Teoria de Controle (sinopse) 4 Função de matriz. J. A. M. Felippe de Souza

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1 Toria d Conrol (sinops) 4 Função d mariz J. A. M. Flipp d Souza

2 Função d mariz Primiramn vamos dfinir polinómio d mariz. Dfinição: Polinómio d mariz (quadrada) Sja p(λ)um polinómio m λd grau n (finio), podmos dfinir p(a). Por xmplo: S p(λ) λ 4 λ + 5 p(a) A 4 A + 5I No qu s A é uma mariz quadrada, não A, A, c. são bm dfinidas. Além disso, A o I, A A, como é óbvio.

3 Função d mariz A sguir vamos vr alguns rsulados imporans com rlação à polinómio d mariz : Torma : S não A A ) p(a ) p(a A p(a) Exmplo : Plo Torma acima, qualqur mariz diagonal A mos qu p(a) λ λ λ n A λ λ λ ) p( ) p( ) p( n

4 Função d mariz Torma S A é a forma canónica d Jordan d A, M dfinida m (.6) não no capíulo, Diagonalização, i) A k M A k M ii) p(a) M p(a) M iii) p(a) p(a) Além disso, s o bloco d Jordan A ij d dimnsõs n ij x n ij dfinido m (.7) no msmo capíulo, Diagonalização, não iv) (A ij λ i I) k, k n ij, k < n ij

5 Função d mariz Dfinição: n i, o índic do auovalor λ i n i maior ordm dos blocos A associados a λ i Dfinição: ψ(λ), o polinómio mínimo d A m ψ(λ) Π (λ λ i ) n_ i i Noa: ψ(λ) m grau _ m _ n Σ n n i i ond n grau do polinómio caracrísico d A, (λ) m (λ) Π (λ λ i ) n i i

6 Função d mariz Corolário: (do Torma acima) S ψ(λ) é o polinómio mínimo d A ψ(a) nnhum polinómio p(λ) d grau < n saisfaz p(a) _ grau do polinómio mínimo d A por sa razão ψ(λ) é chamado d polinómio mínimo d A Corolário: (chamado d Torma d Cayly-Hamilon): S (λ) polinómio caracrísico d A não, (A) (4.)

7 Função d mariz b) polinómio caracrísico d A (λ) (λ ) λ λ + (A) A A + I Exmplo : a) polinómio caracrísico d A (λ) (λ )(λ ) λ λ + (A) A A + I + A A + 6 4

8 Função d mariz Exmplo : A forma canónica d Jordan d uma mariz A é dada por A n i _ índic do auovalor λ i λ i n i 5 Para i E claro qu n n i n _ A A Para s A, os blocos d Jordan A ij, conform dfinido m (.7) no capíulo, Diagonalização, são

9 Função d mariz As marizs (A ij λ i I) êm a forma (A ij λ i I) (A λ I) (A λ I) Para as marizs A ij do Exmplo acima Exmplo (coninuação):

10 Função d mariz Exmplo (coninuação): A A (A λ I) logo A A É fácil d vrificar qu (A λ I)

11 Função d mariz Exmplo (coninuação): (λ) (λ λ ) 5 (λ + ) 5 polinómio caracrísico d A ψ(λ) (λ λ ) (λ + ) polinómio mínimo d A A A (A λ i I) ψ(a) (A λ I) (A + I) (A) (A + I) 5

12 Função d mariz Exmplo 4:A forma canónica d Jordan d uma mariz A é dada por A _ E claro qu n n + n 4 Para i λ i n i _ n i índic do auovalor λ Para i λ i n i _ n i índic do auovalor λ Para s A, os blocos d Jordan A ij, conform dfinido m (.7) no capíulo, Diagonalização, são A A [ ] A

13 Função d mariz Exmplo 4 (coninuação): (A λ I) logo É fácil d vrificar qu (A λ I) [ ] (A λ I) (A λ I) [ ] (A λ I) [ ] (A λ I)

14 Função d mariz Exmplo 4 (coninuação): polinómio mínimo d A ψ(λ) (λ λ ) (λ λ ) (λ + ) (λ + ) ψ(a) (A + I) (A + I) polinómio caracrísico d A (λ) (λ λ ) (λ λ ) (λ + ) (λ + ) (A) (A + I) (A + I)

15 Função d mariz Os rsulados a sguir vão prmiir qu s dfina ouras funçõs d mariz f(a) qu não sjam polinómios d mariz, como por xmplo sn (A), cos (A) ou A, a parir d polinómios d mariz p(a). Dfinição: α ij são os valors d p no spro d A α ij p (j) (λ i ), i,,, m j,,, (n i ) ond p (j) (λ i ) d j p (λ i ) dλ j claro qu: s j p () (λ i ) p(λ i )

16 Função d mariz Exmplo 5: Calcular os valors d p no spro d A para um polinómio p(λ) qualqur: a) A Polinómio caracrísico d A (λ) (λ )(λ ) λ λ + Auovalors d A λ, λ Valors d p no spro d A α p(), α p() b) A Polinómio caracrísico d A (λ) (λ ) λ λ + Auovalors d A λ, n Valors d p no spro d A α p(), α p () drivada m rlação à λ

17 Função d mariz Torma : p(a) q(a) p (j) (λ i ) q (j) (λ i ), _ i,,, m j,,, n i _ Obs.: No qu n i n i Ou sja, s p q êm os msmos valors no spro d A, não p(a) q(a) Torma 4 S A é uma mariz n x n não para polinómio p(λ) pods consruir um polinómio q(λ) d grau (n ), iso é q(λ) α o + α λ + α λ + + α n- λ n, al qu p q êm o msmo valor no spro d A, porano p(a) q(a) α o I + α A + α A + + α n- A n

18 Função d mariz Exmplo 6: A Achar A Primiro calcula-s (λ) (λ ) Logo, λ, n Agora dfina p(λ) λ q(λ) α o + α λ p() q() α o + α p () q () () 99 α α o 99 α Logo, p(a) q(a) A α o I + α A

19 Função d mariz Função d mariz

20 Função d mariz Agora vamos dfinir função d mariz. Dfinição: Função d mariz (quadrada) Sja f(λ) uma função qu é dfinida no spro d A. S q(λ) é um polinómio qu m os msmos valors no spro d A, não, f(a) q(a)

21 Função d mariz Exmplo 7: Calcular A para A dado por (λ) d (λ I A) λ 4λ + 5λ A (λ ) (λ ) auovalors d A λ, com muliplicidad (n ) λ, com muliplicidad (n ) Agora dfin-s f(λ) λ q(λ) α o + α λ + α λ f() q() α o + α + α f () q () α + α drivada m f() q() α o + α + 4α rlação à λ

22 Função d mariz Exmplo 7 (coninuação): α o α + α f(a) Porano, A q(a) α o I + α A + α A ( ( Obsrv qu, s, ) A ) ( ( ) ) Volarmos a sa função A (xponncial d mariz) mais adian. I (mariz idnidad).

23 Função d mariz Exmplo 8: Calcular sn(a) A auovalors d A λ, λ, Dfin-s f ( λ) q( λ) sn( λ) α o + α λ Fazndo f f ( λ ( λ ) ) q( λ q( λ ) ) f () f ( ) sn α + sn ( ) o α α o q() α q( ) Logo, α α o f(a) ( sn sn ) ( sn + sn ) q(a) sn (A) α o I + α A Noa: Como sno é uma função ímpar, sn( ) sn()

24 Função d mariz Exmplo 8 (coninuação): sn (A) α o + α α α o α sn ( sn + sn ) sn Porano, sn (A) sn ( sn + sn ) sn Obsrv qu, s, sn (A ) sn()

25 Função d mariz Exmplo 9: Para a msma mariz A do xmplo anrior, calcular cos (A) A D forma smlhan podmos achar: cos(a) cos ( cos cos ) cos Obsrv qu, s, mariz idnidad cos (A ) cos () I

26 Função d mariz Torma 5 (Gnralização do Torma acima) S A A não f(a) A f (A ) f (A ) Torma 6 (Gnralização do Torma (ii) (iii) acima) i) f(a) M f(a) M ii) f(a) f(a) (4.) (4.) Torma 7: Sja f(λ) g(λ) duas funçõs dfinidas no spcro d A, não f(a) g(a) g(a) f(a)

27 Função d mariz Função d mariz m blocos d Jordan Conform já vimos no capíulo anrior, os blocos d Jordan são marizs quadradas. A sguir alguns rsulados para funçõs d um bloco d Jordan.

28 Função d mariz Sja A ij bloco d Jordan d dimnsão n i x n i dfinido m (.7) no capíulo, Diagonalização, não (A ij λ i I) Ao s calcular (A ij λ i I), (A ij λ i I), c. Trmos zros na diagonal principal aqula diagonal d s vai subindo aé dsaparcr virar uma mariz d zros quando o xpon chgar a n i : (A ij λ i I) n i Es rsulado já foi ilusrado no Exmplo (acima)

29 Função d mariz ou sja,, (A ij λ i I) (A ij λ i I) n i....

30 Função d mariz Porano, s quisrmos calcular f(a ij ) srá mais práico s dfinirmos q(λ) q(λ) α o + α (λ λ i ) + α (λ λ i ) + + α n (λ λ i ) n i calcularmos os coficins α o, α, α,, α n al qu f q nham os msmos valors no spro d A ij. Obsrv qu para A ij, o polinómio caracrísico é (λ) (λ λ i ) n i, ou sja, possui um auovalor λ i com muliplicidad n i. Logo, α o f(λ i ) α f (λ i ) α f (λ i ) /!.. α n f (n i ) (λ i ) / (n i )! i são ais valors d α o, α, α,, α n.

31 Função d mariz Concluímos s rsulado para os blocos d Jordan com o nunciado do orma a sguir: Torma 8: f(a ij ) q(a ij ) (n i ) f ( λi ) f ( λi ) /! f ( λi ) /! f ( λi ) / (n i )! (n i ) f ( λi ) f ( λi ) /! f ( λi ) / (n i )! (n i ) f ( λi ) f ( λi ) / (n i )! f ( λi ) Com ss rsulado fica fácil calcular f(a) para marizs A na forma canónica d Jordan, como vrmos nos dois xmplos qu sgum.

32 Função d mariz λ λ λ λ λ λ A λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ! A Exmplo : Calcular A Usando Torma 8, obmos

33 Função d mariz Exmplo : A Usando novamn o Torma 8, mos Tomando Ado Exmplo 7, capíulo, Diagonalização, Calcular A A

34 Função d mariz Exmplo : A! A Usando novamn o Torma 8, mos Para A do Exmplo 6, capíulo, Diagonalização, Calcular A

35 Função d mariz Função d mariz séri d poências

36 Função d mariz Torma 9: Sja f(λ) Σ k α k λ k a rprsnação da função f m séri d poências f(λ i ) convrg para odos auovalors λ i Como consquência, s f(λ) Σ α k λ k k é a rprsnação da função f m séri d poências A n para algum iniro n >, não d A, não f(a) Σ α k A k k n f(a) Σ α k A k k

37 Função d mariz Considr o bloco d Jordan A ij dfinido m (.7) no capíulo, Diagonalização, a função f xpandida na forma d Séri d Taylor na vizinhança d λ i, não f (λ f(λ) f(λ i ) + f (λ i )(λ λ i ) + i ) (λ λ i ) +! f(a ij ) f(λ i ) I + f (λ i )(A f (λ ij λ i I) + i ) (A ij λ i I) +!

38 Função d mariz Exmplo : A função xponncial d mariz A usando Séri d Taylor Pla Séri d Taylor: λ λ n n! n! λ + λ convrg para odo λ finio. Logo, plo Torma 9: A k! Σ A k k k

39 Função d mariz Transformada d Laplac a xponncial d mariz A

40 Função d mariz Torma : Transformada d Laplac Transformada d Laplac invrsa nvolvndo a Exponncial d mariz A L ( A ) (s I A) A L {(s I A) } (4.4) (4.5) O rsulado ds Torma acima claramn gnraliza os rsulados conhcidos d Transformada d Laplac para a > : L ( a ) (s a) (s a) (s a) a L L {(s I a) }

41 Função d mariz i) Propridads d A I (4.6) ii) A( + s) A As (4.7) iii) A A A A d d A (4.8) iv) (A+ B) A B AB BA (4.9) Novamn, sas propridads acima claramn gnralizam propridads conhcidas da Transformada d Laplac para a > : i) ii) a ( + s) a as iii) iv) d d a a a ( a+ b) a b

42 Função d mariz Exmplo 4: Rcord qu no Exmplo 7 ínhamos a mariz A calculamos A A A ( ( ) ) ( ( ) ) S agora muliplicarmos sas duas marizs A A obmos A A ( ( + + ) ) ( 4 (4 + ) ) qu d faco corrspond à drivada d A conform prviso pla propridad (iii) acima. d A d ( ( ) ) ( (4 4 ) )

43 Função d mariz Exmplificação do cálculo da função xponncial d mariz A

44 Função d mariz Vamos ilusrar o cálculo da função xponncial d mariz A d formas difrns: º méodo: Usando os valors no spro d A(dfinição d função d mariz) º méodo: Usando a Transformada Invrsa d Laplac d (si A) º méodo: Usando séri d poências (Séri d Taylor) Farmos iso aravés d xmplos, usando a msma mariz A das maniras mncionadas acima, obndo smpr o msmo rsulado, claro. A

45 Função d mariz Exmplo 5: º méodo para o cálculo da função xponncial d mariz A Usando os valors no spro d A(dfinição função d mariz) A polinómio caracrísico d A (s) d (s I A) (s ) (s+) auovalors d A λ λ f(λ) λ q(λ) α o + α λ f(λ ) α o + α q(λ ) f(λ ) α o α q(λ ) α o (/) + (/) α (/) (/)

46 Função d mariz Exmplo 5 (coninuação): f(a) q(a) A α o I + α A Obsrv qu, s, A ( ) além disso: A I propridad (iii) d A m (4.8) A A + d A d

47 Função d mariz Exmplo 6: º méodo para o cálculo da função xponncial d mariz A Usando a Transformada Invrsa d Laplac d (si A) A Conform vimos no Torma, A pod sr xprsso como (Transformada Invrsa d Laplac): A L (s I A) logo, A L (s ) (s + ) A L (s (s ) )(s + ) (s + )

48 Função d mariz Exmplo 6 (coninuação): porano, A ( ) qu é o msmo rsulado obido no xmplo anrior (º méodo, Exmplo 5)

49 Função d mariz Exmplo 7: º méodo para o cálculo da função xponncial d mariz A Usando séri d poências (Séri d Taylor) A logo, Conform vimos no Exmplo, A pod sr xprsso na forma d séri d poências (Séri d Taylor) como: A Σ A k k k k! A I + A + A! + A! +... I A A /! A /! A !! 8! +...

50 Função d mariz Exmplo 7 (coninuação): + + +!! +!! ! 8! +... / 9 /!

51 Função d mariz Exmplo 7 (coninuação): + +! ( ) +! ! 8! +... A ( )

52 Função d mariz Exmplo 7 (coninuação): Porano, A ( ) qu é o msmo rsulado obido nos dois xmplos anriors (º º méodo, Exmplo 5 6) Já vimos no Exmplo 5 qu, para, A I (mariz idnidad), além disso, qu: A A d A d propridad (iii) d A m (4.8)

53 Obrigado! Flipp d Souza flipp@ubi.p