1 Capítulo 2 Cálc l u c lo l I ntegra r l l em m R
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- Bernardo Carreira Dias
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1 píulo álculo Ingrl m R
2 píulo - álculo Ingrl SUMÁRIO rimiivs imdis ou qus-imdis rimiivção por prs por subsiuição rimiivção d unçõs rcionis Ingris órmul d Brrow ropridds do ingrl dinido Ingris prméricos Ingris d limis ininios
3 píulo - álculo Ingrl Dinição d rimiiv: Sj um unção rl d vriávl rl dinid m D R. Diz-s qu é primiivávl s só s is um unção F : D R l qu F. Qulqur unção F qu vriiqu s condição é considrd um primiiv d.
4 píulo - álculo Ingrl Emplo: Qul primiiv ds unção? Srá únic? F F 5 F 00 onjuno d ods s primiivs d unção:, R
5 píulo - álculo Ingrl 5 Mis mplos:
6 6 píulo - álculo Ingrl ln < > 0 ln 0 ln ln < > 0 0 ' ln
7 píulo - álculo Ingrl 7
8 píulo - álculo Ingrl ln 6 5ln sin cos sin
9 píulo - álculo Ingrl Gnricmn: 9 m b m b k k
10 0 píulo - álculo Ingrl ln / α α α k k α α α ln cos sin sin cos
11 píulo - álculo Ingrl omo primiivr unção? sin sin [ sin ] Errdíssimo!! Não é nd simpls primiivr s unção! Esudrmos mis à rn
12 píulo - álculo Ingrl cos.sin omo primiivr unção? É muio mis simpls do qu nrior sin [ ] cos.sin orrco!!
13 píulo - álculo Ingrl sin. cos omo primiivr unção? [ ] cos cos sin. omo primiivr unção? [ ]. ln.
14 píulo - álculo Ingrl Mis lgums rgrs: k k... ' α α α '.
15 píulo - álculo Ingrl 5 ln '. ' ln '.cos sin '.sin cos
16 píulo - álculo Ingrl 6 [ ] ' rcsin [ ] ' rccos [ ] ' rcn [ rcsin ] [ rccos ] [ ]' rcn ' ' ' ' '
17 píulo - álculo Ingrl 7 For do cso d primiivção imdi, rcorr-s grlmn os dnomindos méodos rdicionis d primiivção: - or Dcomposição - or rs - or Subsiuição
18 8 píulo - álculo Ingrl rimiivção por Dcomposição: g g Emplo :
19 9 píulo - álculo Ingrl Emplo : [ ] [ ] rcsin rcsin
20 0 píulo - álculo Ingrl Ercícios:? b c? 6? 5
21 píulo - álculo Ingrl Ercícios: cos d sin.?? 8. sn?
22 píulo - álculo Ingrl rimiivção por rs: g'. g g ' u '. v u. v u. v '.. v u' u v u v'
23 píulo - álculo Ingrl u'. v u. v u. v' ln.ln ln. u' v ln ln
24 píulo - álculo Ingrl u'. v u. v u. v' cos sin sin.sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos sin sin cos sin sin
25 píulo - álculo Ingrl 5 rimiivção por Subsiuição: [ ϕ ϕ' ] ϕ ln ln... ' ln. ln ln ln
26 6 píulo - álculo Ingrl [ ] ' ϕ ϕ ϕ. '
27 píulo - álculo Ingrl Enconr s primiivs ds sguins unçõs, usndo os méodos d primiivção por prs ou subsiuição: 7? ln?? sn Ns primiiv pliqu os dois méodos!. cos?
28 píulo - álculo Ingrl 8 sn? 9 ln??? rcn? rcsn?
29 9 píulo - álculo Ingrl rimiivção d Funçõs Rcionis: ln Nd d novo! 5 5 rcn 8 8 Nd d novo!
30 píulo - álculo Ingrl 0 rimiivção d Funçõs Rcionis:? Novidd! O primiro psso é vriicr s rcção rcionl é própri, ou sj, s o gru do numrdor é inrior o gru do dnomindor. so isso não conç procd-s à divisão dos polinómios qu rsul ncssrimn num rcção própri num polinómio.
31 píulo - álculo Ingrl ln 6ln 6 6ln 6 6 D/d QR/d
32 píulo - álculo Ingrl ln...
33 píulo - álculo Ingrl rcn
34 píulo - álculo Ingrl rcn rcn... ln Assim rcn ln rcn ln ln Assim
35 5 píulo - álculo Ingrl 9 ln 9 8 ln O sinl ngivo impd qu primiiv sj rco ngn!!
36 6 píulo - álculo Ingrl B A omcmos novmn, plicndo o Méodo dos oicins Indrmindos B A
37 7 píulo - álculo Ingrl B A B A B A B A B A B A B A B A B A
38 8 píulo - álculo Ingrl B A ln ln ln ln
39 9 píulo - álculo Ingrl Apliqu o Méodo dos oicins Indrmindos pr clculr sguin primiiv: Dic B A,, B A
40 0 píulo - álculo Ingrl ln Solução:
41 píulo - álculo Ingrl Ingrl: r qu srv o cálculo ingrl? Srv sobrudo pr clculr árs!! Ms há ours plicçõs y b b A d
42 píulo - álculo Ingrl y b A b [ ] b d F F b F Fórmul d Brrow
43 píulo - álculo Ingrl Emplos:. Enconr ár dlimid pl unção o io dos XX nr. y A d [ ] 7 6
44 píulo - álculo Ingrl. Enconr ár dlimid pl unção ln o io dos XX nr. y A [ ].ln d ln ln ln
45 píulo - álculo Ingrl 5. Enconr ár dlimid pl unção 5 o io dos XX nr - -. y A d 0 5
46 píulo - álculo Ingrl. Enconr ár dlimid pl unção sin o io dos XX nr. 0 π 5 y A π 0 [ ] [ ] π sin d sin d cos π 0 0 0
47 píulo - álculo Ingrl 5. Enconr ár dlimid pl unção cos o π π io dos XX nr. 7 y A π π [ 0 cos ] d [ cos ] d π π π π π π [ ] sin [ sin ] π π π π
48 píulo - álculo Ingrl 8 6. Enconr ár dlimid pls unçõs: y g g A g d d, 5
49 9 píulo - álculo Ingrl 7. Enconr ár dlimid pls unçõs: 0 g 0 g y d d A
50 píulo - álculo Ingrl 50 ropridds dos Ingris Dinidos: b d F b F b d d b d 0
51 píulo - álculo Ingrl 5 ropridds dos Ingris Dinidos: b d d c d b c b [ α β g ] d α d β b b g d
52 5 píulo - álculo Ingrl [ ] F F F d ropridds dos Ingris Indinidos: [ ] [ ] ' ' F F d F F F d
53 5 píulo - álculo Ingrl [ ] F b F F d b b ropridds dos Ingris Indinidos: [ ] [ ] ' ' F b F d F b F F d b
54 5 píulo - álculo Ingrl ' F b F d b ropridds dos Ingris Indinidos: ' ' ' b b d F b F d b
55 píulo - álculo Ingrl ; 55 Torm d Médi: [ b] [,b]. Sj um unção conínu no inrvlo ; is h, l qu: b d b h y h h b
56 píulo - álculo Ingrl ; 56. Sndo m M o mnor o mior vlor d m [,b] m-s: y b m b d M b M m b
57 57 píulo - álculo Ingrl Ingris rméricos: r lém d vriávl, unção ingrr pod r prâmros. ; β β β β β d [ ] δ δ δ y y d y 0 0 ln β β β β β y y dy y
58 píulo - álculo Ingrl ; 58 Ingris com Limis Ininios: 0 d lim b [ ] [ ] b b 0 lim 0 b y Ár Ingrl convrgn!
59 píulo - álculo Ingrl ; 59 Ingris com Limis Ininios: d lim ln 0 b b b [ ] lim ln ln b y Ingrl divrgn!
60 píulo - álculo Ingrl ; 60 Ingris d unçõs dsconínus: 0 0ε 0 d lim d lim ε 0 ε 0 [ ] ε ln y ln ln lim ε 0 ε A unção ingrr não sá dinid m 0. Ingrl divrgn!
61 6 píulo - álculo Ingrl Ingris d unçõs dsconínus: ; lim lim ε ε ε ε d d d y [ ] [ ] 0 ln ln ln lim ln lim ln lim ln ε ε ε ε ε ε ε Ingrl convrgn!
62 píulo - álculo Ingrl ; 6 Ingris d unçõs dsconínus: 0 g d 5ε 0 lim g d lim ε 0 ε ε g d... y 5 g 0 A unção ingrr não sá dinid m 5, ms não é por isso qu o ingrl não é convrgn.
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