1 Capítulo 2 Cálc l u c lo l I ntegra r l l em m R

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1 píulo álculo Ingrl m R

2 píulo - álculo Ingrl SUMÁRIO rimiivs imdis ou qus-imdis rimiivção por prs por subsiuição rimiivção d unçõs rcionis Ingris órmul d Brrow ropridds do ingrl dinido Ingris prméricos Ingris d limis ininios

3 píulo - álculo Ingrl Dinição d rimiiv: Sj um unção rl d vriávl rl dinid m D R. Diz-s qu é primiivávl s só s is um unção F : D R l qu F. Qulqur unção F qu vriiqu s condição é considrd um primiiv d.

4 píulo - álculo Ingrl Emplo: Qul primiiv ds unção? Srá únic? F F 5 F 00 onjuno d ods s primiivs d unção:, R

5 píulo - álculo Ingrl 5 Mis mplos:

6 6 píulo - álculo Ingrl ln < > 0 ln 0 ln ln < > 0 0 ' ln

7 píulo - álculo Ingrl 7

8 píulo - álculo Ingrl ln 6 5ln sin cos sin

9 píulo - álculo Ingrl Gnricmn: 9 m b m b k k

10 0 píulo - álculo Ingrl ln / α α α k k α α α ln cos sin sin cos

11 píulo - álculo Ingrl omo primiivr unção? sin sin [ sin ] Errdíssimo!! Não é nd simpls primiivr s unção! Esudrmos mis à rn

12 píulo - álculo Ingrl cos.sin omo primiivr unção? É muio mis simpls do qu nrior sin [ ] cos.sin orrco!!

13 píulo - álculo Ingrl sin. cos omo primiivr unção? [ ] cos cos sin. omo primiivr unção? [ ]. ln.

14 píulo - álculo Ingrl Mis lgums rgrs: k k... ' α α α '.

15 píulo - álculo Ingrl 5 ln '. ' ln '.cos sin '.sin cos

16 píulo - álculo Ingrl 6 [ ] ' rcsin [ ] ' rccos [ ] ' rcn [ rcsin ] [ rccos ] [ ]' rcn ' ' ' ' '

17 píulo - álculo Ingrl 7 For do cso d primiivção imdi, rcorr-s grlmn os dnomindos méodos rdicionis d primiivção: - or Dcomposição - or rs - or Subsiuição

18 8 píulo - álculo Ingrl rimiivção por Dcomposição: g g Emplo :

19 9 píulo - álculo Ingrl Emplo : [ ] [ ] rcsin rcsin

20 0 píulo - álculo Ingrl Ercícios:? b c? 6? 5

21 píulo - álculo Ingrl Ercícios: cos d sin.?? 8. sn?

22 píulo - álculo Ingrl rimiivção por rs: g'. g g ' u '. v u. v u. v '.. v u' u v u v'

23 píulo - álculo Ingrl u'. v u. v u. v' ln.ln ln. u' v ln ln

24 píulo - álculo Ingrl u'. v u. v u. v' cos sin sin.sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos sin sin cos sin sin

25 píulo - álculo Ingrl 5 rimiivção por Subsiuição: [ ϕ ϕ' ] ϕ ln ln... ' ln. ln ln ln

26 6 píulo - álculo Ingrl [ ] ' ϕ ϕ ϕ. '

27 píulo - álculo Ingrl Enconr s primiivs ds sguins unçõs, usndo os méodos d primiivção por prs ou subsiuição: 7? ln?? sn Ns primiiv pliqu os dois méodos!. cos?

28 píulo - álculo Ingrl 8 sn? 9 ln??? rcn? rcsn?

29 9 píulo - álculo Ingrl rimiivção d Funçõs Rcionis: ln Nd d novo! 5 5 rcn 8 8 Nd d novo!

30 píulo - álculo Ingrl 0 rimiivção d Funçõs Rcionis:? Novidd! O primiro psso é vriicr s rcção rcionl é própri, ou sj, s o gru do numrdor é inrior o gru do dnomindor. so isso não conç procd-s à divisão dos polinómios qu rsul ncssrimn num rcção própri num polinómio.

31 píulo - álculo Ingrl ln 6ln 6 6ln 6 6 D/d QR/d

32 píulo - álculo Ingrl ln...

33 píulo - álculo Ingrl rcn

34 píulo - álculo Ingrl rcn rcn... ln Assim rcn ln rcn ln ln Assim

35 5 píulo - álculo Ingrl 9 ln 9 8 ln O sinl ngivo impd qu primiiv sj rco ngn!!

36 6 píulo - álculo Ingrl B A omcmos novmn, plicndo o Méodo dos oicins Indrmindos B A

37 7 píulo - álculo Ingrl B A B A B A B A B A B A B A B A B A

38 8 píulo - álculo Ingrl B A ln ln ln ln

39 9 píulo - álculo Ingrl Apliqu o Méodo dos oicins Indrmindos pr clculr sguin primiiv: Dic B A,, B A

40 0 píulo - álculo Ingrl ln Solução:

41 píulo - álculo Ingrl Ingrl: r qu srv o cálculo ingrl? Srv sobrudo pr clculr árs!! Ms há ours plicçõs y b b A d

42 píulo - álculo Ingrl y b A b [ ] b d F F b F Fórmul d Brrow

43 píulo - álculo Ingrl Emplos:. Enconr ár dlimid pl unção o io dos XX nr. y A d [ ] 7 6

44 píulo - álculo Ingrl. Enconr ár dlimid pl unção ln o io dos XX nr. y A [ ].ln d ln ln ln

45 píulo - álculo Ingrl 5. Enconr ár dlimid pl unção 5 o io dos XX nr - -. y A d 0 5

46 píulo - álculo Ingrl. Enconr ár dlimid pl unção sin o io dos XX nr. 0 π 5 y A π 0 [ ] [ ] π sin d sin d cos π 0 0 0

47 píulo - álculo Ingrl 5. Enconr ár dlimid pl unção cos o π π io dos XX nr. 7 y A π π [ 0 cos ] d [ cos ] d π π π π π π [ ] sin [ sin ] π π π π

48 píulo - álculo Ingrl 8 6. Enconr ár dlimid pls unçõs: y g g A g d d, 5

49 9 píulo - álculo Ingrl 7. Enconr ár dlimid pls unçõs: 0 g 0 g y d d A

50 píulo - álculo Ingrl 50 ropridds dos Ingris Dinidos: b d F b F b d d b d 0

51 píulo - álculo Ingrl 5 ropridds dos Ingris Dinidos: b d d c d b c b [ α β g ] d α d β b b g d

52 5 píulo - álculo Ingrl [ ] F F F d ropridds dos Ingris Indinidos: [ ] [ ] ' ' F F d F F F d

53 5 píulo - álculo Ingrl [ ] F b F F d b b ropridds dos Ingris Indinidos: [ ] [ ] ' ' F b F d F b F F d b

54 5 píulo - álculo Ingrl ' F b F d b ropridds dos Ingris Indinidos: ' ' ' b b d F b F d b

55 píulo - álculo Ingrl ; 55 Torm d Médi: [ b] [,b]. Sj um unção conínu no inrvlo ; is h, l qu: b d b h y h h b

56 píulo - álculo Ingrl ; 56. Sndo m M o mnor o mior vlor d m [,b] m-s: y b m b d M b M m b

57 57 píulo - álculo Ingrl Ingris rméricos: r lém d vriávl, unção ingrr pod r prâmros. ; β β β β β d [ ] δ δ δ y y d y 0 0 ln β β β β β y y dy y

58 píulo - álculo Ingrl ; 58 Ingris com Limis Ininios: 0 d lim b [ ] [ ] b b 0 lim 0 b y Ár Ingrl convrgn!

59 píulo - álculo Ingrl ; 59 Ingris com Limis Ininios: d lim ln 0 b b b [ ] lim ln ln b y Ingrl divrgn!

60 píulo - álculo Ingrl ; 60 Ingris d unçõs dsconínus: 0 0ε 0 d lim d lim ε 0 ε 0 [ ] ε ln y ln ln lim ε 0 ε A unção ingrr não sá dinid m 0. Ingrl divrgn!

61 6 píulo - álculo Ingrl Ingris d unçõs dsconínus: ; lim lim ε ε ε ε d d d y [ ] [ ] 0 ln ln ln lim ln lim ln lim ln ε ε ε ε ε ε ε Ingrl convrgn!

62 píulo - álculo Ingrl ; 6 Ingris d unçõs dsconínus: 0 g d 5ε 0 lim g d lim ε 0 ε ε g d... y 5 g 0 A unção ingrr não sá dinid m 5, ms não é por isso qu o ingrl não é convrgn.

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