sen( x h) sen( x) sen xcos h sen hcos x sen x

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1 MAT00 Cálculo Difrcial Itgral I RESUMO DA AULA TEÓRICA Livro do Stwart: Sçõs 3., DEMONSTRAÇÕES Nssa aula srão aprstadas dmostraçõs, ou sboços d dmostraçõs, d algus rsultados importats do cálculo difrcial. Apsar d algus dsss rsultados já trm sido utilizados ss curso, até o momto ls aida ão foram dvidamt dmostrados. () s cos Dmostração: por dfiição, s( ) s( ) s cos s cos s s lim lim 0 0 s cos s cos lim cos s cos lim s lim dsd qu istam os limits s lim 0 cos lim. D fato sss limits 0 istm são camados d limits fudamtais. S stá m radiaos, tmos qu: s lim 0 cos lim 0 0 Substituido sss valors a prssão obtida atriormt para s, cgamos a igualdad s cos.

2 () s lim 0 Como vimos atriormt, para cocluir a dmostração d qu s cos prcisamos calcular os limits fudamtais. Etão comc com um âgulo m radiaos. Num primiro momto, supoa 0. Podmos supor uma vz qu stamos itrssados m fazr 0. Dss modo, podmos cosidrar a sguit figura: Ela rprsta uma part do círculo trigoométrico cujo stor AOB tm âgulo ctral igual a. Nssa figura tmos: OC cos, CB s AD tg. Além disso, la idica qu é válida a sguit dsigualdad d áras: ára( COB ) < ára(stor AOB ) < ára( AOD ) (*) Cada uma dssas áras é dada por: ára ( COB) s cos Obsrvação: a ára d um stor d âgulo ctral dado m radiaos, um círculo d raio r, ára ( stor AOB) é dada pla prssão r A. ára ( AOD) tg Substituido sss valors a dsigualdad (*) cgamos a s cos tg.

3 3 Multiplicado todas as parclas dssa dsigualdad por cada fração, cgamos a dsigualdad: cos s s cos (**) 0 dpois ivrtdo Obsrvação: a argumtação acima a dsigualdad (**) somt stá dmostrada para suficitmt pquo 0. Etrtato, trocado por obsrvado qu a fução cosso é par a fução so é ímpar, cga-s a coclusão d qu ssa igualdad também é vrdadira para suficitmt pquo 0. Para fializar, como lim cos lim, podmos aplicar o torma do 0 0 cos saduíc para as fuçõs idicadas a dsigualdad (**) cocluir qu s lim 0. (3) cos lim 0 0 Obsrvação: ão dmostrar ssa igualdad a aula tórica. Diar como rcício o tdimto da sguit dmostração: cos cos cos cos s lim lim lim lim 0 0 cos 0 (cos ) 0 (cos ) s s 0 lim 0. 0 cos (4) cos s Obsrvação: ão dmostrar ssa igualdad a aula tórica. Diar como rcício o tdimto da sguit dmostração: cos( ) cos( ) cos cos s s cos cos lim lim 0 0 cos s cos s lim cos s cos lim s lim cos 0 s s.

4 4 (5) Dmostração: sja f ( ). Por dfiição f( ) f( ) f( ) lim lim lim lim Como é uma costat m rlação a variávl, plas rgras opracioais d limits cgamos a igualdad f( ) lim, dsd qu ss último limit ista. 0 Etrtato, prcb-s qu o caso particular m qu 0 obtmos f(0 ) f(0) f (0) lim lim. 0 0 Portato, do qu acabamos d calcular, vmos qu s ist f (0) tão a fução pocial f ( ) é drivávl m qualqur poto val a igualdad: f ( ) f(0) f( ). Mas sabmos qu, gomtricamt, o úmro f (0) sigifica a icliação da rta tagt ao gráfico da fução f ( ) o poto A (0, ), qu o úmro priao foi scolido para qu a icliação dssa rta tagt sja atamt igual a. Logo o úmro satisfaz a igualdad f (0) lim. 0 Assim, fialmt, d f ( ) f(0) f( ) d f (0) cgamos a coclusão d qu f ( ) f( ) para todo ral. lim Obsrvaçõs: o limit qu acabamos d studar, os prmit 0 aprstar uma maira d calcular o úmro priao. D fato, ss limit rvla qu é aproimadamt igual a qu ssa aproimação tora-s cada vz mlor quado td a zro. Assim, por maipulaçõs simpls, obtmos

5 5. / Assim obtmos: 0 / lim. D outro modo aida, fazdo a mudaça d variávis o limit acima, obtmos: / lim lim 0 Obsrvação: o limit acima os prmit calcular aproimaçõs para o úmro priao. Obsrv aproimaçõs dss úmro a sguit tabla., aproimado até a 5a casa dcimal Obsrvação: o úmro priao com 5 casas dcimais é

6 6 (6) l Dmostração: sja f ( ) l. Por dfiição f( ) f( ) l( ) l( ) f ( ) lim lim lim l, sdo qu a última igualdad foi obtida através da aplicação das sguits propridads do logaritmo atural: l( a) l( b) l a b fução f ( ) l é cotíua, obtmos / p l ( a ) pl( a). Agora, admitido qu a / / lim l l lim 0 0 Daí cgamos a sguit prssão para a drivada d l f ( ) l lim l lim 0 0 / /. Agora, para cocluir o cálculo d l, prcisamos dtrmiar o valor do sguit limit / lim. 0 Para isso ftuamos a sguit mudaça d variávis:. Ou quivaltmt ou. S ss é o caso vmos qu td a ifiito quato td a zro, qu o limit acima toma a forma / / / lim lim lim, 0 uma vz qu já dmostramos qu lim. Portato Isso trmia a dmostração d qu / f ( ) l lim l 0 l. /.

7 7 INTERPRETAÇÕES GEOMÉTRICAS Afirmação: um poto P (, y) stá o gráfico da fução f ( ) s, somt s, o poto Q ( y, ) stá o gráfico da fução g ( ) l( ). D fato, P somt s, (, y) stá o gráfico d f ( ) s, y logaritmo atural, Isso qur dizr qu o poto g ( ) l( ) fução.. Mas, pla caractrização da fução y s, somt s, l( y) Q ( y, ). stá o gráfico da Dssa afirmação cocluímos qu os gráficos das fuçõs simétricos m rlação a rta y. y y l( ) são Agora vamos rcordar a dfiição do úmro priao. El foi dfiido para sr tal qu a icliação da rta tagt ao gráfico da fução y o poto A (0, ) sr igual a. Etrtato, como o gráfico da fução logaritmo atural é o simétrico do gráfico da fução pocial atural m rlação a rta y, isso implica qu a icliação da rta tagt ao gráfico da fução logarítmica f ( ) l o poto B (, 0) também é igual a (vja figura abaio).

8 8 Essa obsrvação implica qu s f ( ) l( ), tão f () () l lim / f 0 Como a quação l tm úica solução, obtmos, ou sja,. 0 / lim. Essa itrprtação gométrica implica o msmo limit, já cotrado atriormt, para o cálculo do úmro d Napir : / lim lim 0