Curso: Engenharia Industrial Elétrica. Análise de variáveis Complexas MAT 216 Turma: 01

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1 urso: Egharia Idustrial Elétrica Aális d variávis omplas MAT 6 Profssora: Edmary S B Araújo Turma: Lista d Provas Rspodu Jsus: Em vrdad, m vrdad t digo: qum ão ascr da água do Espírito ão pod trar o rio d Dus Jo :5 Sja u cos( y) y s( y) : Prov qu u é harmôica Dtrmiar v d tal modo qu f() = u + iv sja aalítica Sja w = f ( ) ( ) Ecotr os valors d w corrspodts a = + i, = i sboc os gráficos dos valors corrspodts os plaos w A impdâcia d um circuito qu cotém uma rsistêcia uma idutâcia m parallo j é Z R L Ecotr os lugars gométricos da impdâcia da admitâcia quado L varia Rprst graficamt o cojuto d valors d para os quais 4i alcul os sguits limits: ( )( ) lim i 4 i lim i 4 4 (Prova Fial) Dmostr qu u cos y é harmôica Etão cotr su cojugado harmôico v form uma fução aalítica f = u + iv m trmos d = + iy 4 Dmostr qu u 5 é harmôica Etão cotr su cojugado harmôico v form uma fução aalítica f = u + iv m trmos d = + iy 4alcul ( ) i ao logo da parábola dfiida por y d (, ) a (, ) 4 ( ), od é o círculo

2 ( ) i 4 (Prova Fial) alcul ao logo da parábola dfiida por d (, ) a (, ) 4 (Prova Fial) ( ), od é o círculo y 5 alcul t i, s t > é o círculo ( ) i 5 alcul ao logo da parábola dfiida por ) 5 ( ), od é o círculo y d (, ) a (, 7 Sja f uma fução aalítica uma rgião simplsmt coa R Sjam f ( ) dois cotoros arbitrários m R, ligado a Vrifiqu s f ( ) = ) i ( y 7 alcul ao logo da parábola dfiida por d (, ) a (, ) i ( y ) 7 alcul a itgral : Ao logo do io = da rta y = ; Ao logo do io y = da rta = (vja figur t ( ) 7 alcul i, s t > : 7 Sja o quadrado d vértics,, i + i, oritado o stido positivo Dtrmi: ( 4 4i) 4 ( i) ( i) 7 (Prova Fial) Dmostr qu u cos y y s y é harmôica Etão

3 cotr su cojugado harmôico v form uma fução aalítica f = u + iv m trmos d = + iy 7 (Prova Fial) alcul ( ), od é o círculo t ( ) 6 alcul, s t > é o círculo t alcul ( ), s t > é o círculo 4 8 Sja w = f() = + Ecotr os valors d w corrspodts aos potos + y = sboc os gráficos dos valors corrspodts os plaos w u l y Dmostr qu é harmôica Etão cotr su cojugado harmôico v form uma fução aalítica f = u + iv m trmos d Obs d arctg, a cos ta ts a a a 8 alcul ( ), od é o círculo t 5 alcul, s t > é o círculo i 5 Sja o triâgulo oritado o stido positivo d vértics, i + i Dtrmi: ( i) ( i) 5 Dmostr qu u cos y y s y é harmôica Etão cotr su cojugado harmôico v form uma fução aalítica f = u + iv m trmos d = + iy 5 Sja w = f() = + Ecotr os valors d w corrspodts aos potos

4 + y = sboc os gráficos dos valors corrspodts os plaos w 5 Sja f uma fução aalítica uma rgião simplsmt coa R Sjam f ( ) dois cotoros arbitrários m R, ligado a Vrifiqu s f ( ) = ) i ( y 5 alcul ao logo da parábola dfiida por d (, ) a (, ) Sja o triâgulo d vértics, i, oritado o stido positivo Dtrmi: ( i) ( 5i) 8 Sja o triâgulo d vértics, i, oritado o stido positivo Dtrmi: ( i) ( 5i) 4 Dtrmi o domíio d covrgêcia da séri ( ) ( )4 4 Epada ( ) m uma séri d Laurt válida para 4 Quado a rsposta forçada é calculada obsrvado-s qu o fasor d saída é Y(s) =, o valor X ( s) d s é dtrmiado pla forma d trada H(s) é a fução d circuito Zros ou pólos são valors d s para os quais a fução do circuito s aula ou td para ifiito (fução plodir ) rspctivamt A fução d circuito para um dado circuito é 5( s ) lassifiqu as sigularidads da fução ( s,5) ( s 8, j8,6) ( s 8, j8,6) d circuito rprst o plao complo 4 alcul os rsíduos d f() = ( ) ( 4)

5 4 (Prova Fial)Epada ( ) m uma séri d Laurt válida para 4 (Prova Fial) Quado a rsposta forçada é calculada obsrvado-s qu o fasor d saída é Y(s) X ( s) =, o valor d s é dtrmiado pla forma d trada H(s) é a fução d circuito Zros ou pólos são valors d s para os quais a fução do circuito s aula ou td para ifiito (fução plodir ) rspctivamt A fução d circuito para um dado circuito é 5( s ) ( s,5)( s 8, j8,6) ( s 8, j8,6) lassifiqu as sigularidads da fução d circuito rprst o plao complo 4 (Prova Fial) alcul os rsíduos d f() = ( ) ( 4) 4 Dtrmi o domíio d covrgêcia da séri ( ) 4 Epada ( )( ) m uma séri d Laurt válida para 4 Ecotr a séri d Maclauri da fução s() dsvolva a sguit fução m séri d Laurt m toro do poto =, dido o tipo d sigularidad f ( ) s( ) 4 X ( s) Quado a rsposta forçada é calculada obsrvado-s qu o fasor d saída é Y(s) =, o valor d s é dtrmiado pla forma d trada H(s) é a fução d circuito Zros ou pólos são valors d s para os quais a fução do circuito s aula ou td para ifiito (fução plodir ) rspctivamt ( s ) A fução d circuito para o circuito é ( s,5)( s 8, j8,6)( s 8, j8,) lassifiqu as sigularidads da fução d circuito rprst o plao complo 4Dtrmi o domíio d covrgêcia da séri ( ) ( )4

6 4 Epada ( ) m uma séri d Laurt válida para 4 Ecotr a séri d Maclauri da fução cos() dsvolva a sguit fução m séri d Laurt m toro do poto =, dido o tipo d sigularidad cos( ) f ( ) 4 X ( s) Quado a rsposta forçada é calculada obsrvado-s qu o fasor d saída é Y(s) =, o valor d s é dtrmiado pla forma d trada H(s) é a fução d circuito Zros ou pólos são valors d s para os quais a fução do circuito s aula ou td para ifiito (fução plodir ) rspctivamt A fução d circuito para um dado circuito é 5( s ) ( s,5) ( s 8, j8,6) ( s 8, j8,6) lassifiqu as sigularidads da fução d circuito rprst o plao complo f ( ) 4 S 4 Mostr qu, cotr o rsíduo d f() o pólo d ordm i : 4 Mostr qu 4 Mostr qu d cos d ( ) S q(t) é a carga m um circuito utiliado para carrgar um capacitor A ivrsa d Q( s) V Rs s Laplac da carga R é dada por ai t R ( q t) i ai st V ds V ( Rs( s ) R )

7 4S w = f() é aalítica uma rgião R, prov qu i u, v) (, y) u v u y v y ( f '( ) 4 w f ( ) ( i), calcul o jacobiao da trasformação Gomtricamt o qu isso sigifica? a i ( ) V l 4 Sja o potcial complo Dtrmi as lihas quipotciais as lihas d corrt Dtrmi a vlocidad do fluido m qualqur poto ( i) 4 Dtrmi o domíio d covrgêcia da séri ( ) 4 Dsvolva cos() m séri d Maclauri Sja 4 Dsvolva sigularidad f ( ) cos( ) m séri d Laurt m toro d =, dido o tipo d f ( ) 4 Dsvolva, ) ( )( ) m (Sabdo qu t ( ) 4 alcul, s t > é o círculo s 4 Dada a fução d circuito s( s 5) ( s i) lassifiqu as sigularidads da fução, rprst o plao complo calcul o rsíduo do pólo simpls 5 Dmostr qu u 5 é harmôica Etão cotr su cojugado harmôico v form uma fução aalítica f = u + iv m trmos d = + iy 5 Dtrmi o domíio d covrgêcia da séri

8 ( ) ( )4 5 Epada ( ) m uma séri d Laurt válida para 5 X ( s) Quado a rsposta forçada é calculada obsrvado-s qu o fasor d saída é Y(s) =, o valor d s é dtrmiado pla forma d trada H(s) é a fução d circuito Zros ou pólos são valors d s para os quais a fução do circuito s aula ou td para ifiito (fução plodir ) rspctivamt A fução d circuito para um dado circuito é 5( s ) ( s,5) ( s 8, j8,6) ( s 8, j8,6) lassifiqu as sigularidads da fução d circuito rprst o plao complo 5 alcul os rsíduos d f() = ( ) ( 4) 5 Dtrmi o domíio d covrgêcia da séri ( i) ( ) 5 alcul as séris d Laurt m toro das sigularidads das sguits fuçõs Em cada caso vrifiqu qual a sigularidad f ( ) f ( ) ( )s 5 Dsvolva f ( ) ( )( ) m séri d Laurt m s 5 5 Dada a fução d circuito s( s 5) ( s i) lassifiqu as sigularidads da fução, rprst o plao complo calcul o rsíduo do pólo simpls ( ) ( i) 5 Dtrmi o domíio d covrgêcia da séri

9 5 alcul as séris d Laurt m toro das sigularidads das sguits fuçõs Em cada caso vrifiqu qual a sigularidad f ( ) f ( ) ( )cos 5 Dsvolva f ( ) ( ) m uma séri d Laurt válida para 5 ( ), od é o círculo s 5 5 Dada a fução d circuito s ( s 5i) lassifiqu as sigularidads da fução, rprst o plao complo calcul o rsíduo do pólo duplo 5 Mostr qu: d a bs a b ( d 4 5), s a b 5 Dtrmi a rgião do plao w a qual a rgião limitada por =, y =, = y i 4 = é lvada pla trasformação w = [As quaçõs (u, v) ] Dtrmi o jacobiao da trasformação itrprt o rsultado gomtricamt 5 Sja o potcial complo do scoamto d um fluido dado por a ( ) V Dtrmi as lihas quipotciais as lihas d corrt Dtrmi a vlocidad do fluido m qualqur poto

10 5 Dmostr qu u cos y + y é harmôica Etão cotr su cojugado harmôico v form uma fução aalítica f = u + iv m trmos d = + iy f ( ) 5 Vrifiqu s a fução é aalítica 5 Sja = (, ) alcular Epliqu porqu o Torma d auchy ão val 5 Sja f uma fução aalítica uma rgião simplsmt coa R Sjam f ( ) dois cotoros arbitrários m R, ligado a Vrifiqu s f ( ) = 5 Sja a curva com paramtriação dada por (t) = t, t alcul t ( ) 5 alcul, s t > é o círculo 5 Sja o triâgulo d vértics, i + i, oritado o stido positivo Dtrmi: ( i) ( i) 5 Mostr qu: d cos d, s do a, b c rais, b 4ac a b c 4ac b 5 Dtrmi a rgião do plao w a qual a rgião limitada por =, y = + y = é lvada pla trasformação w = Dtrmi o jacobiao da trasformação itrprt o rsultado gomtricamt 5 Sja o potcial complo dvido a uma fot m = - a um poço m = a d a ( ) k l iguais comprimtos k a Dtrmi as lihas quipotciais as lihas d corrt

11 Dtrmi a vlocidad do fluido m qualqur poto 6 Dtrmi o domíio d covrglcia da séri: 6 Espada f ( ) 6 Prov qu: ( )( ) m uma séri d Laurt válida para: d cos s d a b c 4ac b sdo a, b, c rais b 4ac F( s) s c) a ivrsa d Laplac da fuço trasformada é st f ( t) F( s) ds Sabdo qu i, od é um cotoro fchado adquadamt scolhido qu volv os pólos d F(s) f ( t) si( t) 6 Ecotr a séri d Maclauri da fuço cos() dsvolva a sguit fuço m séri d Laurt m toro do poto =, dido o tipo d sigularidad s( ) f ( ) 6 Dtrmi o domíio d covrgcia da séri: f ( ) 6 Espada ( )( ) m uma séri d Laurt válida para:

12 6 Prov qu: d cos s 4 d s F( s) c) a ivrsa d Laplac da fuço trasformada s 4 é st f ( t) F( s) ds f ( t) cos( t) si( t) Sabdo qu i, od é um cotoro fchado adquadamt scolhido qu volv os pólos d F(s) 6 Dtrmi a rgio do plao W a qual a rgio limitada por =, y = + y = é lvada pla trasformaço w = 6 Dtrmi o jacobiao da trasformaço itrprt o rsultado gomtricamt 6 Dtrmi o potcial complo para um fluido movdo-s com vlocidad costat V formado um âgulo com o smi-io positivo 6 Dtrmi o potcial d vlocidad a fuço d corrt a i ( ) V l( ) 6 Sja o potcial complo lihas quipotciais as lihas d corrt Dtrmi as 6 Uma rgio é limitada por dois codutors cilídricos cocltricos ifiitos, d raios r r ( r r ), carrgados a potciais, rspctivamt Dtrmi o potcial o vtor campo létrico m qualqur poto da rgio Sabdo qu: ( ) i A l B A l r B A l r B grad r 6 Ecotr a séri d Maclauri da fuço cos() dsvolva a sguit fuço m séri d Laurt m toro do poto =, dido o tipo d sigularidad f ( ) cos( )

13 6 Dtrmi o domíio d covrgêcia da séri Dsvolva cos() m séri d Maclauri ( i) ( ) Dsvolva sigularidad f ( ) cos( ) m séri d Laurt m toro d =, dido o tipo d c) Dsvolva f ( ) ( )( ) m (Sabdo qu, ) s 6 Dada a fução d circuito s( s 5) ( s i) lassifiqu as sigularidads da fução, rprst o plao complo calcul o rsíduo do pólo simpls y 7 Dmostr qu u s( y ) é harmôica Etão cotr su cojugado harmôico v form uma fução aalítica f = u + iv m trmos d 7 ª QUESTÃO: (valor:,) Dtrmi o domíio d covrgêcia da séri ( ) ( i) 4 ª QUESTÃO: (valor:, cad alcul as séris d Laurt m toro das sigularidads das sguits fuçõs Em cada caso vrifiqu qual a sigularidad f ( ) ) f ( ) ( )cos ) ª QUESTÃO: (valor:,) Dsvolva para f ( ) ( ) m uma séri d Laurt válida

14 4ª QUESTÃO: (valor:,5 cad i ( ) ( 4) 4) alcul, od é o círculo s F( s) 4) a ivrsa d Laplac da fução trasformada s é f ( t) cos( t) f ( t) F( s) st ds i Sabdo qu, od é um cotoro fchado adquadamt scolhido qu volv os pólos d F(s) 7 (Prova Fial) Dtrmi o domíio d covrgêcia da séri i 7 (Prova Fial) Dsvolva para f ( ) ( )( ) m uma séri d Laurt válida 7 (Prova Fial) Mostr qu d a bs a b, s a b 7 (Prova Fial) Mostr qu a ivrsa d Laplac da fução trasformada s F( s) f ( t) F( s) st ds s é f ( t) cos( t) i Sabdo qu, od é um cotoro fchado adquadamt scolhido qu volv os pólos d F(s) 7 (Prova Fial) Sja o potcial complo as lihas quipotciais as lihas d corrt a i ( ) V l( ) Dtrmi 7 Dmostr qu u l y é harmôica Etão cotr su cojugado harmôico v form uma fução aalítica f = u + iv m trmos d

15 Obs d arctg, a cos tats a a a f ( ) 7 Vrifiqu s a fução : 7 Sja alcular é aalítica Epliqu porqu o Torma d auchy ão val i ( y ) 7 alcul a itgral : Ao logo do io = da rta y = ; Ao logo do io y = da rta = (vja figur t ( ) 7 alcul, s t > é o círculo 7 Sja o triâgulo d vértics, i + i, oritado o stido positivo Dtrmi: ( 4 4i) 7 alcul ( i) i ( ) ( 4), od é o círculo 7 Dtrmi o domíio d covrgêcia da séri ( ) ( i) 4 7 alcul as séris d Laurt m toro das sigularidads das sguits fuçõs Em cada caso vrifiqu qual a sigularidad f ( ) f ( ) ( )cos 7 Dsvolva f ( ) ( ) m uma séri d Laurt válida para

16 i ( ) ( 4) 7 alcul, od é o círculo s F( s) 7 Mostr qu a ivrsa d Laplac da fução trasformada s é f ( t) F( s) st ds f ( t) cos( t) i Sabdo qu, od é um cotoro fchado adquadamt scolhido qu volv os pólos d F(s) 7 Dtrmi o domíio d covrgêcia da séri ( ) ( i) 4 7 alcul as séris d Laurt m toro das sigularidads das sguits fuçõs Em cada caso vrifiqu qual a sigularidad f ( ) f ( ) ( )cos 7 Dsvolva f ( ) ( ) m uma séri d Laurt válida para s F( s) 7 Mostr qu a ivrsa d Laplac da fução trasformada s é f ( t) F( s) st ds f ( t) cos( t) i Sabdo qu, od é um cotoro fchado adquadamt scolhido qu volv os pólos d F(s) 7 Mostr qu: d cos d

17 7 Dtrmi a rgião do plao w a qual a rgião limitada por =, y = - y = é lvada pla trasformação w 4 ( i) Dtrmi o jacobiao da trasformação itrprt o rsultado gomtricamt Obs: u, v) (, y) u v u y v y ( f '( ) i 7 Sja o potcial complo ( ) ik l( ), od k Dtrmi as lihas quipotciais as lihas d corrt Dtrmi a vlocidad do fluido m qualqur poto o módulo da vlocidad Obs: ( ) i v ( ) Lihas quipotciais Lihas d corrt 8 Dmostr qu u cos y + y é harmôica Etão cotr su cojugado harmôico v form uma fução aalítica f = u + iv m trmos d = + iy 8 Dtrmi a rgião do plao W a qual a rgião limitada por =, y = + y = é lvada pla trasformação w = i ( y ) 8 alcul a itgral : Ao logo do io = da rta y = ; Ao logo do io y = da rta = (vja figur t 8 alcul ( ), s t > é o círculo 8 Uma lips tm a quação (t) = a cos(wt) + i b s(wt), od a, b w são costats, a > b, t é o tmpo Supoha qu é o vtor posição da partícula movdo-s sobr a curva Dtrmi a vlocidad a aclração da partícula para qualqur tmpo

18 bi Dtrmi 8 Sja w = f() = + Ecotr os valors d w corrspodts aos potos + y = sboc os gráficos dos valors corrspodts os plaos w 8 Dmostr qu u l y é harmôica Etão cotr su cojugado harmôico v form uma fução aalítica f = u + iv m trmos d Obs d arctg, a cos tats a a a 8 alcul ( ), od é o círculo ( ) i alcul ao logo da parábola dfiida por y d (, ) a (, ) 8 Sja o triâgulo d vértics, i, oritado o stido positivo Dtrmi: ( i) ( 5i) 8 Dtrmi o domíio d covrgêcia da séri i 4 8 Dsvolva f ( ) ( )( ) m séri d Laurt válida para 8 Ecotr a séri d Maclauri da fução dsvolva a sguit fução m séri

19 d Laurt m toro do poto =, dido o tipo d sigularidad f ( ) 8 t alcul ( ), s t > é o círculo 4 s Mostr qu a ivrsa d Laplac da fução trasformada F( s), s é s st f ( t) F( s) ds f ( t) cos( t) Sabdo qu i, od é um cotoro fchado adquadamt scolhido qu volv os pólos d F(s) 8 8 S w = f() é aalítica uma rgião R, prov qu i u, v) (, y) u v u y v y ( f '( ) Sja w f ( ) ( i), calcul o jacobiao da trasformação Gomtricamt o qu isso sigifica? 8 Mostr qu d, s do a, b c rais, b 4ac a b c 4ac b Mostr qu d cos 5 8 Sja o potcial complo dvido a uma fot m = - a um poço m = a d iguais comprimtos k ( ) k l a a Dtrmi as lihas quipotciais as lihas d corrt

20 Dtrmi a vlocidad do fluido m qualqur poto 8 Dtrmi o domíio d covrgêcia da séri i 4 8 alcul as séris d Laurt m toro das sigularidads das sguits fuçõs Em cada caso vrifiqu qual a sigularidad f ( ) ( ) ) f ( ) ( ) s 8 Dsvolva f ( ) m uma séri d Laurt válida para: 8 Dtrmi o domíio d covrgêcia da séri i 4 8 Dsvolva f ( ) ( )( ) m séri d Laurt válida para 8 Ecotr a séri d Maclauri da fução dsvolva a sguit fução m séri d Laurt m toro do poto =, dido o tipo d sigularidad f ( ) s 8 Mostr qu a ivrsa d Laplac da fução trasformada F( s), s s st f ( t) F( s) ds f ( t) cos( t) Sabdo qu i, od é um cotoro fchado adquadamt scolhido qu volv os pólos d F(s) é

21 s( ) 8 alcul i ( ), od é o círculo 8 Mostr qu a ivrsa d Laplac da fução trasformada F s ( ) s é f ( t) F( s) st ds f ( t) s( t) i Sabdo qu, od é um cotoro fchado adquadamt scolhido qu volv os pólos d F(s) 8 Mostr qu: d, a a cos a d 4 8 Uma rgião é limitada por dois codutors cilídricos cocêtricos ifiitos, d raios r r ( r r ), carrgados a potciais, rspctivamt Sabdo qu: ( ) i A l B A l r B A l r B grad r Dtrmi o potcial Dtrmi as lihas quipotciais c) O vtor campo létrico m qualqur poto da rgião 8: Sja R uma rgião rtagular o plao limitada por =, y =, = y = 8 Dtrmi a rgião R do plao w, a qual R é trasformada por mio da trasformação w i 8 Dtrmi o jacobiao itrprt o rsultado Fórmulas: u, v) (, y) ( f '( )

22 cos 8 si i d i m d a lim f ( )( ) m m! m 8 Dtrmi o domíio d covrgêcia da séri i 8 Dsvolva f ( ) ( }( ) m séri d Laurt válida para 8 Ecotr a séri d Maclauri da fução dsvolva a sguit fução m séri d Laurt m toro do poto = i, dido o tipo d sigularidad f ( ) 8 i i s Mostr qu a ivrsa d Laplac da fução trasformada F( s) é s 4 st f ( t) cos( t) si( t) Sabdo qu f ( t) F( s) ds, od é um cotoro fchado i adquadamt scolhido qu volv os pólos d F(s) Mostr qu a ivrsa d Laplac da fução trasformada F( s), s é s st f ( t) s( t) Sabdo qu f ( t) F( s) ds, od é um cotoro fchado i adquadamt scolhido qu volv os pólos d F(s) Fórmulas:,, f ( ) f ( )! lim u u L u covrg absolutamt u divrg o tst falha

23 8 Mostr qu: d, a a cos a d 4 8 Uma rgião é limitada por dois codutors cilídricos cocêtricos ifiitos, d raios r r ( r r ), carrgados a potciais, rspctivamt Sabdo qu: ( ) i A l B A l r B A l r B grad r Dtrmi o potcial Dtrmi as lihas quipotciais c) O vtor campo létrico m qualqur poto da rgião 8 Sja R uma rgião rtagular o plao limitada por =, y =, = y = 8 Dtrmi a rgião R do plao w, a qual R é trasformada por mio da trasformação w i 88 Dtrmi o jacobiao itrprt o rsultado Fórmulas: u, v) (, y) ( f '( ) cos si i d i m d a lim f ( )( ) m m! m