PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2011/1

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 0/

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3 SUMÁRIO. FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL..... CONCEITO..... ZEROS DE UMA FUNÇÃO..... FUNÇÃO POLINOMIAL Função constante Função polinomial de o grau ou função linear Função polinomial de o grau ou função quadrática FUNÇÃO RACIONAL FUNÇÃO RAIZ N-ÉSIMA NÚMERO E FUNÇÃO EXPONENCIAL NA BASE E LOGARITMO NATURAL FUNÇÃO LOGARITMO NATURAL SITES RELACIONADOS..... FUNÇÕES DEFINIDAS POR MAIS DE UMA LEI RESPOSTAS WINPLOT.... APLICAÇÕES DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL CUSTO TOTAL OFERTA DEMANDA RECEITA LUCRO SITES RELACIONADOS RESPOSTAS.... DERIVADAS DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA REGRAS DE DERIVAÇÃO INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO APLICAÇÕES DE DERIVADAS CUSTO MARGINAL RECEITA MARGINAL LUCRO MARGINAL SITES RELACIONADOS RESPOSTAS.... ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL PONTO ESTACIONÁRIO DETERMINAÇÃO DOS INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS RELATIVOS DE UMA FUNÇÃO TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA(TDP) TESTE DA DERIVADA SEGUNDA(TDS) SITES RELACIONADOS RESPOSTAS INTEGRAL INDEFINIDA PRIMITIVA INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL INDEFINIDA REGRAS DE INTEGRAÇÃO SITES RELACIONADOS... 5

4 5.5. RESPOSTAS INTEGRAL DEFINIDA PROPRIEDADES BÁSICAS INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA ÁREA DA REGIÃO ENTRE DUAS CURVAS SITES RELACIONADOS RESPOSTAS... 6 APÊNDICE... 6.CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS OPERAÇÕES COM FRAÇÕES SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES INTERVALOS OPERAÇÕES COM INTERVALOS PRODUTOS NOTÁVEIS FATORAÇÕES COMUM E DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE O GRAU RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE O GRAU PRODUTO NULO RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO O GRAU RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO O GRAU POTÊNCIAS FUNÇÃO EXPONENCIAL FUNÇÃO LOGARITMO RESPOSTAS BIBLIOGRAFIA... 77

5 .. CONCEITO. FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL Sejam A e B dois subconjuntos não vazios do conjunto de números reais. Chamamos de função real f de A em B a qualquer regra ou lei que associa a cada A um único número B. Observações: a) Neste caso, f é função de variável. b) A variável é chamada de independente e a variável é chamada de dependente. c) O número real é o valor da função f no ponto, ou imagem de pela f, e é representado também por f(). d) = f() (,) f e) O conjunto A dos valores da variável independente é chamado domínio da função f. f) O conjunto I B, formado pelas imagens dos elementos do domínio A é denominado conjunto imagem de f. g) Doravante representaremos o domínio A da função f por Dom f e a imagem I da função f por Im f. Eemplo: A B 0 O diagrama ao lado epressa uma relação entre os conjuntos A e B. Como cada elemento de A está associado a um único elemento de B, dizemos que esta relação define uma função de A em B. 5 Se esta função for identificada por f, teremos: f() = 0 (,0) f f() = (,) f f() = (,) f f(5) = (5,) f Dom f = A Im f = {0,,} E) Os diagramas abaio representam relações entre dois conjuntos A e B. Justifique porque cada um deles representa ou não função de A em B. a) A B b) A B c) A B

6 E) Sejam os conjuntos A = {0,,,6} e B = {,,5,7,9}. Dentre os conjuntos abaio, justifique porque cada um deles representa ou não função de A em B. a) {(0,5),(,5),(,5),(6,5)} b) {(0,),(,),(,),(6,5)} c) {(0,),(,),(,)} d) {(0,),(,),(,5),(,7),(6,9)} E) Os conjuntos f = {(0,),(,),(,5),(,5)}, g = {(0,),(,),(,),(6,5)} e h = {(-,),(0,5),(,8)}representam funções. Determine: a) f() b) g(6) c) h(0) d) f() + g() e) g(6) h(-) f) f(). h() g) h(): g() h) 0f() + g(0) 5h() i) Dom f j) Dom g k) Dom h l) Im f m) Im g n) Im h E) Dentre os gráficos abaio, justifique porque cada um deles representa ou não como função de. a) b) c) d) e) f) g) h) Nota: As funções de uma variável podem ser representadas por meio de tabelas, gráficos e fórmulas. As tabelas são importantes porque com freqüência é a forma como as funções aparecem, através do gráfico podemos perceber propriedades globais rapidamente, por eemplo: domínio, imagem, velocidades de crescimento e decrescimento, etc... e as fórmulas são eatas e sujeitas à análise.

7 E5) Seja a função dada por f() =. Determine f(-), f(0), f(/) e f(-). E6) Determine o domínio e a imagem de cada função representada abaio: a) b) c) d) e) E7) Encontre os domínios das funções abaio: a) f() = 5 b) f() = c) f() = + d) f() = + + e) f() = f) f() = 5 7 g) f() = 6 h) f() = i) f() = + j) f() = k) f() = l) f() = ( ) m)f() = n) f() = o) f() = p) f() = 5 q) f() = E8) Em um carro que comporta até cinco passageiros, a despesa com a gasolina será dividida entre o número de pessoas que efetuará uma viagem. Se a despesa com gasolina é R$ 5,00, organize uma tabela que relacione o número de passageiros do carro e o valor a ser pago por cada um. Encontre uma lei que relacione essas variáveis. E9) A tarifa de uma corrida de tái em determinada cidade é composta de duas partes: uma parte fia chamada bandeirada e uma parte variável que corresponde ao número de quilômetros que o tái percorre. Sabe-se que a bandeirada custa R$,80 e o preço por quilômetro rodado é de R$ 0,80. Epresse o preço a pagar em função do número de quilômetros rodados.

8 E0) Um botijão de gás contém kg de gás. Em média, é consumido, por dia, kg. Epresse a massa m de gás no botijão, em função de t (dias de consumo). E) Um professor pediu para sua turma uma tarefa a ser realizada em grupo. Os grupos variam de dois a no máimo 5 componentes. A despesa de cada grupo que será de R$ 60,00 será dividida entre seus elementos. Encontre uma epressão que especifique o valor a ser pago por um aluno de um possível grupo... ZEROS DE UMA FUNÇÃO Seja f uma função definida por uma equação = f(). Zeros ou raízes de f são os valores de para os quais f() = 0. Geometricamente, são as abscissas dos pontos de interseção da curva, gráfico de f, com o eio dos. E) Encontre os zeros das funções: a) f() = b) f() = c) f() =.. FUNÇÃO POLINOMIAL Eemplos: a) f() = 5 + (polinomial de grau ) b) f() = 5 (função quadrática, polinomial de grau ) c) f() = + (função linear, polinomial de grau ) d) f() = 5 (função constante, polinomial de grau 0) e) f() = 0 (função constante, não se atribui grau) f) f() = Notas:. 5 (polinomial de grau ) a) Uma função polinomial = f() tem a forma f() = a 0 n + a n- + a n-...+ a n, com a 0, a, a,...,a n e n {0,,,...}. b) O domínio de uma função polinomial = f() é, pois eiste o valor da função para cada.

9 ... Função constante Função constante é uma função definida por f() = c, onde c é um número real. O gráfico da função constante é uma reta horizontal que corta o eio das ordenadas em c. Eemplo: f() = 0 Dom f = Im f = { }... Função polinomial de o grau ou função linear Função linear é uma função definida por f() = a + b, com a e b e a 0. O gráfico cartesiano de uma função linear é uma reta. Na equação da reta = a + b, a é o coeficiente angular ou declividade e b é o coeficiente linear. f f Como o o 0 90, a = tg > 0 e portanto f é crescente. b o Como o o 90 80, a = tg < 0 e portanto f é decrescente. b Dom f = e Im f = Nota: Como dois pontos determinam uma única reta, podemos desenhar a reta de equação = a + b, encontrando dois pares (,) que satisfazem a equação, isto é, dois pontos da reta. Como geralmente estamos interessados em mostrar as intersecções da reta com os eios coordenados, consideramos num par (,), = 0 e no outro par (,), = 0. Eemplo: Esboçar o gráfico da função linear dada por =. 5

10 Solução : Podemos determinar dois pontos quaisquer da reta, e assim esboçar o gráfico da função dada. Escolhendo um valor para, por eemplo, o valor correspondente para é, e o ponto obtido é P(,). Escolhendo um segundo valor para, por eemplo, o valor correspondente para é, e o ponto obtido é Q(,). Q P - 0 Solução : Determinando as intersecções da reta com os eios coordenados. Escolhendo para o valor 0, o valor correspondente para é, e o ponto obtido é R(0, ) (intersecção da reta com o eio das ordenadas). Escolhendo para o valor 0, o valor correspondente para é /, e o ponto obtido é S(/,0) (intersecção da reta com o eio das abscissas). S 0 ½ - R Observe que a reta acima é a mesma obtida na solução, logo a representação gráfica independe dos pontos da reta que escolhemos. 6

11 E) Numa função polinomial do o grau o coeficiente angular a não pode ser zero, por quê? E) Um caso particular da função polinomial do o grau é a função Identidade, definida por f() =. Esboce o seu gráfico. E5) Construa os gráficos das seguintes funções: a) f() = + b) f() = +, [-,) c) f() =, (-,] Importante: Numa função polinomial do o grau, a razão de variação de em relação a é constante e igual ao Δ coeficiente angular a, isto é, Δ a. 0 0 Eemplo: Δ Δ Δ a 0 a 0 Δ Δ Δ Δ A tabela acima mostra que a razão de variação é constante e igual a -. Logo, a tabela define uma função Δ linear com declividade -. Portanto, a equação que define esta função é do tipo = - + b (), onde e representam as coordenadas de qualquer ponto da reta. Podemos encontrar o coeficiente linear b, usando na equação (), qualquer par (,) apresentado na tabela. 7

12 Eemplo: Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P( ) e tem declividade 5. Solução: Sabemos que = a + b é a equação de uma reta, onde a é a declividade, b é o coeficiente linear e, e são as coordenadas de qualquer ponto da reta. Se a declividade da reta é 5, a equação assume a forma = 5 + b. O coeficiente linear b pode ser determinado através da substituição, na equação, de por e por. Logo, a equação da reta é = 5 7. E6) Escreva a equação da reta que contém o ponto P e tem declividade a, sendo: a)p(,) e a = 5 b) P( -,-) e a = - c) P( /,-6) e a = d)p(, ) e a = - e) P(,0) e a = f) P(-,-) e a = / E7) A tabela abaio define q como uma função linear de p? Em caso afirmativo, determine a lei. p q E8) Uma equação linear foi usada para gerar os valores da tabela abaio. Encontre esta equação. 5, 5, 5, 5,5 5,6 7,8 9, 0,6, E9) Uma empresa de aluguel de automóveis oferece carros a R$ 0,00 por dia e 5 centavos o quilômetro rodado. Os carros de um concorrente estão a R$ 50,00 por dia e 0 centavos o quilômetro rodado. a)para cada empresa, obtenha uma fórmula que dê o custo de alugar um carro por dia em função da distância percorrida. b) Nos mesmos eios, esboce o gráfico de ambas as funções. 8

13 ... Função polinomial de o grau ou função quadrática Função quadrática é uma função definida por f() = a + b + c, com a,b,c e a 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola de vértice V, com a concavidade voltada para cima se a > 0 e com a concavidade voltada para baio se a < 0. Eemplo: f() = A figura acima apresenta a parábola, gráfico da quadrática f, sendo: a) = + 6 5, a equação da parábola; b) a = < 0(concavidade voltada para baio) ; c) o ponto V(,), o vértice da parábola; d) e 5, as raízes ou os zeros da função; e) c = 5(ordenada do ponto do plano, onde a parábola intercepta o eio das ordenadas). E0) Considere os gráficos das funções quadráticas abaio e determine as coordenadas dos vértices, as raízes, caso eistam, e as equações. a) b) c) 9

14 Um procedimento para esboçar o gráfico de uma função quadrática = a +b + c º. Identificar o termo independente c, que indica onde a parábola intercepta o eio das ordenadas. º. Resolver a equação a + b + c = 0 para determinar, caso eistam, os pontos e onde a parábola corta o eio das abscissas. º. Determinar a localização do vértice V( V, V ), calculando a abscissa v através da média aritimética dos pontos e ou usando a fórmula V = b e calculando a ordenada V como a imagen do v, isto é, a V = f( V ) ou usando a fórmula V = a, com = b ac. E) Use o procedimento acima para construir os gráficos de: a) f, quadrática, tal que = =, c = - e V(,0) b) f, quadrática, tal que = 0, =, c = 0 e V(,-) c) f, quadrática, tal que,, c = - e V(,-) d) f() = e) f() = - + f) f() = + g) f() =, [-,).. FUNÇÃO RACIONAL É uma função da forma f() Eemplos: a) f() = p() q() onde p() e q() são funções polinomiais e q() 0. b) f() = 0

15 .5. FUNÇÃO RAIZ N-ÉSIMA É uma função da forma Eemplos: f () n, onde n é um número inteiro maior que um. a) f() = b) f() =.6. NÚMERO e O valor da epressão ( ), quando aumenta infinitamente, aproima-se de um número irracional, tão importante quanto o π. Esse número, denominado número de Euler, é representado pela letra e. O número e é a base mais usada nas funções eponenciais, úteis na representação de fenômenos nas ciências naturais e sociais. e =, E) Use uma calculadora para encontrar, com quatro casa decimais, o valor de e para: a) = b) = - c) = d) = - e) = f) = - Propriedades de e Sejam a e b dois números reais. ) e 0 = ) e = e ) e a.e b = e a+b ) e a :e b = e a-b 5) (e a ) b = e ab

16 .7. FUNÇÃO EXPONENCIAL NA BASE e A função eponencial na base e é dada por f() = e, onde e é o número de Euler. E) Use a tabela abaio, para esboçar o gráfico da função eponencial na base e =e e 0 = e,7 e - 0,7 e 7,9 e - 0,.8. LOGARITMO NATURAL Seja um número real positivo. Chamamos de logaritmo natural ou neperiano de, o valor de que é solução da equação e =. = ln e = E) Use uma calculadora para encontrar, com quatro casa decimais, o valor de ln para: a) = b) = / c) = d) = / e) = f) = /

17 Propriedades dos Logaritmos ) ln = 0 ) ln e = ) ln (a.b) = ln a + ln b, com a > 0 e b > 0 a ) ln( ) ln a ln b, com a > 0 e b > 0 b 5) ln a b = b.ln a, com a > 0 e b um número real. E5) Use as propriedades dos logaritmos para calcular os valores das epressões abaio: a).lne + ln (/e) b)lne + e lne c).ln(e.lne) + ln( lne) Aplicação A fórmula de juros compostos é VF=VP.(+ i) n, onde: VF : valor futuro; VP : valor presente; i: taa de juros ao período; n: número de períodos, na mesma unidade de tempo que i. Use a fórmula de juros compostos e as propriedades dos logaritmos para resolver os eercícios 6 e 7. E6) Durante quanto tempo o capital de R$.000,00 deve ser aplicado a juros compostos à taa de 0% a.a. para que produza um montante de R$,00? E7) Um capital de R$ 0.000,00 foi aplicado a juros compostos durante meses. Sabendo que o montante no final do período foi de R$ 5.880,00, calcular a taa relativa ao período.

18 .9. FUNÇÃO LOGARITMO NATURAL A função Logaritmo natural é a função dada por f() = ln, com > 0. E8) Use a tabela abaio, para esboçar o gráfico da função eponencial na base e. / / =ln ln (/) -,9 ln (/) -0,69 ln=0 ln 0,69 ln,09 ln,9.0. SITES RELACIONADOS

19 .. FUNÇÕES DEFINIDAS POR MAIS DE UMA LEI E9) Para cada função abaio,esboce o gráfico e determine: a)o domínio; b)a imagem; c)os intervalos de crescimento e os intervalos de decrescimento; d) o valor máimo e o valor mínimo, caso eistam; e)as intersecções com os eios coordenados, caso eistam; f) o vértice da parábola, quando for o caso., se 0 ) f () ), se 0 f (), se, se ) f (), se, se ) f (),, se se 0 0 5) f (), se, se ) f (), se 5, se 5, se 5 7) f(), se 8) f(), se, se, se, se, se 0 9) f () 0) f (), se 0 e, se ln, se E0) Um imposto é cobrado em função da renda mensal do contribuinte da seguinte maneira: até 0 sm (salários mínimos), inclusive, o contribuinte está isento; entre 0 sm e 0 sm paga 0%; 0 sm ou mais, paga 5%. Dê a lei dessa função e esboce o seu gráfico. 5

20 E) A partir do ano-calendário de 0, a contribuição mensal ao INSS (Instituto Nacional do Seguro Social) é calculada mediante a utilização da seguinte tabela: Salário bruto Contribuição até R$.06,90 8% do salário bruto Acima de R$.06,90 até R$.8,8 9% do salário bruto Acima de R$.8,8 até R$.689,66 % do salário bruto acima de R$.689,66 R$ 05,86(% de R$.689,66) Portaria nº 568, de de dezembro de 00 Dê a lei da Contribuição em função do Salário bruto e esboce o seu gráfico. E) A partir do ano-calendário de 00, o imposto de renda a ser descontado na fonte sobre os rendimentos do trabalho assalariado, inclusive o º salário, pagos por pessoas físicas ou jurídicas, bem assim sobre os demais rendimentos recebidos por pessoas físicas, que não estejam sujeitos à tributação eclusiva na fonte ou definitiva, pagos por pessoas jurídicas, será calculado mediante a utilização da seguinte tabela progressiva mensal: Base de cálculo Alíquota Parcela a deduzir do imposto até R$.99,5 - - Acima de R$.99,5 até R$.6,75 7,50 % R$, Acima de R$.6,75 até R$.995,70 5,00% R$ 80,9 Acima de R$.995,70 até R$.7,9,50% R$ 505,6 Acima de R$.7,9 7,50% R$ 69,78 A quantia de R$ 50,69 (cento e cinqüenta reais e sessenta e nove centavos) por dependente; Com base nas informações da tabela acima, dê a lei do Imposto em função do rendimento e esboce o seu gráfico, sem considerar dependentes. 6

21 .. RESPOSTAS E) a) É função, pois cada elemento de A está associado a um único elemento de B b)não é função, pois o terceiro elemento de A está associado a dois elementos de B. c)não é função, pois o segundo elemento de A não está associado a nenhum elemento de B. E) a) É função, pois cada elemento de A está associado a um único elemento de B. b) É função, pois cada elemento de A está associado a um único elemento de B. c)não é função, pois o elemento 6 de A não está associado a nenhum elemento de B. d)não é função, pois o elemento de A está associado a dois elementos de B. E) a) b) 5 c) 5 d) 8 e) f) 0 g) 8/ h) i) {0,,,} j) {0,,,6} k) {-,0,} l) {,5} m) {,,5} n) {,5,8} E) a)não é função, pois eiste valor de associado a dois valores distintos de. b) É função, pois cada valor de está associado a um único valor de. c)não é função, pois o valor de associado a infinitos valores distintos de. d)não é função, pois eiste valor de associado a dois valores distintos de. e) É função, pois cada valor de está associado a um único valor de. f)não é função, pois eiste um valor de associado a dois valores distintos de. g)não é função, pois eistem dois valores de associado a infinitos valores distintos de. h) É função, pois cada valor de está associado a um único valor de. E5) a) - b) -/ c) -/ d) NE E6) a) e [0, ) b) e [0, ) c) e d) { 0} e { 0} e) { 0} e (0, ) 7 E7) a) b) c) d) e) { } f) { } g) (,] 5 h) [, ) i) [0, ) j) (0, ) k) [0, ) -{9} l) { } m) {,} n) {,} o) { } p) q) 7

22 E8) 5, {,,,,5} E9) = 0,8 +,8 E0) a) m = t, t [0,] E) 60 p (n), n {,,,5} n E) a) b),- c) 0,,- E) Não, se a = 0, a equação assume a forma = b, sendo b, isto é, a função se torna constante. E) 0 E5) a) b) c) E6) a) = 5 7 b) = 5 c) = 7 d) = + e) = f) = E7) Sim, q = -5p + 00 E8) = 5 E9) a) = 0,5 + 0, = 0, E0) a) V(,-), = 0, =, = b) V(-,-), não tem raízes, = - c) V(0,0), = = 0, = E) a) b) c) 8

23 d) e) f) g) E) a),78 b) 0,679 c) 7,89 d) 0,5 e) 0,0855 f) 0,098 E) E) a) 0,69 b) -0,69 c),0986 d) -,0986 e),86 f) -,86 9

24 E5) a) b) + e - c) E6) 5 anos E7) % a.m. E8) E9) ) a) b) (,0] c) Cresc.: (,0) e Decresc.: (0, ) d) Má.: 0, Mín.: NE e) = 0 f) NE ) a)(-,] b) (-,] c) Cresc.: (-,] d) Má.:, Mín.: NE e) = - f) NE 0

25 ) a) { } b) c) Cresc.: (, ) [0, ) Dec.: (-,0] d) Má.: NE, Mín.: NE e) = - e = 0 f) (0,0) ) a) b) [, ) c) Cresc.: [, ) e Decresc.: (, ] d) Má.: NE, Mín.: - e) = - e = 0 f)(-,-) 5) a)(-5,5] b) [-5,5) c) Cresc.: [-,] d) Má.: NE, Mín.: 5 e) = -, = 0 e = f) (-,-) e (,)

26 6) a) b) [, ) c) Cresc.: [, ) e Decresc.: (,] d) Má.: NE, Mín.: e) NE f) (,) 7) a) [ 5, ) -{-,} b) [-5,) {} c) Cresc.: [-5,-) (-,) d) Má.: e Min.: -5 e) = -5/ e = 0 f) NE 8) a) b) (,] c) Cresc.: (, ] [0, ] e Dec.: [-,0] d) Má.: e Mín.: NE e) = - e = 0 f) (0,0)

27 9) a) b) [ 0, ) c) Cresc.: [ 0, ) e Decresc.: (,0] d) Má.: NE, Mín.: 0 e) = 0 f) NE 0) a) b) [ 0, ) c) Cresc.: ( ) [, ) d) Má.: NE, Mín.: 0 e) = f) NE E0) I (r) 0, se r 0 r,se r, se r 0 s.m. 0 s.m. 0 s.m. r 0 s.m. I r

28 E) C (s) 8s /00, se 9s /00, se s /00, se R$ 05,86, se 0 s R$.06,90 R$.06,90 s R$.8,8 R$.8,8 s R$.689,66 s R$.689,66 E) I (r) 7,50.r /00 5,00.r /00 0,,50.r /00 7,50.r /00 R$07,55, R$ 68,80, R$ 8,75, R$ 69,78, se se se se se 0 r R$.99,5 R$.99,5 r R$.6,75 R$.6,75 r R$.995,70 R$.995,70 r R$.7,9 r R$.7,9.. WINPLOT O winplot é um programa para plotagem de gráficos de funções de uma e duas variáveis, etremamente simples de ser utilizado pois dispensa o conhecimento de qualquer linguagem de programação e é distribuído gratuitamente, podendo ser baiado da internet ou da página do professor com um manual útil a esta disciplina.

29 . APLICAÇÕES DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL.. CUSTO TOTAL Uma empresa que produz um determinado bem, tem dois tipos de custos, o custo fio C f que não depende da quantidade produzida e o custo variável C v que depende da quantidade produzida. A tabela abaio apresenta alguns ítens geradores do custo fio e do custo variável da empresa. Custos fios Aluguel Folha de Pagamento Energia Elétrica(tarifa mínima) Água(tarifa mínima) Telefone(tarifa mínima) Custos variáveis(gastos com a produção) Matéria - prima Horas-Etras Energia Elétrica(tarifa adicinal) Água(tarifa adicional) Telefone(tarifa adicional) O custo fio e o custo variável podem ser considerados como funções da quantidade produzida. A figura abaio apresenta os gráficos das funções custo fio e custo variável. C v C f 0 A função custo total da empresa é a soma das funções custo fio e custo variável: C() = C v () + C f A figura abaio apresenta o gráfico da função custo total, considerando a figura anterior. C C f 0 Responda as questoes que seguem, considerando uma função custo total qualquer. E)O que representa o custo total quando = 0? E)O que representa o custo total quando = 5? E)O que representa C(6) C(5)? E)O que representa C(9) C(7)? 5

30 Resumo: A função Custo ou Custo Total tem a forma C() = C v () + C f, onde C v é o custo variável, C f é o custo fio e é a quantidade produzida C C f 0 E5)Dada a função Custo Total C() = +, onde representa a quantidade produzida, determine: a) a função custo fio b) a função custo variável c) o custo de produção de 0 unidades; d) o custo de produção da 0 a unidade... OFERTA Seja q o número de unidades de uma certa mercadoria a ser ofertada por um produtor. Esta quantidade q depende de vários fatores tais como a capacidade de individamento do produtor, do custo total de produção, do preço p de mercado da mercadoria e outros. Vamos supor que a quantidade q dependa apenas do preço unitário p de venda da mercadoria. A quantidade ofertada pode ser considerada como função do preço de venda: q = f(p) A figura abaio apresenta uma curva de oferta, gráfico de uma função oferta. q curva de oferta 0 p E6) Seja uma função oferta = f(), onde representa o preço unitário e, a quantidade ofertada. Se a função oferta é linear e o seu gráfico passa pelos pontos (,) e (6,), determine a equação da função oferta e faça um esboço do gráfico. 6

31 Resumo: A função Oferta = f() epressa a relação entre o preço e a quantidade oferecida de uma mercadoria, descrevendo desta forma o comportamento dos produtores de um certo produto em relação ao preço por unidade. curva de oferta 0.. DEMANDA A quantidade demandada de um certo produto, isto é, a quantidade que o grupo de consumidores desse produto está disposto a adquirir, depende: do preço do produto, do preço de outros produtos que podem ser substitutos ou complementares, do gosto do consumidor, da propaganda e de outros fatores. A quantidade demandada pode ser considerada como função do preço de venda: q = f(p) A figura abaio apresenta uma curva de demanda, gráfico de uma função demanda. q curva de demanda 0 p Resumo: A função Demanda = f() epressa a relação entre o preço e a quantidade demandada de uma mercadoria, descrevendo desta forma, o comportamento dos consumidores em relação ao preço por unidade de um certo produto. curva de demanda 0 7

32 Observação: Se PE( 0, 0 ) é o ponto de intersecção dos gráficos das funções oferta e demanda, então: a) PE é denominado ponto de equilíbrio de mercado ; b) 0 é denominado preço de equilíbrio de mercado; c) 0 é denominado quantidade de equilíbrio de mercado. curva de oferta 0 PE curva de demanda 0 0 E7)Dadas as funções = e = + 9, respectivamente oferta e demanda para um certo produto, onde representa o preço unitário, determine o ponto de equilíbrio de mercado e as curvas de oferta e demanda no no mesmo sistema de eios... RECEITA Um certo produto é colocado à venda no mercado. A Receita desse produto, representa o total recebido pela venda do produto. R = p v.q v, onde p v é o preço de venda e q v é a quantidade vendida A receita pode ser considerada como função da quantidade vendida. - Preço de venda fio. Se o preço de venda p é constante e representa a quantidade vendida, o gráfico da função receita R é uma semi-reta com origem na origem do sistema de eios, como mostra a figura abaio. R R = p. 0 8

33 - Preço de venda variável. Se o preço de venda p não é fio, a quantidade vendida(demandada) depende do preço do produto, isto é, eiste uma relaçao inversa entre o preço e a quantidade demandada ou vendida. Nesse caso, o gráfico da receita é uma curva como mostra a figura abaio. R má R R = p. 0 Resumo: A função Receita ou Receita Total tem a forma R() = p., onde p é o preço unitário de venda e é a quantidade vendida. E8) Complete a tabela a seguir, sabendo que a equação da demanda para um certo produto é = -p + 0, onde é a quantidade demandada e p é o preço unitário de venda. Preço de venda(p) Quantidade demandada ou vendida() Receita Total(R) E9) Considere o eercício 8 e escreva a equação da receita R em função da quantidade vendida. E0)Use a tabela anterior para construir o gráfico da função Receita = f(). E)Dada a função Receita Total R() = 0, onde representa a quantidade vendida, determine: a) a receita decorrente da venda de unidades; b) a variação da receita decorrente da venda da ª unidade; c) a quantidade que deve ser vendida para que a receita seja máima e a receita máima. 9

34 Observação: Os pontos de intersecção dos gráficos das funções Receita e Custo, PN (, ) e PN (, ), são denominados pontos de nivelamento. C PN PN (, ) PN (, ) PN R C f O E) Dadas as funções C = + 6 e R =, respectivamente Custo e Receita para um certo produto, determine os pontos de nivelamento e o intervalo onde a receita é maior que o custo..5. LUCRO Chamamos de lucro a diferença entre a receita total e o custo total, isto é: L = R C O lucro L pode ser considerado uma função da quantidade produzida e vendida, isto é: L() = R() C() Resumo: A função Lucro ou Lucro Total tem a forma L() = R() C(), onde é a quantidade produzida e vendida. C C f R O -C f L E)Dadas as funções C = + 8 e R = 0, respectivamente Custo e Receita para um certo produto, onde representa a quantidade produzida e vendida, determine: a) a função Lucro; b) os pontos de nivelamento; c) a receita máima; d) o lucro máimo; e) os gráficos de C, R e L no mesmo sistema de eios; f) o intervalo onde não ocorre prejuízo. 0

35 E) Dadas as funções = e = +, respectivamente oferta e demanda para um certo produto, onde representa o preço unitário, determine: a) o ponto de equilíbrio de mercado; b) os seus gráficos no mesmo sistema de eios. E5) As equações de demanda e oferta do mercado para um certo produto são, respectivamente, = 5 e + 0 = 0, onde é o preço e é a quantidade demandada ou ofertada. Determine o ponto de equilíbrio de mercado e os seus gráficos no mesmo sistema de eios. E6) Com um preço de R$ 5,00 por unidade, uma fábrica oferecerá mensalmente lanternas de pilha; a R$,50 por unidade, ela oferecerá.000 unidades. Determine a equação da oferta para este produto, sabendo que a mesma é linear. E7) Uma companhia de ônibus observou que, quando o preço de uma ecursão é de R$ 5,00, 0 pessoas compram bilhetes; quando o preço é de R$ 8,00, são vendidos apenas 0 bilhetes. Considerando a demanda linear, encontre a equação da demanda. E8) Dadas as equações + 7 = 0 e + = 0, onde representa o preço unitário, determine: a) qual das equações epressa curva de oferta; b) qual das equações epressa curva de demanda; c) o ponto de equilíbrio de mercado; d) os seus gráficos no mesmo sistema de eios. E9) Se a função Custo Total para produzir unidades de um certo produto é dado pela função C() = , determine: a) o custo fio; b) custo variável; c) o custo de fabricação de 0 unidades; d) o custo de fabricação de unidades; e) a variação do custo de fabricação da ª unidade.

36 E0) Se a equação p = + 00 epressa a relação entre o preço p e a quantidade demanda de um certo produto, determine: a) a função Receita; b) a receita decorrente da venda de 5 unidades; c) a receita decorrente da venda de 6 unidades; d) a variação da receita decorrente da venda da 6ª unidade; E) Dadas as funções Receita e Custo R() = + 5 e C() = ( ) +, onde representa a quantidade produzida e vendida, encontre a função Lucro Total. E) Dadas as funções C = + e R = - + 6, respectivamente Custo e Receita para um certo produto, onde representa a quantidade produzida e vendida, determine: a) os pontos de nivelamento; b) os gráficos de C e R no mesmo sistema de eios; c) o intervalo onde não ocorre prejuízo..6. SITES RELACIONADOS O%0FUN%C7%D5ES%0ECON%DMICAS%0006.PDF

37 .7. RESPOSTAS E) O custo fio C f E) O custo de produção das cinco primeiras unidades. E) O custo de produção da seta unidade. E) A soma dos custos de produção da oitava e nona unidades. E5) a) C f = b) C v () = c) C(0) = 0 u.m. d) C(0) C(9) = 9 u.m. E6) = curva de oferta 0 6 E7) PE(,5) 9 curva de oferta 5 curva de demanda 0 / 9/ E9) R() = 0

38 E0) 50 R E) a) R() = u. m. b) R() R() = u. m. c) = 5 e R má = R(5) = 5 E) PN (,), PN (8,0) e (,8) E) a) L() = b) (,9), (,) c) 5 d) 9 f)[,] E) a) (5,8) b) curva de oferta 8 curva de demanda 0 5 E5) (,6) 5 curva de oferta 6 curva de demanda 0 5 E6) = 5, sendo a demanda dada em milhares. E7) 0 90

39 E8) a) demanda = 7 b) oferta = + c) (,6) d) 7 6 curva de oferta curva de demanda 0 7 E9) a) 500 b) C v = , C f = 500 c) 500 d) 60 e) 0 E0) a) R() = + 00 b) 50 c) 58 d) 78 E) L() = + 5 ( ) E) a)(,5) e (,9) b) c) [,] C 5

40 . DERIVADAS.. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA A derivada se originou do seguinte problema geométrico: como determinar a reta tangente em um ponto de uma curva qualquer. Este problema foi resolvido por Isaac Newton e G. Leibniz, em trabalhos independentes um do outro. Mais tarde descobriu-se que a derivada que fornece o coeficiente angular da reta tangente também permite determinar a taa de crescimento ou decrescimento de uma curva, isto é, a velocidade com que a curva está variando em um certo ponto. O conceito de derivada apresenta muitas aplicações, sendo muito usado em engenharia, economia, medicina e computação. Nesta disciplina, estamos interessados no uso da derivada para responder as seguintes questões: Em um certo intervalo, a função custo está crescendo a taas crescentes ou a taas decrescentes? Para que quantidade vendida se obtém a receita máima ou o lucro máimo? Qual a receita máima ou lucro máimo? Quais os intervalos de crescimento e decrescimento da receita ou do lucro? A seguir apresentaremos as notações que serão usadas em nosso estudo e as regras de derivação que nos permitem encontrar, com facilidade, as derivadas das funções estudadas, sem o uso da definição, que é trabalhosa e foge do nosso escopo. Notações: A derivada de uma função = f() é uma função representada por: d f (), D f(), f () d d ou, D,,se = f(). d 6

41 .. REGRAS DE DERIVAÇÃO. DERIVADA DA FUNÇÃO CONSTANTE D c = 0 Eemplos: a) D 5 = 0 b) Se f() = então f () = 0 c) Se = e então = 0. DERIVADA DA FUNÇÃO IDENTIDADE D =. DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NATURAL (e ) = e. DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARITMO NATURAL (ln ) = 5. DERIVADA DA SOMA OU DIFERENÇA DE FUNÇÕES (f() g()) = f () g () Eemplos: a) D ( 5 + e ) = 0 + e = e b) Se f() = ln então f () = 6. DERIVADA DO PRODUTO DE UMA CONSTANTE POR UMA FUNÇÃO (c.f()) = c.f () Eemplos: a) D 5 = 5. = 5 b) Se f() = ln então f () =. 7

42 E) Encontre, sabendo que: a) = b) = e + 5 c) = ln d) = + e e) = 7 6 f) = e + 8ln g) = 9 h) = 5 9 ln i) = 5 j) = ln e + 7. DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA ( p ) = p p- Eemplos: a) D = b) Se f() =, f() = / então f () =. / = c) Se =, = - então = -5 = 5 E) Encontre, sabendo que: a) = + b) = e c) = e e d) = e) = f) = g) = j) = h) =.( + ) i) = ( )( + ) 8

43 8. DERIVADA DO PRODUTO DE DUAS FUNÇÕES (f().g()) = f().g () + g().f () Eemplo: D (.ln ) =. +.ln. = +.ln =.( + ln ) 9. DERIVADA DO QUOCIENTE DE DUAS FUNÇÕES f () g() ' g().f '() [g()] f ().g' () Eemplo: Se f() = então f () = ( ). ( ( ) )( ) 8 ( 8 ) ( 0 ) E) Encontre, sabendo que: a) =.ln b) = e c) = e) = e ln f) = i) = j) = d) = e g) = 5 ( ln h) = ) E) Resolve as equações f () = 0, para: a)f() = b) f() = + c) f() = 5 d) f()= 8 5 e) f()= f) f()= + g) f()= +5 h) f()= 5 5 i) f() = 0 j) f() = 9

44 .. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO A derivada f ( ), se eistir, fornece a declividade da reta tangente ao gráfico de uma função f no ponto P(, f( )). f t f( ) P 0 f ( ) = a t Eemplo: Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função logaritmo natural no ponto de abscissa. Solução: f() = ln Se o ponto de tangência P tem abscissa =, a ordenada é f( ) = f() = 0. A declividade da reta tangente ao gráfico da f no ponto P é a = f ( ) = f () =. Portanto, a equação da reta tangente é 0 = ( ) ou =. E5) Seja a função definida por f() =. a)calcule a declividade da reta tangente ao gráfico de f no ponto =. b)encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto =. c)esboce os gráficos de f e da reta tangente, no mesmo sistema de eios. E6) Seja a função definida por f() = no ponto P(, ). a)encontre a derivada da função f. b)calcule a declividade da reta tangente ao gráfico de f no ponto P. c) Escreva a equação da reta tangente, no ponto P. 0

45 .. APLICAÇÕES DE DERIVADAS... CUSTO MARGINAL C mg () = C () Sendo C a função Custo Total para produzir unidades de um certo produto, chama-se Custo Marginal a derivada da função Custo Total em relação a. O custo marginal é aproimadamente a variação do custo decorrente da produção de uma unidade adicional. Por eemplo, C mg (0) = C (0) é aproimadamente o custo da décima primeira unidade. E7) Se a função Custo Total é dada por C() = , determine a função custo marginal.... RECEITA MARGINAL R mg () = R () Sendo R a função Receita Total decorrente da venda de unidades de um certo produto, chama-se Receita Marginal a derivada da função Receita Total em relação a. E8) Se a função Receita Total é dada por R() = + 00, determine a função receita marginal. Observação: Do mesmo modo que a custo marginal, a receita marginal representa, aproimadamente, a variação da receita total devido a venda de uma unidade a mais, a partir de unidades. No eemplo anterior: R mg (5) = 80 R(6) R(5) = 78. Então, a receita marginal calculada no ponto 5 é a variação aproimada da receita decorrente da venda da 6ª unidade.... LUCRO MARGINAL L mg () = L () Sendo L a função Lucro Total decorrente da produção e venda de unidades de um certo produto, chama-se Lucro Marginal a derivada da função Lucro Total em relação a.

46 E9) Se a função Receita é dada por R() = + 00 e a função Custo é dada por C() = , onde representa a quantidade produzida e vendida, determine: a) a função Lucro Total; b) a função Lucro Marginal; c) o lucro marginal ao nível de 0 unidades; d) a interpretação do resultado c. E0) Se a função Receita é dada por R() = 00 e a função Custo Total C() = , onde representa a quantidade produzida e vendida, determine: a) a função Custo Marginal; b) a função Receita Marginal; c) a função Lucro Total; d) a função Lucro Marginal; e) o custo de produção de unidades; f) o custo de produção da ª unidade; g) use a função Custo Marginal para estimar o custo de produção da ª unidade; h) a receita decorrente da venda de unidades; i) a variação da receita decorrente da venda da ª unidade; j) use a função Receita Marginal para estimar a variação da receita decorrente da venda da ª unidade; k) o lucro decorrente da produção e venda de unidades; l) a variação do lucro decorrente da produção e venda da ª unidade; m) use a função Lucro Marginal para estimar a variação do lucro decorrente da produção e venda da ª unidade; E) Dadas as funções Receita e Custo R() = + 9 e C() = + 6, determine o Lucro Marginal no = e interprete o resultado obtido..5. SITES RELACIONADOS

47 .6. RESPOSTAS E) a) = b) = e c) = d) = e) = 6 f) = e + 8 g) = h) = 5 i) = j) = 0 E) a) = 6 + b) = c) = e d) = e) = f) = - g) = h) = i) = + j) = E) a) = + ln b) = e ( + ) c) = ( ) d) = ( ) e) = e e ( ) ( +ln ) f) = g) = 5 (+ln ) h) = i) = ( ) j) = E) a) = 0 b) = c) NE d) = 0, = -, = e) = 0, = f) = -, = g) = 0, = h) = 0, = -, = i) =, = j) =, = E5) a) b) = c)

48 E6) a) f () = b) c) = + E7) C mg = E8) R mg = + 00 E9) a) L = b) L mg = c) 0 E0) a) C mg = + 0 b) R mg = 00 c) L = d) L mg = + 80 e) 0 f) g) 0 h) 00 i) 00 j) 00 k) 59 l) 59 m) 60 E)

49 . ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL Considere o gráfico abaio, de uma função polinomial f. 0 f a) A função f é crescente em (, 0] [5,5] [0, ). b) A função f é decrescente em [0,5] [5,0]. Observações: a) Os intervalos onde f é crescente ou decrescente são partes do domínio da f. b) Os pontos onde f muda o crescimento apresentam retas tangentes ao gráfico de f horizontais. c) Retas horizontais tem declividade zero, portanto f (0) = f (5) = f (5) = f (0) = 0. d) A função f não possui máimo, pois não eiste o ponto mais alto do gráfico. e) A função f não possui mínimo, pois não eiste o ponto baio do gráfico. f) A função f possui máimos, por eemplo, nos intervalos (-5,5) e (0,0). Este tipo de máimo é denominado máimo local ou relativo. g) A função f possui mínimos, por eemplo, nos intervalos (0,0) e (5,5). Este tipo de mínimo é denominado mínimo local ou relativo. h) Os máimos relativos de f são 0 e 0, que acontecem, respectivamente, nos pontos 0 e 5. i) Os mínimos relativos de f são -0 e -0, que acontecem, respectivamente, nos pontos 5 e 0. j) Os máimos e mínimos relativos de f são denominados etremos relativos de f. 5

50 .. PONTO ESTACIONÁRIO Um ponto c do domínio de uma função f é chamado de ponto estacionário de f se f (c) = 0. Geometricamente: t t t t 0 c 0 c 0 c 0 c E) Encontre os pontos estacionários de f, sendo: a)f() = + b) f() = + c) f() = DETERMINAÇÃO DOS INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Seja f uma função continua em [a,b] e derivável em (a,b). a) Se f ()>0 para todo (a,b) então f é crescente em [a,b] ) b) Se f ()< 0 para todo (a,b) então f é decrescente em [a,b] Eemplo: Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada por f() = 6 +. Solução: o ) Determinação dos pontos estacionários: f () = = 0.( ) = 0 = 0 ou = 0 PE={0,} o ) Determinação do sinal da derivada nos intervalos (,0), (0,) e (,+ ): Para qualquer (,0), f () > 0, logo f é crescente em (,0). Para qualquer (0,), f () < 0, logo f é decrescente em (0,). Para qualquer (, + ), f () > 0, logo f é crescente em (, + ). 6

51 Importante: Para determinar o sinal da derivada num intervalo, basta escolher um ponto qualquer do intervalo e calcular a derivada nesse ponto. E)Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das funções dadas por: a) f()= 5 b) f()= 8 5 c) f()= d) f()=.. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS RELATIVOS DE UMA FUNÇÃO... TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA(TDP) Seja f uma função continua e derivável em (a,b), eceto possivelmente em c (a,b) a) Se f passa de positiva para negativa em c então f(c) é máimo relativo de f b) Se f passa de negativa para positiva em c então f(c) é mínimo relativo de f c) Se f não muda de sinal em c então f(c) não é etremo relativo de f Geometricamente: t t t t 0 c 0 c 0 c 0 c c é ponto de máimo relativo e f(c ) é máimo relativo de f c é ponto de mínimo relativo e f(c ) é mínimo relativo de f c e c não são pontos etremantes Eemplo: Determine os máimos e os mínimos relativos da função dada por f() = 8. 7

52 Solução: o ) Determinação dos pontos estacionários: f () = 6 6 = 0.( ) = 0 = 0 ou = 0 PE={-,0,} o ) Determinação do sinal da derivada nos intervalos (,-), (-,0), (0,) e (,+ ): Para qualquer (,-), f () < 0, logo f é decrescente em (,-). Para qualquer (-,0), f () > 0, logo f é crescente em (-,0). Para qualquer (0,), f () < 0, logo f é decrescente em (0,). Para qualquer (, + ), f () > 0, logo f é crescente em (, + ). TDP f(-) = -6 é mínimo relativo de f, f(0) =0 é máimo relativo de f e f() = -6 é mínimo relativo de f. E) Encontre os máimos e mínimos relativos das funções dadas por: a) f()= 8 + b) f()= + 5 c) f() = d) f() =... TESTE DA DERIVADA SEGUNDA(TDS) Seja f uma função derivável em (a,b) e c (a,b), tal que f (c)= 0 a) Se f (c) > 0 então f(c) é mínimo relativo de f. b) Se f (c) < 0 então f(c) é máimo relativo de f. c) Se f (c) = 0, nada podemos concluir. Eemplo: Determine os máimos e os mínimos relativos da função dada por f() = 8. Solução: o ) Determinação dos pontos estacionários: f () = 6 6 = 0.( ) = 0 = 0 ou = 0 PE={-,0,} 8

53 o ) Determinação da derivada segunda: f () = 6 TDS f (-) = > 0 então f(-) = -6 é mínimo relativo de f f (0) = -6 < 0 então f(0) =0 é máimo relativo de f f () = > 0 então f() = -6 é mínimo relativo de f E) Encontre os máimos e mínimos relativos das funções dadas por: a) f()= + b) f()= +5 c) f()= d) f()= 5 5 E5) Faça um estudo completo do comportamento das funções abaio. a)f()= 8 +6 b) f()= + 0 c) f() = 0 d) f() = + 6 e) f() = f) f() = E6) Se L()= é a função lucro na venda de unidades de um certo produto, determine o lucro máimo. E7) Seja R() = a função receita total na venda de unidades de um certo produto. Determine a receita marginal e a receita máima... SITES RELACIONADOS 9

54 .5. RESPOSTAS E) a) ; b) ; 0 ; c) ; E) a) Cresc. b) Cresc.:[-,0] [, ), Decresc.: (, ] [0,] c) Cresc. d) Cresc.: [, ), Decresc.: (,] E) a) Má. Rel.: f(0) = Mín. Rel. : f( ) = f() = 5 b) Má. Rel.: f( ) = Mín. Rel. : f(0) = 5 c) Má. Rel.:f(0) = 6 Mín. Rel.:f( ) = 6 e f() = d) Má. Rel.: f( ) = 6 Mín.Rel.: f() = 6 E) a) Má. Rel.: f( ) = 0 Mín. Rel. : f() = b) Má. Rel.: f(0) = 5 Mín. Rel. : f() = c) Má. Rel.: f(0) = 6 Mín. Rel. : f( ) = f() = -0 d) Má. Rel.: f( ) = Mín. Rel. : f() = E5) a) Cresc.: [ 0, ), Decresc.: (,0], Má. Rel.: NE, Mín. Rel. : f(0) = 0 b) Cresc.: (, ] [, ), Decresc.:[-,], Má. Rel.: f( ) = 7, Mín.Rel. : f() = 0 c) Cresc.: (,] [, ), Decresc.:[,], Má. Rel.: f() = d) Decresc.: (,], Cresc.: [, ), Má. Re.:NE, Mín. Rel. : f() =, Mín. Rel. : f() = 0, 5 e) Cresc.: (,] [, ), Decresc.:[,], Má. Rel.: f() =, Mín. Rel. : f() = 6 f) Cresc.: (, ), Má. Rel.: NE, Mín. Rel. : NE E6) L má = E7) a) R mg = b)r má =

55 5. INTEGRAL INDEFINIDA Em matemática, cada vez que definimos uma operação, pensamos na sua operação inversa, que desfaz o efeito da primeira. Assim, a subtração é a operação inversa da adição, a divisão é a operação inversa da multiplicação e a etração da raiz quadrada é a inversa da operação que eleva ao quadrado. Estamos agora interessados na operação inversa da derivação. DERIVAÇÃO F F = f PRIMITIVAÇÃO 5.. PRIMITIVA Uma função F é chamada de primitiva de uma função f em um intervalo I se F () = f(), I. Eemplos: As funções dadas por F () =, F () = +, F () = são primitivas da função dada por f() =. A função f possui infinitas primitivas que podem ser representadas por F() + k chamada de primitiva geral ou integral indefinida da f que é notada por f()d ou seja f()d = F() + k. 5.. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL INDEFINIDA A integral indefinida de uma função f é representada geometricamente por uma família de curvas que em pontos de mesma abscissa possuem retas tangentes paralelas. Eemplo: d k 5

56 E) Determine: a) d b) 5d c) d d) (5 )d 5.. REGRAS DE INTEGRAÇÃO. d k. e d e k d. ln k. [f() g()]d f()d g()d Eemplos: a) (e )d e d d e k b) ( )d d d k 5. cf()d c f()d, sendo c uma constante Eemplos: a) 5.e d 5 e d 5e k b) d d k E) Encontre: a) d b) ( e ) d c) ( ) d d) e d e) (ln 5e ) d f) ( ) d g) ( e ln 6) d h) (e e ) d i) ( ) d j) ( ) d 5

57 p p 6. d k,sendo p - p Eemplos: a) d k 5 / 5 / b) d d k k 5 / 5 d c) d k k E) Encontre: a) ( - - )d 5 b) ( )d c) d d) d e) d f) d g) ( )d j) ( ) d 5 h) ( )d i) d E) Determine a equação da curva = f() que passa pelo ponto P, sabendo que: a) P(,) e f ()= b) P(,5) e f ()= c) P(0, ) e f () = e d) P(, ) e f () = + e) P(,5) e f () = E5) Dadas as funções C mg = q e R mg = q + 6q +, respectivamente Custo Marginal e Receita Marginal para um determinado produto, determine as funções Custo, Receita e Lucro, sabendo que o custo de duas unidades é 8. E6) Dadas as funções R mg = q + 6q, C mg = 0 e C f = 00, respectivamente Receita Marginal, Custo Marginal e Custo Fio para um mesmo produto, determine a função Lucro. 5

58 E7) Sabendo que o custo marginal é dado por C mg () = 0 e o custo de produção de duas unidades é 5 u.m., determine o custo fio. E8) Um fabricante pode produzir um determinado produto cujo preço de venda é R$ 0,00 a unidade. O fabricante estima que se unidades forem vendidas por semana, o custo marginal será C mg =. Ache a função Lucro desse produto, sabendo que o custo de produção de quatro unidades é R$ E9) Um fabricante pode produzir um determinado produto cujo preço de venda é R$ 0,00 a unidade. O fabricante estima que se unidades forem vendidas por semana, o custo marginal será C mg = 0. Ache o lucro obtido pela produção e venda de 0 unidades desse produto, sabendo que o custo de produção de quatro unidades é R$ E0) Um fabricante produz e vende uma quantidade q de certa mercadoria. As funções Custo Marginal e Receita Marginal são respectivamente C mg =q + 0 e R mg = q+0. Sabendo que o custo de produção de dez unidades é R$ 800,00, determine: a) a função Custo Total; b) a função Receita Total; c) a equação da demanda; d) a função Lucro Total; e) o lucro decorrente da venda de 5 unidades; f) a variação do lucro decorrente da venda da 5 a unidade; g) a função Lucro Marginal; h) o Lucro Marginal no ponto e interprete o resultado obtido. 5.. SITES RELACIONADOS

59 5.5. RESPOSTAS E) a) + k b) 5 + k c) + k d) k E) a) + k b) + e + k c) ln + k d) e + k e) ln - 5e + k f) ln k 5 g) ( e + ln 6) + k h)e + e + k i) ln + k j) 5 0ln + k 5 E) a) k b) k 6 c) k d) k e) k f) k 5 5 g) ln k 5 h) k i) ln k j) k E) a) = b) = + 5 c) = e d) = + + e) = ln + 5 E5) C = q + 0 ; R = q + q + q ; L = q 8q + q 0 E6) L = q + q 0q 00 E7) 5 E8) L = 0 E9) 0 E0) a) C = q + 0q b) R = q + 0q c) q = p + 0 d)l = q + 0q 500 e) 50 f) 0 g) L mg = q + 0 h) 0 55

60 6. INTEGRAL DEFINIDA Seja f uma função e F uma primitiva de f. A integral definida de f de a até b é o número real representado por a b f()d e calculado por F(b) - F(a). b a f()d = b [F()] a = F(b) - F(a) Eemplo: Calcule 0 d Solução: o ) Cálculo da integral indefinida: d k o ) Cálculo da integral definida: 0 d PROPRIEDADES BÁSICAS a) b) c) d) e) f) a a f()d = 0 b a f()d = - a b c.f()d = c. b a b f()d b [f() g()]d = a a f()d, sendo c uma constante b a f()d ± b a g()d b a f()d = c a f()d + b f()d, com a < c < b c b f()d a 0, se f() 0, [a,b] 56

61 E)Calcule: a) 0 ( )d b) 0 5 ( )d c) 0 ( -)d d) d e) ( - )d f) d 6.. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA Se f é uma função continua e não negativa em [a,b], o número limitada pelo gráfico de f, pelo eio O e pelas retas verticais = a e = b. a b f()d representa a área da região f R 0 a b A R = a b f()d 6.. ÁREA DA REGIÃO ENTRE DUAS CURVAS Sejam f e g funções continuas em [a,b], com f() g(), [a,b]. Se R é a região limitada pelos gráficos de f, g, =a e =b então A R = a b [f() - g()]d f R g 0 a b 57

62 E) Escreva a integral que fornece a área da região R: a) f R 0 b) 0 R 6 f c) g 0 R f d) g f R 0 e) 0 g R f 58

63 E)Use integração para calcular as áreas das regiões hachuradas. a) f() = b) f() = - + c) f() = d) f () 59

64 e) g() = f() = f) f g SITES RELACIONADOS 60

65 6.5. RESPOSTAS 9 E) a) 0 b) 7 c) d) e) 8 f) E) a) f ()d b) 6 f ()d c) [ f () g()]d d) 0 f ()d g()d e) 0 [ g() f ()]d E) a) 8 u.a. b) u.a. c) u.a. d)5 u.a. e) u.a. f) u.a. 6

66 APÊNDICE.CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS Q I a Onde: Q /a, b b Z, com b 0 irracionais. é o Conjunto dos números racionais e I é o conjunto dos números Eemplos: 0= 0 Q, = Q, 5 5 Q, =0,75(decimal finita) Q, =0,...(decimal infinita e periódica) Q, 9,... (decimal infinita e não periódica) I, π,59... (decimal infinita e não periódica) I,,60... (decimal infinita e não periódica) I, 6 0, (decimal infinita e não periódica) I, 6 0,, 5,,,, π,, 9 Observações: 0 5 0, 0 8 é indeterminado, não eiste, 6, 8, ,,570..., i, i.. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO CONJUNTO ,5 6 5 π 6

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