f x ) x = (f x ) = (f ) x ( ) = (f ). Estas drivadas parciais das drivadas parciais da função f são chamadas d drivadas parciais d sgunda ordm d f suas notaçõs são as sguints: = ( ) = (f 2 x ) x = f xx = f 11 = ( ) = (f x ) = f x = f 12 = ( ) = (f ) x = f x = f 21 = ( ) = (f 2 ) = f = f 22 Obsrvação 8.1.1: S dfinirmos z = f ) também utilizamos as notaçõs 2 z 2 = 140

2 Cálculo 2B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis z = 2 z = 2 z = 2. 2 Obsrvação 8.1.2: As drivadas parciais d ordm maior do qu dois são dfinidas d forma análoga. Por xmplo 3 f = ( ) f = ( ). Exmplo 8.1.1: Calcul todas as drivadas d sgunda ordm da função f ) = x x 4. função f. ) = 3x ) = 2x3 + 4x 3. Agora podmos passar às drivadas parciais d sgunda ordm. ) 2 = 6x2 ) = 6x ) = 6x ) 2 = 2x3 + 12x 2. Exmplo 8.1.2: Calcul todas as drivadas d sgunda ordm da função f ) = x 2. função f. ) = 2 ) = x2 + 2x 2 2.

3 Cálculo 2B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis Agora podmos passar às drivadas parciais d sgunda ordm. ) 2 = 0 ) = ) = ) 2. = 2x2 + 4x 2 + 4x 3 2 Exmplo 8.1.3: Considr a função f dada por x 3 ; ) (0 0) f ) = x ; ) = (0 0) Dtrmin. função f. Para ) (0 0) podmos utilizar as rgras d drivação d modo qu ) = ) 2 )2x ) 2 = 5 x ) 2 ) = 3x ) 3 ) ) 2 = 3x3 2 + x ) 2. Para ) = (0 0) conform obsrvado tmos qu utilizar a dfinição. Portanto f(0 + h 0) f(0 0) (0 0) h 0 h 0 h 0 h = 0 f(0 0 + k) f(0 0) (0 0) k 0 k 0 k 0 k = 0.

4 Cálculo 2B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis Dsta forma ) = ) = 5 x 2 3 ; ) (0 0) ) 2 0; ) = (0 0) 3x x 4 ; ) (0 0) ) 2. 0; ) = (0 0) Vamos agora dtrminar as drivadas parciais mistas d sgunda ordm da função f. Para ) (0 0) podmos utilizar as rgras d drivação d modo qu ) = (54 3x 2 2 ) ) 2 ( 5 x 2 3 ) ) ) 4 = )(2x x 4 2 (4 6 4x 2 4 )) ) 4 = 2x x x ) 3 = 6 3x x ) 3 ) = (9x ) ) 2 (3x x 4 ) )2x ) 4 = )(9x x (12x x 2 4 )) ) 4 = 9x x x 4 2 4x ) 3 = 6 3x x ) 3. Para ) = (0 0) conform obsrvado tmos qu utilizar a dfinição. Portanto Dsta forma (0 0) k 0 k 5 k 0 k = 1 5 (0 0) h 0 ) = 0 h 0 h = 0. (0 0 + k) (0 0) k (0 + h 0) (0 0) h 6 3x x 2 4 ; ) (0 0) ) 3 1; ) = (0 0)

5 Cálculo 2B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis ) = 6 3x x 2 4 ; ) (0 0) ) 3. 0; ) = (0 0) Obsrv qu nos Exmplo tmos a igualdad ntr as drivadas parciais mistas d sgunda ordm para todos os pontos no plano. Porém isto nm smpr é vrdad. D fato no Exmplo vimos qu (0 0) (0 0). O torma a sguir nos fornc uma condição suficint para a igualdad das drivadas parciais mistas. Contudo ants d nunciá-lo vamos dfinir funçõs d class C k. DEFINIÇÃO 8.1.1: S f : Dom(f) R 2 R é tal qu todas as drivadas parciais até ordm k d f xistm são contínuas m A(abrto) Dom(f) dizmos qu f é d class C k m A. Em particular s as drivadas parciais d sgunda ordm d f xistm são contínuas m A(abrto) Dom(f) dizmos qu f é d class C 2 m A. TEOREMA 8.1.1: (Torma d Schwarz) S f : Dom(f) R 2 R é d class C 2 no abrto A Dom(f) tmos qu ) = ) ) A. Obsrvação 8.4.3: S f : Dom(f) R n R X = 1 x 2... x n ) f(x) = f 1 x 2... x n ) é uma função ral d n variávis rais as drivadas parciais d ordm maior ou igual a dois são dfinidas d forma análoga. Por xmplo = ( ) = ( ) f = ( ) Exmplo 8.1.3: Calcul todas as drivadas d sgunda ordm da função f z) = x 2 sn (z).

6 Cálculo 2B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis função f. z) = 2x sn (z) z) = x2 z cos (z) z z) = x2 cos (z) Agora podmos passar às drivadas parciais d sgunda ordm. z) 2 = 2 sn (z) z) = 2xz cos (z) z) z = 2x cos (z) z) = 2xz cos (z) z) 2 = x2 z 2 sn (z) z z) = x2 cos (z) x 2 z sn (z) z) z = 2x cos (z) z z) = x2 cos (z) x 2 z sn (z) z z) 2 = x2 2 sn (z) A dfinição d função d class C k também s aplica s f for uma função d mais do qu duas variávis da msma forma qu o Torma d Schwarz também prmanc válido. DEFINIÇÃO 8.1.2: S f : Dom(f) R n R é tal qu todas as drivadas parciais d f até ordm k xistm são contínuas m A(abrto) Dom(f) dizmos qu f é d class C k m A. Em particular s as drivadas parciais d f até sgunda ordm xistm são contínuas m A(abrto) Dom(f) dizmos qu f é d class C 2 m A. TEOREMA 8.1.2: (Torma d Schwarz) S f : Dom(f) R n R X = 1 x 2... x n ) f(x) = f 1 x 2... x n )

7 Cálculo 2B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis é d class C 2 no abrto A Dom(f) tmos qu para todo i j = 1... n. i j ) = j i ) ) A