UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT Matemática I Prof.: Leopoldina Cachoeira Menezes

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT - Mamáica I Prof.: Lopoldina Cachoira Mnzs Prof.: Mauricio Sobral Brandão ª Lisa d Ercícios Par I: Funçõs Econômicas Rsolva os sguins problmas:. Drminar o prço d quilíbrio s p q p q são rspcivamn as quaçõs das curvas d dmanda ofra. Esboc o gráfico d ais curvas.. Drminar o pono d nivlamno ond as funçõs d cuso oal rcia oal são dadas rspcivamn porc ( q) q R ( q) q, ond q é a quanidad produzida?. Um profssor, ao mimografar aposilas para sus alunos, gasou R$., na dailografia das marizs. Calculando o prço d cuso d cada mariz (papl álcool) m R$, vndndo cada uma por R$,, calcular as funçõs C ( q), R ( q) L ( q) (cuso, rcia lucro oais). Esboçar o gráfico d ais funçõs.. O cuso oal para produzir q unidads por dia d um cro produo é C q q o prço d vnda d uma unidad é p - q. Dê as funçõs R, L dmanda.. Somn s o prço d uma drminada máquina supra R$, nconramos máquinas disponívis no mrcado. Enrano s o prço é d R$, não máquinas sarão disponívis no mrcado. Ach a quação da ofra supondo-a linar. 6. Uma companhia d urismo omou conhcimno d qu quando o prço d visia a ponos urísicos é d R$ 6, a média d passagns vndidas por viagm é d quando o prço passa para R$., o númro médio d passagns vndidas por viagm é somn 8. Supondo linar a quação da dmanda, nconr-a sboc su gráfico. 7. Prcisando alugar um carro, consulamos duas locadoras: a primira cobra R$, R$, por Km rodado; a sgunda cobra R$, R$, por Km rodado. Drmin qual a mlhor opção rprsn graficamn. 8. cuso uniário d produção d um bm é d R$, o cuso fio associado à produção é d R$.,. S o prço d vnda do rfrido bm é d R$ 6,, drminar: a) as funçõs cuso oal, rcia oal lucro oal; b) o pono d nivlamno; c) o lucro obido ao s fabricar unidads; d) a produção ncssária para s obr um lucro d R$.,.

2 9. prço d vnda d um bm d consumo é d R$ 8,. A indúsria sá produzindo. unidads o lucro pla vnda da produção é d R$ 6.,. S o cuso fio d produção é d R$ 96.,, calcul o cuso uniário d produção.. Paulo rsolvu monar uma fábrica d bolsas. Calculou qu ria uma dspsa d R$., com alugul, manunção d máquinas, c., qu o prço d cuso d cada bolsa sria d R$,. Rsolvu não fiar o prço d R$, para a vnda d cada bolsa. Drminar: a) as funçõs C ( q), R ( q) L ( q) ; b) quanas bolsas o fabrican rá qu fazr para qu não nha prjuízo; c) quanas bolsas Paulo prcisa vndr para obr um lucro d R$.,.. A produção d milho é função do frilizan dada por p ² ( quanidad d frilizan, p quanidad d milho produzido). a) sboc o gráfico dssa função; b) ao nívl d qual o aumno qu há na produção s a quanidad do frilizan for aumnada m %? c) is um valor d no qual a produção é máima? Qual?. Esima-s qu daqui a anos, a população d um cro país srá d 8 P( ) milhõs d habians., 6 8 a) Qual a população aual? b) Qual srá a população daqui a anos? c) À mdida qu os anos form passando dsconsidrando as mors, a população s aproimará d qu númro? RESPOSTAS. p. (.). C (q) q, R (q) q, L (q ) IOq -. R (q) q - q², L (q ) - / q² q, p - q. p ½ q 6. P -/q 6 7. S rodar mnos d 6 Km, a primira é mlhor. 8. a) C (q) q, R (q) 6q, b) (,) c) 7 d) L (q ) q - 9.,. a) C (q).q., R (q).q, b)8 c) L (q ) q -.

3 . b) aumno d,8% c) Sim,. a) milhõs b) 9, milhõs c) milhõs - Considr a função f dada plo gráfico a sguir: Par II: Limi Coninuidad Calcul: a) lim f () b) lim f () c) lim f () d) lim f () 7 ) lim f () f) lim f () g) lim f () h) lim f () i) lim f () j) lim f () l) lim f () 7 - Considr a função f, dada no rcício. Drmin:

4 a) lim f () b) lim f () c) lim f () d) lim f () ) lim f () f) lim f () g) lim f () h) lim f () i) lim f () - Drmin, s possívl, a R para qu isa lim f ( ), sndo: a) f ( ),, a s s s > < b) f ( ) ( )( ) a, s s ) Esboc o gráfico d cada função f, dada a sguir, drmin o qu s pd: a) f ( ) ln s > s I) lim f () II) lim f () III) lim f () IV) lim f () V) lim f () VI) lim f () VII) lim f () VIII) lim f () b) f ( ), s > s <

5 I) lim f () II) lim f () III) lim f () IV) lim f () V) lim f () VI) lim f () VII) lim f () - Considr as funçõs f( ) g( ) dadas abaio. Diga, jusificando, s las são conínuas m : a) f ( ), 8 6,, s s s < 6 > 6 b) g ( ) 8, s, s 6 - Drmin s possívl, κ R d modo qu f sja conínuo m, ond: a) f ( ) K, s <, s b) f ( ) K, s, s < 7 - Calcul os sguins limis: a) lim ( - ³ - ² - ) b) lim ( ) - c) lim log - ln d) lim (³-)

6 6 ) lim 9 f) lim g) lim h) lim i) lim 7 - j) lim ). cos( π l) lim - m) lim n) lim o) lim p) lim 9 7 q) lim 8 - Calcul os limis: a) lim ( - ) b) lim (- ² ) c) lim ( ²- ) d) lim ) lim f) lim g) lim (² ln ) h) lim ( ) log

7 i) lim ( - ) RESPOSTAS ) a) h) l) b) -a c), ), f), i) a d), g), j), não is ) a) -a c), ), g), i) b), f) d), h) não is ) a) - b) qualqur ral ) a),, -, não is,, /,, b),, -, não is, - ½ - a) f é conínua m ; f não é conínua m 6 b) f não é conínua m 7

8 6 - a) k - b) não is k al qu f sja conínua m 7- a) 9 b) / c) - ln d) - ) 6 f) g) h) ½ i) j) l) m) não is n) o) ½ p) -/6 q) a), c), h), b), ), g), - d), f), i),. Drminar as drivadas das funçõs abaio: Par III: Drivadas a) f ( ) Rsp.: f '( ) 6 b) f ( ) Rsp.: f '( ) 6 7 c) y 6 Rsp.: y ' 9 6 a b 6a d) y a b a b a b b a ) y 7 f) y ln g) y Rsp.: y ' ( ) h) y ( i) y Rsp.: y ' ( ) j) y ln k) y ln (ln ) l) y ln log ln a.log a.ln m) y. log Rsp.: n) y Rsp.: ln y'. ) ln.(ln y' (ln ).ln ) 8

9 o) p) q) y ( ) Rsp.: y Rsp.: 6.( ) 7.( ) 6.( ) Rsp.: r) y. log Rsp.: y ' 6.( y ' ( ) y ' ( ) y'. 8 ).ln s) y.. ) y.. (.ln) u) y ln(. ) v) y ln( ) Rsp.: y '.( ) w) y.ln( ).ln( ) ) y log( ) Rsp.: ' 6. y.ln ( ).ln y) y (.ln ) Rsp.: y ' (.ln )( ln ) z) y.. (.ln ). Drminar dy d y d d nos casos abaio: a) y. ( ) y" ( ) b) y Rsp.: y ' (.ln ) y" (.ln ) c) y Rsp.: y' () y" 9 8 (). Vrificar s cada função abaio saisfaz a quação difrncial indicada: d y 8 a) y ;. d b) y log( );. y'" ln dy. Calcular d nos casos abaio: 9

10 a) y 8 Rsp.: b) ² y² Rsp.: c) ³ y³.y Rsp.: d) y² y² - Rsp.: dy d dy d y dy y d y dy y d y( ). Drminar uma quação da ra angn a cada curva abaio, no pono d abscissa : a) y ; Rsp.: 7 - y - b) y ; Rsp.: y c) y Rsp.: y - y ; d) ² - y³ 8 Rsp.: - y ) ( - y)³ 7; Rsp.: - y f).y ; Rsp.: y -