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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. Aplicação da rgra ponncial Intgração d Fnçõs Eponnciais Sja ma fnção difrnciávl d. Intgrais Eponnciais Logarítmicas d + C d d d + C d Rgra Eponncial Simpls Rgra Eponncial Gral Prof.: Rogério Dias Dalla Riva Intgrais Eponnciais Logarítmicas. Aplicação da rgra ponncial.aplicação da rgra ponncial.aplicação da rgra log Emplo : Calcl as intgrais indfinidas a. d d ( + ) b. c. d. Aplicação da rgra ponncial. Aplicação da rgra ponncial Cada ma das rgras d difrnciação d fnçõs ponnciais tm sa rgra d intgração corrspondnt. a. d d Rgra do Múltiplo Constant + C Rgra Eponncial Simpls ( ) b. d d Sja, ntão d d + C Rgra Eponncial Gral

2 . Aplicação da rgra ponncial. Aplicação da rgra ponncial c. ( + ) + d d d + + C Rgra da Soma Rgra Eponncial Simpls da Potência Emplo : Calcl a intgral indfinida d. Aplicação da rgra ponncial. Aplicação da rgra ponncial Emplo : Calcl a intgral indfinida + d Fazndo -, d/d -. Introdzimos o fator (-) no intgrando mltiplicando dividindo por -. d d ( ) d ( ) Mltiplicar dividir por - Pôr a constant -/ m vidência. Aplicação da rgra ponncial. Aplicação da rgra ponncial Fazndo +, ntão d/d. O fator asnt pod sr introdzido no intgrando mdiant mltiplicação divisão por. d d d + C + + C ( ) + + d d Mltiplicar dividir por Introdzir d/d Rgra Eponncial Gral d d d + C + C Introdzir d/d Rgra Eponncial Gral

3 . Aplicação da rgra ponncial. Aplicação da rgra log OBS: Lmbr-s d q não é possívl introdzir ma variávl no intgrando. Assim é q não podmos obtr d mltiplicando dividindo por fatorando /() na intgral; isto é, d ( ) d Intgrais d Fnçõs Logarítmicas Sja ma fnção difrnciávl d. d ln + C d d + C ln Rgra Logarítmica Simpls. Aplicação da rgra log. Aplicação da rgra log Qando introdzimos as Rgras da Potência para intgração nas alas antriors, vimos q las não são válidaspara n -. n+ n d + C, n n + n+ n d d + C, n d n + Rgra Simpls da Potência Rgra Gral da Potência Podmos vrificar ssas rgras por difrnciação. Por mplo, para vrificar q notmos q d ln, d d d [ ln ] ln( ) d d. Aplicação da rgra log. Aplicação da rgra log As Rgras Log prmitm intgrar fnçõs da forma d d OBS: Obsrv os valors absoltos nas Rgras Log. Para os casos spciais m q o não pod sr ngativo, podmos omitir o sinal d valor absolto. Emplo 4: Calcl as intgrais indfinidas a. 4 d b. d c. + d

4 . Aplicação da rgra log. Aplicação da rgra log a. 4 d 4 d 4ln + C b. d ln + C ln + C d Rgra do Múltiplo Constant Rgra Logarítmica Simpls Fazndo, ntão Fazndo, tmos d/d. Podmos introdzir o fator ncssário no intgrando mltiplicando dividindo por. d d d ln + C ln + C Mltiplicar dividir por Introdzir. Aplicação da rgra log. Aplicação da rgra log c. d + ln + C d Fazndo +, ntão Emplo 6: Calcl a intgral indfinida 6 d + ln + + C. Aplicação da rgra log. Aplicação da rgra log Emplo : Calcl a intgral indfinida d Com +, vm d/d. Podmos criar o fator ncssário no intgrando colocando m vidência. 6 d + d + d ln + C ( ) ln + + C Fatorar no intgrando Introdzir 4

5 . Aplicação da rgra log. Aplicação da rgra log OBS: As intgrais às qais s pod aplicar a Rgra Log costmam sr dadas m forma disfarçada. Por mplo, s ma fnção racional tm nmrador d gra não infrior ao do dnominador, dvmos primiro ftar a divisão, obtndo ma part intira ma part fracionária. Obsrv o mplo abaio: d d 6 ln ( ) + d + d C b. Inicialmnt, vamos mltiplicar dividir o intgrandopor. d + + d + ( ) ln + + C d. Aplicação da rgra log. Aplicação da rgra log Emplo 7: Calcl as intgrais indfinidas a. b. c. + d + d + + d c. Dividindo o nmrador plo dnominador: + + d + + d + d + d ( ) + + ln + C. Aplicação da rgra log a. Comcmos scrvndo o intgrando como a soma d três fraçõs + d + d + d + ln + + C

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