PARTE 6 DERIVADAS PARCIAIS

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1 PARTE 6 DERIVADAS PARCIAIS 6.1 Introdução Vamos falar agora das drivadas parciais d uma função ral d várias variávis rais, f : Dom(f) R n R. Para simplificar, vamos comçar com uma função m R, para só dpois gnraliar o concito d drivada parcial para funçõs m R n. Sja f : Dom(f) R R (, ) = f(, ) Vamos fiar = 0, com isto, criar uma função da rta na rta, g 0, dfinida como g 0 () := f(, 0 ). Esta nova função dfinida é uma função ral d variávl ral, bm studada m Cálculo 1A, para a qual sabmos aplicar o concito d difrnciabilidad. Sndo assim, s g 0 for difrnciávl m 0, tmos qu ist g 0 ( 0 ), a qual é dada plo limit abaio g g 0 ( 0 + h) g 0 ( 0 ) 0 ( 0 ). Dfinimos ntão a drivada parcial d f com rlação a no ponto ( 0, 0 ), dnotada por ( 0, 0 ), como ( 0, 0 ) = g g 0 ( 0 + h) g 0 ( 0 ) 0 ( 0 ), isto é, ( f( 0 + h, 0 ) f( 0, 0 ) 0, 0 ). Encontramos também outras notaçõs para a drivada parcial da função f com rlação à variávl. Elas são: = f = f = D f = D 1 f. Vamos far a msma coisa, só qu agora com a variávl. Isto é, vamos fiar = 0 criar a função da rta na rta, h 0, dfinida como h 0 () := f( 0, ). 9

2 Cálculo B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis Esta nova função dfinida também é uma função ral d variávl ral. S h 0 for difrnciávl m 0, tmos qu ist h 0 ( 0 ) a qual é dada plo limit h h 0 ( 0 + k) h 0 ( 0 ) 0 ( 0 ). k 0 k Dfinimos ntão a drivada parcial d f com rlação a no ponto ( 0, 0 ), dnotada por ( 0, 0 ), como ( 0, 0 ) = h h 0 ( 0 + h) h 0 ( 0 ) 0 ( 0 ), k 0 k isto é ( f( 0, 0 + k) f( 0, 0 ) 0, 0 ). k 0 k As notaçõs para a drivada parcial da função f com rlação à variávl, são ntão: = f = f = D f = D f. Para mlhor ntndr stas novas dfiniçõs, vamos aplicá-las para dtrminar as drivadas parciais da função no mplo abaio. Emplo 6.1.1: Dtrmin as drivadas parciais d f, ond f(, ) = +. Solução: Pla dfinição acima, tmos qu ( f( 0 + h, 0 ) f( 0, 0 ) 0, 0 ) ( 0 + h) 0 + ( 0 + h) ( ) h h h h h 0 + h h( h 0 + ) h 0 + = 0 0 +, ( f( 0, 0 + k) f( 0, 0 ) 0, 0 ) k 0 k 0( 0 + k) + 0 ( ) k k k 0k k 0 = 0.

3 Cálculo B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis Obsrv qu na hora d drivar com rspito a, tudo s passou como s foss a única variávl foss apnas mais uma constant. Acontcu o invrso na hora d drivar com rspito a : ncaramos como a única variávl como uma constant qualqur. Sndo assim, todas as rgras d drivação d funçõs d uma variávl podm sr naturalmnt aplicadas, considrando qu cada v ist apnas uma variávl, a outra variávl qu sobra, é vista apnas como uma outra constant. D fato, no mplo acima concluimos qu s f(, ) = +, ntão (, ) = + (, ) = Vamos aplicar sta obsrvação nos mplos abaio. Emplo 6.1.: Sja f(, ) = arctan( + ). Dtrmin as drivadas parciais d f. Solução: D acordo com o qu foi obsrvado, vamos abandonar a dfinição aplicar as rgras d drivação normalmnt. S tivéssmos qu drivar a função g(t) = arctan(t + C), ond C é uma constant, não triamos dúvida (spro qu não) m afirmar qu Portanto, g (t) = t 1 + (t + C). (, ) = 1 + ( + ) (, ) = 1 + ( + ). Agora, smpr no nosso spírito d forncr as dfiniçõs rsultados da manira mais gral possívl, vamos gnraliar o concito d drivada parcial para uma função ral dfinida m R n. 6. Drivadas Parciais Sja f : Dom(f) R n R X = ( 1,,..., n ) f(x) = f( 1,,..., n ) sja X 0 = ( 1 0, 0,..., n 0 ) Dom(f). Vamos criar uma nova função g i X0, dfinida da sguint forma: g ix0 : Dom(g ix0 ) R R i g i X0 ( i ) = f( 1 0, 0,... (i 1)0, i, (i+1) 0, n0 ) Isto é, todas as variávis, com cção d i, foram fiadas:

4 Cálculo B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis = 10 = 0. i 1 = (i 1) 0 i+1 = (i+1)0. n = n0 g ix0 é portanto uma função da rta na rta, s g i X0 é drivávl m i 0, dfinimos a drivada parcial d f com rlação à variávl i no ponto X 0 = ( 10, 0,..., n0 ) como g ix 0 ( i0 ) a notação utiliada é i (X 0 ). Sndo assim, (X 0 ) = g g ix0 ( i0 + h) g i X0 ( i0 ) ix 0 ( i0 ) i f( 10,..., i0 + h,..., n0 ) f( 10,..., i0,..., n 0 ) Nst caso, as outras notaçõs são : i = i f = f i = D i f = D i f Conform obsrvado no caso d funçõs d duas variávis, no cálculo d drivadas parciais d funçõs d n variávis, todas as rgras d drivação d funçõs d uma variávl podm sr naturalmnt aplicadas, considrando qu cada v ist apnas uma variávl as outras variávis qu sobram são vistas apnas como constants. Vamos agora nos concntrar m funçõs d duas d três variávis, far um mplo m R 3. Emplo 6..1: Sja f(,, ) = ln(). Dtrmin as drivadas parciais d f. Solução: Utiliando as rgras d drivação normalmnt, incluindo a rgra da cadia,

5 Cálculo B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis tmos qu ( ) 1 (,, ) = + ln() = + ln() ( ) 1 (,, ) = + ln() = + ln() ( ) (,, ) = 1 + ln() = (1 + ln()) No Emplo 6.. a sguir, vamos far uma pquna rcordação d Cálculo 1A, nos prparando para o Emplo 6..3 logo após. Emplo 6..: Vamos contar a história da profssorinha d Cálculo 1A sus alunos, para rlaar um pouco. Considr a função f dfinida abaio, di a profssora. { + 3; f() = 7; =. Vamos calcular a drivada d f. É fácil vr qu para, f () =. Vjamos agora qum é f (). Os alunos não s contêm rspondm imdiatamnt: ZERO! Aí o profssora lhs prgunta : Por quê? E, chios d convicção, ls rspondm: Ora profssora, qu pgadinha boba, f é constant a drivada d constant é ro, até mu irmãoinho sab. Dpois disso, a profssora abatida, olhando sus alunos d Cálculo B, qu também foram d Cálculo 1A, s prgunta: OH DEUS, ONDE FOI QUE EU ERREI? Dpois d bbr um pouco d água rspirar fundo, la s qustiona intriormnt: Qu faço?... Vou mbora?... Talv dar uma volta no Plaa... Então tm uma idéia qu transparc m um risinho malicioso para os mais sagas. Rsolv s vingar! Então prgunta: Vocês sabm qual é a drivada da função polinomial g() = + 3? Os alunos prvndo problmas, olham para baio spram qu um inocnt s manifst. D fato, um distraído mais afoito rspond: É, profssora. Ela concorda ntão a turma rspira mais aliviada. Daí la complmnta: Vocês portanto stão d acordo qu a drivada dsta função no ponto = é 4? Todos balançam a cabça. Ela dá um sorriso d flicidad todos pnsam qu la s acalmou. Qual nada, é aí qu la contra-ataca: E QUAL É A DIFERENÇA{ ENTRE A FUNÇÃO g() = +3 E A FUNÇÃO QUE EU DEFINI ACIMA f() = + 3; 7; =? Els boquiabrtos vêm su mundo ruir. É vrdad, las são iguais, o qu significa qu a drivada da função f não é ro no ponto =, sim 4. Alguns vão para o banhiro

6 Cálculo B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis chorar. O mundo nunca mais srá o msmo. A drivada d uma constant não é mais ro. Ela prcbndo a aflição dos qu ficaram, s arrpnd tnta s rdimir comçando a plicação docmnt: Não stamos falando d funçõs rais d variávis rais? Todos rspondm m uníssono: Sim, claro! Então la dsabafa: Como é qu vocês quriam ntão qu o valor da função no ponto = foss outra coisa snão um númro? Els cam m si fam uma carinha d qu stão comçando a ntndr, mas na ralidad stão mais tranqüilos porqu pnsaram Então pod sr qu drivada da função constant ainda continu sndo ro... Ela sntindo um fio d sprança, comça: Lmbrm-s qu na dfinição d drivada, ncontramos o limit TAL, ond é ncssário sabr, além do valor da função no ponto =, su valor m pontos um pouquinho à dirita d = um pouquinho à squrda d =. Sndo assim, PARA O CÁLCULO DA DERIVADA NO PONTO = NÃO BASTA O VALOR DA FUNÇÃO NESTE PONTO, prd novamnt a cabça grita a profssora. Os alunos com mdo qu la tnha outro chiliqu fingm qu ntndram. Mas, la é macaco vlho, idntifica o fingimnto, rspira fundo mais uma v, bb mais um pouquinho d água (sus alunos dsconfiam qu la é aguólotra) dá a cartada final aplica a dfinição, conform pod sr visto abaio, f () f( + h) f() h ( + h) h 4 + h + 4h 4 h h(h + 4) h h + 4h h h + 4 = 4. Assim trmina nossa história. A profssora nsinou sus alunos a calcular diritinho a drivada d funçõs dfinidas por mais d uma sntnça, dpois disto, ls acrtaram todas as drivadas (sm rgra da cadia, aí também ra dmais) plo rsto da vida. Th End. Após st momnto nostálgico, tão singlo, vamos rsolvr os mplos abaio, lmbrando da moral da historinha acima: Quando houvr mais d uma sntnça, é ncssário utiliar a dfinição para calcular a drivada no ponto problma. Emplo 6..3: Dtrmin as drivadas parciais da função 3 ; (, ) (0, 0) f(, ) = +. 0; (, ) = (0, 0) Solução: Para (, ) (0, 0), tudo s passa como ants, i.. podmos utiliar as rgras

7 Cálculo B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis d drivação com tranqüilidad, d modo qu (, ) = ( + ) ( 3 ) ( + ) = (1 + ) ( + ) (, ) = 3 ( + ) ( 3 ) ( + ) = ( ) ( + ). Para (, ) = (0, 0), conform obsrvado ants, tmos qu utiliar a dfinição. Portanto, Dsta forma, f(0 + h, 0) f(0, 0) (0, 0) 1 = f(0, 0 + k) f(0, 0) (0, 0) k 0 k k k 0 k = 1. (, ) = (, ) = ( ) ; (, ) (0, 0) ( + ) ; (, ) = (0, 0) ( ) ; (, ) (0, 0) ( + ) 1; (, ) = (0, 0) As duas figuras abaio forncm um sboço da gráfico da função f sob dois ângulos difrnts.

8 Cálculo B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis Na próima figura, tmos um sboço da gráfico da função f, juntamnt com o plano = 0 a curva dada pla intrsção do gráfico d f com o plano = 0. A figura a sguir mostra apnas a curva dada pla intrsção do gráfico d f com o plano { = 0, projtada 1; (, ) (0, 0) no plano. Obsrv qu s = 0, tmos qu g 0 () := f(, 0) = 0; (, ) = (0, 0), qu é uma função dscontínua na origm, portanto não é difrnciávl nst ponto. Na próima figura, tmos um sboço da gráfico da função f, juntamnt com o plano = 0 a curva dada pla intrsção do gráfico d f com o plano = 0. A figura a sguir mostra apnas a curva dada pla intrsção do gráfico d f com o plano { = 0, projtada ; (, ) (0, 0) no plano. Obsrv qu s = 0, tmos qu h 0 () := f(0, ) = 0; (, ) = (0, 0), qu é uma função contínua difrnciávl na origm.

9 Cálculo B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis Emplo 6..4: Dtrmin as drivadas parciais da função ; (, ) (0, 0) f(, ) = +. 0; (, ) = (0, 0) Solução: Novamnt, para (, ) (0, 0), tudo s passa como ants, i.. podmos utiliar as rgras d drivação com tranqüilidad, d modo qu (, ) = ( + ) () ( + ) = ( ) ( + ) (, ) = ( + ) () ( + ) = ( ) ( + ). Para (, ) = (0, 0), conform obsrvado, tmos qu utiliar a dfinição. Portanto, Dsta forma, f(0 + h, 0) f(0, 0) (0, 0) 0 = 0 f(0, 0 + k) f(0, 0) (0, 0) k 0 k 0 k 0 k = 0. (, ) = ( ) ; (, ) (0, 0) ( + ) 0; (, ) = (0, 0)

10 Cálculo B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis (, ) = ( ) ; (, ) (0, 0) ( + ) 0; (, ) = (0, 0) Obsrvação 6..1: Obsrv qu a função do Emplo 6..4 acima, apsar d possuir drivadas parciais na origm, não é contínua na origm, conform já foi vrificado na aula d continuidad Emplo Not qu não há nnhuma contradição nst fato, pois as funçõs qu dvm sr contínuas, dvido à istência das drivadas parciais, são as funçõs g 0 () f(, 0) = 0 h 0 () f(0, ) = 0, qu são prfitamnt contínuas, conform o sprado. A sguir, vamos far uma intrprtação gométrica das drivadas parciais. 6.3 Intrprtação Gométrica Considr a função f : Dom(f) R R. S f possui drivada parcial m rlação à variávl no ponto ( 0, 0 ), sabmos qu a função g 0, dfinida como g 0 () f(, 0 ) é difrnciávl m 0 g 0 ( 0 ) = ( 0, 0 ). Sndo assim, o gráfico da função g 0 possui rta tangnt no ponto ( 0, g 0 ( 0 )), cujo coficint angular m 10 é igual a m 10 = g 0 ( 0 ) = ( 0, 0 ). Mas, obsrv qu o gráfico d g 0 pod sr colocado no plano 0 qu, nst caso, l é a curva rsultant da intrsção do gráfico d f com o plano = 0. Tmos ntão, qu ( 0, 0 ) fornc o coficint angular da rta tangnt à curva γ 0, dada pla intrsção do plano = 0 com o gráfico d f, no ponto ( 0, 0, f( 0, 0 )). Not qu γ 0 é uma curva contida no plano = 0, cuja quação é γ 0 (t) = (t, 0, f(t, 0 )), ond t rprsnta a variávl. Da msma forma, s f possui drivada parcial m rlação à variávl no ponto ( 0, 0 ), é porqu a função h 0, dfinida como h 0 () f( 0, ) é difrnciávl m 0 h 0 ( 0 ) = ( 0, 0 ). Sndo assim, o gráfico da função h 0 coficint angular m 0 é igual a possui rta tangnt no ponto ( 0, h 0 ( 0 )), cujo m 0 = g 0 ( 0 ) = ( 0, 0 ).

11 Cálculo B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis Mas, obsrv qu o gráfico d h 0 pod sr colocado no plano 0 ȳ qu, nst caso, l é a curva rsultant da intrsção do gráfico d f com o plano = 0. Tmos ntão, qu ( 0, 0 ) fornc o coficint angular da rta tangnt à curva β 0, dada pla intrsção do plano = 0 com o gráfico d f, no ponto ( 0, 0, f( 0, 0 )). Not qu β 0 é uma curva contida no plano = 0, cuja quação é β 0 (t) = ( 0, t, f( 0, t)), ond t rprsnta a variávl. Vamos rcitar stas idéias no mplo abaio: Emplo 6.3.1: Dado f(, ) = 1 4, ncontr os coficints angulars das rtas tangnts, rspctivamnt, às curvas dadas pla intrsção do gráfico d f com o plano = 1 ( 1, no ponto 4, 1, 1 ) com o plano = 1, nst msmo ponto. 4 Solução: Conform obsrvado acima, o coficint angular da rta tangnt à curva C 1 dada pla intrsção do plano = 1 ( 1 com o gráfico d f, no ponto 4, 1, 1 ), é dado por ( 1 4, 1 ) =. Nst caso, tmos qu a rta tangnt à curva C 1 no ponto quaçõs 1 ( = 1 ) 4 = 1. ( 1 4, 1, 1 ) é dada plas Da msma forma, o coficint angular da rta tangnt à curva C dada pla intrsção do plano = 1 ( 1 4 com o gráfico d f, no ponto 4, 1, 1 ), é dado por ( 1 4, 1 ) = 1. Nst caso, tmos qu a rta tangnt à curva C no ponto quaçõs 1 ( = 1 1 ) = 1 4. ( 1 4, 1, 1 ) é dada plas Abaio tmos o sboço do gráfico com os planos as rtas tangnts.

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13 Cálculo B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis Intrprtação Como Taa d Variação Obsrv qu as drivadas parciais podm sr intrprtadas como taas d variação. Isto é, utiliando como mplo uma função m R, dada a função f : Dom(f) R R (, ) = f(, ) tmos qu rprsnta a taa d variação d com rlação à variação da variávl quando é mantido fio. Da msma forma, rprsnta a taa d variação d com rlação à variação da variávl quando é mantido fio. Em trmos mais práticos, podmos citar a função I = f(t, H), ond I é o índic d calor (tmpratura qu corrspond à snsação d calor), T é a tmpratura ral H é a umidad rlativa do ar. Nst caso, stamos dindo qu o índic d calor é função da tmpratura ral da umidad rlativa do ar. Dsta forma, tmos qu I T (T 0, H 0 ) fornc a taa d variação do índic d calor com rlação à variação da tmpratura, na tmpratura T 0, quando a umidad rlativa do ar é mantida fia m H 0. Da msma forma, tmos qu I H (T 0, H 0 ) fornc a taa d variação do índic d calor com rlação à variação da umidad rlativa do ar, para a umidad rlativa do ar igual a H 0, quando a tmpratura é mantida fia m T 0. Sndo assim, raciocinando como fito com drivadas d funçõs da rta na rta, podmos forncr aproimaçõs como as aprsntadas a sguir. I(T 0 + T, H 0 ) I(T 0, H 0 ) + I T (T 0, H 0 ) T I(T 0, H 0 + H) I(T 0, H 0 ) + I H (T 0, H 0 ) H. D um modo gral, considr a função f : Dom(f) R R (, ) f(, ). Como ( f( 0 + h, 0 ) f( 0, 0 ) 0, 0 ), para h pquno, tmos qu d modo qu ( 0, 0 ) f( 0 + h, 0 ) f( 0, 0 ), h f( 0 + h, 0 ) f( 0, 0 ) + ( 0, 0 )h. Nst caso, tmos qu fornc a taa d variação d f com rlação à variação da variávl quando a variávl prmanc fia.

14 Cálculo B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis Da msma forma, como para k pquno, tmos qu d modo qu ( f( 0, 0 + k) f( 0, 0 ) 0, 0 ), k 0 k ( 0, 0 ) f( 0, 0 + k) f( 0, 0 ), k f( 0, 0 + k) f( 0, 0 ) + ( 0, 0 )k. Nst caso, tmos qu fornc a taa d variação d f com rlação à variação da variávl quando a variávl prmanc fia. Emplo 6.4.1: O volum V d um cilindro circular rto é dado pla fórmula V = πr h, ond r é o raio do cilindro h é sua altura. a) Dtrmin a taa d variação do volum m rlação ao raio s a altura prmanc constant; b) Dtrmin a taa d variação do volum m rlação à altura s o raio prmanc constant; c) Com a altura fiada m 6cm, dtrmin a taa d variação do volum m rlação ao raio, quando o raio é igual a 4cm; d) Us o itm antrior para stimar o volum do cilindro quando sua altura é 6cm su raio é 4,001cm; ) Com o raio fiado m 4cm, dtrmin a taa d variação do volum m rlação à altura, quando a altura é igual a 6cm; f) Us o itm antrior para stimar o volum do cilindro quando su raio é 4cm sua altura é 5,998cm; Solução: a) A taa d variação do volum m rlação ao raio s a altura prmanc constant, trata-s da drivada parcial do volum com rlação ao raio, i.. V (r, h). Dsta forma, r tmos qu V (r, h) = πrh. r b) A taa d variação do volum m rlação à altura s o raio prmanc constant, V trata-s da drivada parcial do volum com rlação à altura, i.. (r, h). h Dsta forma, tmos qu V h (r, h) = πr. c) A taa d variação do volum m rlação ao raio, para o raio igual a 4cm, quando a altura é fiada m 6cm é V (4, 6). Dsta forma, tmos qu r V (4, 6) = π4.6 = 48π. r

15 Cálculo B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis d) Uma aproimação para o volum do cilindro quando r = 4, 001 = 4 + 0, 001 h = 6, conform visto acima, é dada por V (4 + 0, 001, 6) V (4, 6) + V (4, 6)0, 001 r π π.0, 001 = 96, 048π. ) A taa d variação do volum m rlação à altura, na altura é 6cm, quando o raio é fiado m 4cm é V (4, 6). Dsta forma, tmos qu h V r (4, 6) = π.4 = 16π. f) Uma aproimação para o volum do cilindro quando r = 4 h = 5, 998 = , conform visto acima, é dada por V (4, 6 0, 0) V (4, 6) + V (4, 6). 0, 00 h π π. 0, 00 = 95, 968π. Emplo 6.4.: No studo da pntração do conglamnto dtrminou-s qu a tmpratura T no instant t (mdido m dias) a uma profundidad (mdida m mtros) pod sr modlada pla função T (, t) = T 0 + T 1 λ sn (ωt λ), ond ω = π λ é uma constant positiva. 365 a) Dtrmin T intrprt fisicamnt; b) Dtrmin T intrprt fisicamnt; t c) S λ = 0., T 0 = 0 T 1 = 10, dtrmin intrprt as drivadas parciais d T T quando = 0 t = 15. t Solução: a) T (, t) = λt 1 λ sn (ωt λ) λt 1 λ cos(ωt λ) = λt 1 λ ( sn (ωt λ) + cos(ωt λ)). T fornc a taa d variação da tmpratura m rlação à variação da profundidad quando o dia é mantido constant.

16 Cálculo B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis b) T t (, t) = ωt 1 λ cos(ωt λ). T fornc a taa d variação da tmpratura m rlação à variação dos dias quando t a profundidad é mantida constant. c) ( T (0, 15) = 0,.0 ( = 4 sn ( π sn 365 ( ) 6π cos ).15 0,.0 ( 6π 73 4 ( π + cos )).15 0, )) T (0, 15) rprsnta a taa d variação da tmpratura m rlação à variação da profundidad, no nívl d profundidad d 0 mtros, dpois d dcorridos 15 dias. T π (0, 15) = t ( π ,0.0 cos 365 ) = 4π 73 4 cos ( 4π ).15 0, 0.0 T (0, 15) rprsnta a taa d variação da tmpratura m rlação à variação dos t dias, no décimo quinto dia, no nívl d profundidad d 0 mtros. Obsrvação 6.4.1: O qu foi fito acima para uma função ral d duas variávis rais pod sr stndido d forma natural para uma função ral d várias variávis rais. Isto é, considr a função f : Dom(f) R n R X = ( 1,,..., n ) f( 1,,..., n ) sja X 0 = ( 10, 0,..., n 0 ) Dom(f). S f possui todas as drivadas parciais d primira ordm m X 0, também tmos qu f( 10,..., i0 + i,..., n0 ) f(x 0 ) + i (X 0 ) i. Além disso, tmos qu i fornc a taa d variação d f com rlação à variação da variávl i quando todas as outras variávis j, j i prmancm fias.

17 Cálculo B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis VETOR GRADIENTE Agora vamos dfinir o vtor gradint d uma função d n variávis rais. Em alguns livros, st vtor só é dfinido para funçõs difrnciávis. Optarmos aqui por dfinir para funçõs qu possum todas as drivadas parciais, conform pod sr visto abaio. DEFINIÇÃO 6.5.1: Sja f : Dom(f) R n R X = ( 1,,..., n ) f( 1,,..., n ) sja X 0 = ( 10, 0,..., n 0 ) Dom(f). S f possui todas as drivadas parciais d primira ordm m X 0, o vtor gradint d f m X 0, dnotado por f(x 0 ), é dfinido como ( ) f(x 0 ) = (X 0 ), (X 0 ),... (X 0 ). 1 n Obsrv qu o concito d vtor gradint é spcífico para funçõs rais d várias variávis. Vamos rsolvr o mplo abaio. Emplo 6.4.1: Dtrmin f(, ), ond f(, ) = +. Solução: Conform visto no Emplo 6.1.1, (, ) = + (, ) = Portanto, f(, ) = ( +, ). Emplo 6.4.: Dtrmin f(0, 0), ond ; (, ) (0, 0) f(, ) = +. 0; (, ) = (0, 0) Solução: Conform visto no Emplo 6..4, (0, 0) = 0 (0, 0) = 0

18 Cálculo B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis Portanto, f(0, 0) = (0, 0). 6.6 Ercícios Ercício 6.6.1: Dtrmin as drivadas parciais da função ; (, ) (0, 0) f(, ) = +. 0; (, ) = (0, 0) Solução: Para (, ) (0, 0), tudo s passa como ants, i.. podmos utiliar as rgras d drivação com tranqüilidad, d modo qu (, ) = + + ( + ) = ( + ) 3 ( + ) 3/ = 3 + ( + ) 3/ (, ) = = + ( + ) ( + ). 3/ Já, para (, ) = (0, 0), conform obsrvado ants, tmos qu utiliar a dfinição. Portanto, f(0 + h, 0) f(0, 0) (0, 0) h h 0 h h h =. f(0, 0 + k) f(0, 0) (0, 0) k 0 k 0 k 0 k = 0.

19 Cálculo B - Notas d Aula (m construção) - Prof a Dnis Dsta forma, (, ) = (, ) = 3 + ; (, ) (0, 0) ( + ) 3/ ; (, ) = (0, 0) ; (, ) (0, 0) ( + ) 3/ 0; (, ) = (0, 0) Obsrv qu apsar d f não possuir drivadas parciais na origm, f é contínua na origm (Ercício 5.4.1).