UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

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1 PR UNIVERSIDADE TECNOÓGICA FEDERA DO PARANÁ

2 OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. A TRANSFORMADA DE APACE Muito problma prátio d ngnharia nvolvm itma mânio ou létrio atuado por agnt dontínuo ou impulivo. Com t problma o método já tudado ão, muita vz, d apliação inonvnint. Um outro método, partiularmnt bm apropriado a t problma, mbora tnha utilidad muito mai gral, tá baado na tranformada d apla. Em tranformada d apla vamo drvr a opração dt important método, antuando problma típio qu aparm na ngnharia. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS. g.d a S g é dfinida para a <, a ndo uma ontant, ntão a intgral imprópria é dfinida por: R g.d lim g.d R a a o limit it. Quando o limit it diz- qu a intgral imprópria onvrg; ao ontrário, diz- a intgral imprópria divrg. Emplo: Dtrmin a intgral d onvrg. Rolução: R R Como lim d lim lim R, a intgral imprópria onvrg R R R para o valor. Dtrmin a intgral d onvrg. 9 Rolução: R R R 9 9 R R Como lim d lim ln lim ln R ln 9, a intgral imprópria divrg.

3 OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. Dtrmin o valor d para o quai a intgral imprópria d onvrg. Rolução: Para, d d lim R lim R d lim R R R R ogo, a intgral imprópria divrg. Para, R R d lim d lim lim R R R R Quando <, R> ; logo, o limit é a intgral divrg. Quando >, R< ; logo, o limit é / a intgral onvrg. DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE APACE Sja f dfinida m d apla d f, dignada por { f } < ja uma variávl ral arbitrária. A Tranformada ou F, é: { f } F f d para todo o valor d qu tornm onvrgnt a intgral. Ao alular a intgral m, a variávl é onidrada omo ontant, poi a intgração é m rlação a. No mplo guint alulam- a tranformada d apla d vária funçõ lmntar. Emplo: Dtrmin a tranformada d apla d f. Rolução: Apliando a dfinição F { f } f d, tmo: * F {} d para >. * Uando o rultado obtido no mplo da ção antrior.

4 OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. Dtrmin a tranformada d apla d f. Rolução: Apliando a dfinição dua vz a intgração por part, obtmo: R F { } d lim d R lim R R R R R R R lim R R R Para o ao, <, lim, a intgral imprópria divrg. R Já para o ao, >, o uo ritrado da rgra d Hopital india qu R R R lim lim lim lim R R R R R R R R R R lim lim lim R R R R R R R Outroim, lim R, dirtamnt; logo, a intgral onvrg a F. Por outro lado, o ao pial, tmo R lim R d d d lim R R Finalmnt, ombinando todo o ao, obtmo { } a Dtrmin { }., >. Rolução: Apliando a dfinição, obtmo: R F { a} a d lim a d R a R a R lim lim R a R a > a a, para. Not- qu quando a, a intgral imprópria divrg.

5 OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. Dtrmin { n a}. Rolução: Apliando a dfinição intgrando por part dua vz, obtmo: R F { ln a} n ad lim n ad R n a a o a lim R a a R R R n ar a o ar a a lim R a a a a, para >. 5 Dtrmin { f } f > Rolução: F { f } f d d d R R lim d lim R R, para > Ob: Para oluionar a tranformada implifiando noo trabalho, dvmo utilizar a tabla abaio:... n n,,, Tábua d Tranformada f F { f } n n >! π. π. > > > > 6. n / n,, n π n /. > n 5

6 OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, a a > a 8. n a a a > 9. o a a >. nh a a a > a. oh a a > a.. n a a a >..o a a a >. n a. n,,... n! n a > a 5. b.n a a b a > b 6. b.o a b b a > b 7. n a a.o a a a > Nm toda a funçõ admitm tranformada d apla. Dão a guir a ondiçõ a rm impota a f para agurar a onvrgênia da intgral imprópria { f } F f. d. D finição: Uma função f diz d ordm ponnial α itm ontant α, M Emplo: α tai qu f M para todo. Prov qu f α >. é d ordm ponnial α para todo lim α Apliando a rgra d Hopital, obtmo: α lim lim lim lim α α α α α Eolhamo M Qualqur outro númro poitivo também rv. Então, omo, gu- qu it um α tal qu M para. Prov qu f n a é d ordm ponnial α para todo α. 6

7 OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. α Notmo qu n a qu lim para α >. Então, olhndo Apliando M, gu- qu it um a rgra d Hopital, obtmo: α lim lim lim lim α α α α α Eolhamo M Qualqu r outro númro poitivo também rv. Então, omo α α α lim, gu- qu it tal qu M para. Para α, M. α α n a M,. Dfinição: Uma função f é ontínua por part m um intrvalo abrto a< < b : f é ontinua para todo ponto d a< < b om poívl ção d, no máimo, um númro finito d ponto,,,..., n, n ponto d dont inuidad, itm o limit d f, à dirita à qurda rptivamnt lim f lim f ond j,,,..., n. j j Not- qu uma função ontínua é ontínua por part. Dfinição: Uma função f é ontínua por part m um intrvalo fhado a b : é ontinua por part no orrpondnt intrvalo abrto, it o limit f à dirita d a, it limit d f à qurda d b. Torma: S f é ontínua por part m um intrvalo finito, fhado b, b >, f é d ordm ponnial α, ntão a tranformada d apla d f it para > α. Emplo: Dtrmin f / < é ontínua por part m [,]. A função dada é ontínua m todo o intrv alo [,], to m. Portanto, itm o limit à dirita à qurda m, f rá parialmnt on m Tmo: lim f lim C omo o limit à qurda não it, lim f lim,. f não é ontínua por part m [ ] tínua [,]. 7

8 OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. Dtrmin n π > f < < é ontínua por part m [,5]. A função dada é ontínua m [,5], to no doi ponto. Not- qu f é ontínua m. No do ponto d dontinuidad, nontramo: lim f lim lim f lim Como todo o limit nário itm, lim f lim lim f lim f é ontínua por part m [,5]. ita d Eríio Propoto para a Rvião do Conito Dtrmin a guint intgrai imprópria onvrgm: / a d / Rpota: divrg b d Rpota: Convrg 5 Dtrmin valor d houvr para o quai a guint intgrai imprópria ão onvrgnt: a d Rpota: < b d Rpota: > Utilizando a dfinição, dtrmin a tranformada d apla da funçõ abaio ompar om a tábua d tranformada: a f, é uma ontant b f f o b d f. α Dtrmin { f }, f a f b f < > > Rpota: af bf 5 Prov qu f α. é d ordm ponnial α para todo 6 Prov qu f o 7 é d ordm ponnial α para todo α. 8

9 OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, Dtrmin a guint funçõ ão ontínua por part m [, 5] : a f < < b > f / 5 f Rpota: a im, b não, lim f, não, d f lim f, d im, f é ontínua m [, 5]. 9

10 OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE APACE O i torma qu gum, além d outro apto, ão úti para o álulo d tranformada d apla. Para implifiar o nuniado, formulamo a guint dfinição: Dfinição: f E α : f é dfinido para todo < ; é ontínua por part m todo intrvalo fhado b, b > ; f é d ordm ponnial α Em outra palavra, tamo onidrando funçõ qu atifazm à hipót do torma guint: Torma: S f é ontínua por part m um intrvalo finito, fhado b, b >, f é d ordm ponnial α, ntão a tranformada d apla d f it para > α. E qu, além dio, ão bm dfinida m u ponto d dontinuidad. Dorr do Torma nuniado antriormnt qu, f, ntão F { f } it para > α. E α Torma : inaridad. S f E α f E α ntão para dua ontant quaiqur, f f E α { f f } { f } { f }. Emplo: Dtrmin F f. Utilizando o torma linaridad a tabua d tranformada d apla, tmo: F { } {} { } Dtrmin F f n o. Utilizando o torma linaridad a tabua d tranformada d apla, tmo: F { n o } { n } {o } Dtrmin F f. Apliando ritradamnt o torma, obtmo: F { } { } {} {} Torma : S f E α, ntão, para qualqur ontant a, a { f } F a >α a

11 OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. Emplo: Dtrmin { n 5} Há dua manira d rolvr t problma. a Apliando dirtamnt a quação qu dfin a tranformada d apla: { f } F f d, Obtmo: 5 { n 5} 5 Obrvação: vr Tábua d tranformada, itm 5. b Apliando o Torma om a f n 5, tmo: Dtrmin { o }. 5 F { f } { n5} 5 5 { n 5 } F > α a 5 Sja f o. Pla tábua d tranformada, itm, tmo: F Então, plo Torma, om a, { o } F [ ] Torma : S f E α, ntão, para qualqur intiro poitivo n, n n n d { f } [ F ] n d No ao partiular n n, rduz a: { f } F' { f } F" Emplo: Dtrmin { } Et problma pod r rolvido d trê manira difrnt: a Apliando dirtamnt a quação qu dfin a tranformada d apla: { f } F f d,

12 OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. Obtmo: { } Obrvação: vr Tábua d tranformada, itm. b Apliando o Torma om a f, tmo: F { f } { } F > α a Apliando o Torma, aqui om f n, obtmo: { } F f { } d { } F' d Dtrmin { o a} Tomando f o a, tmo, pla Tábua d tranformada d apla F { f } a Apliando o Torma, obtmo d a { o a} d a a o qu tá d aordo om o itm da Tábua d tranformada d apla. 7/ Dtrmin { }. Dfinamo f 7/. Então f, pla Tábua d Tranformada d apla, itm, d / 5 9/ { } π π d 6 o qu onorda om a Tábua d tranformada d apla, itm 6, para n. Torma : S f E α lim f it, ntão: f F t dt

13 OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. Emplo: Dtrmin n Tomando f n, obtmo, pla tábua d tranformada d apla, F ou Ft 9 t 9 Apliando ntão o Torma, obtmo: n R dt lim dt t 9 R t 9 R t R π lim ar tg lim ar tg ar tg ar tg R R Torma 5: S f Emplo: E α Dtrmin { } n tdt, ntão f. t dt F Tomando f t n t, tmo, pla tábua d tranformada d apla, qu Ft / t ou F /, ntão, do Torma 5, tmo: { } n tdt Torma 6: S f é priódia om príodo ω, ito é, f ω f, ntão { f } Emplo: Prov qu f ω f, ntão ω ω f. d ω f. d { f } ω Como f ω f[ ω ω] f ω [ f ] f f é priódia d príodo ω. Então, apliando o Torma 6 om ω ubtituído por ω, tmo: ω f. d { f } ω Subtituindo ω na gunda intgral, vm: ω ω ω f. d f d ω ω ω ω ω ω ω f ω d f d ω f f d. [ ] ω d

14 OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. A última intgral, apó a mudança d variávl muda para, é igual a Aim, ω ω f d ω ω ω ω f d ω f d { f } ω ω ω Dtrmin { f } para a onda quadrada da figura abaio. f d ω Et problma pod r rolvido d dua manira difrnt: a Notando qu f é priódia d príodo ω, qu m < pod r dfinida analitiamnt por: < f < vm, plo Torma 6, { f } f d Como f d d d Dorr qu: F / / / / / / tanh b A onda quadrada f também atifaz à quação f f. Aim, apliando do mplo do Torma 6 om ω, obtmo: f d d / { f } tg

15 OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. Dtrmin a tranformada d apla da função ujo gráfio é o da figura guint: Not qu f é priódia d príodo ω π, qu m < π pod r dfinida analitiamnt por: π f π π < < π Plo Torma 6, tmo: { f } π f. d π Como π π π π π π f. d d π d π Dorr qu π π π / / π { f } π π π π tanh Dtrmin t n tdt. t Apliando o Torma om a no rultado do mplo, do Torma, obtmo: π n ar tg Sgu- ntão do Torma 5 qu do Torma, tmo: t t π n tdt ar tg t π n tdt ar tg t [9 ] Finalmnt, apliando o Torma om a, onluímo qu a tranformada prourada é: π ar tg 9 5

16 OBSERVAÇÃO: O TEXTO É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. ISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS Dtrmin a tranformada d apla da guint funçõ: a o 6 Rpota: b Rpota: o Rpota: d o [ ] Rpota: [ ] n 8 6 Rpota: 6 f Rpota: π g tntdt Rpota: h t ot dt Rpota: / i f na figura guint: j f na figura guint: Rpota: Rpota: l f na figura guint: Rpota: 6

17 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. TRANSFORMADAS INVERSAS DE APACE Dfinição: Uma tranformada invra d apla d uma função F, dignada por - { F }, é outra função f qu goza da propridad { f } F. Emplo: S F, ntão - { F }, poi { }. S F, ntão - { F } n, poi { n }. Dtrmin. Pla tábua da tranformada d apla, itm, om a, { n }, portanto: n. Torma : Torma d Uniidad S { f } { g } f g ão amba ontínua m <, ntão f g. Uma dada função F pod tr vária, uma ó ou nnhuma tranformada invra d apla. O Torma, ntrtanto, garant qu F tm uma tranformada invra d apla ontínua, f, ntão f é a únia tranformada invra, ontínua, d F. Daqui por diant, onvnionarmo qu quando it. -{ } F rprntará a únia tranformada invra ontínua, Torma : inaridad S a tranformada invra d apla d dua funçõ itm, ntão, para quaiqur ontant. F F Emplo: Dtrmin - F F } - { F } { Pla Tábua da tranformada d apla, itm 5, - { F } π. Apliando ntão o Torma linaridad, obtmo: π ; logo π π π π π O doi método abaio, juntamnt om o Torma antrior, ão úti para o álulo d tranformada invra. 7

18 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. MÉTODO DO COMPEMENTO DO QUADRADO Todo polinômio quadrátio m pod r poto ob a forma. h k a Em partiular, h k a a b a b a a b a b a b a a b a b a ond: a b k a b h Emplo: Dtrmin 9. Na tábua da tranformada d apla não onta nnhuma função om ta forma. Entrtanto, ompltando o quadrado, obtmo: logo, Apliando, ntão, o torma linaridad a tábua da tranformada d apla, itm 5, om 8 a nontramo: b, 8 9 n Dtrmin 8. Na tábua da tranformada d apla não onta nnhuma função om ta forma. Compltando, ntrtanto, o quadrado no dnominador, tmo: 8 8 Eta última prão também não onta da Tábua da tranformada d apla. Ma, rvndo o numrador omo dompondo a fração, tmo: 8 Então, plo itn 5 6 da Tábua da tranformada d apla, obtmo: 8 n o 8

19 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. MÉTODO DAS FRAÇÕES PARCIAIS Toda função da forma a / b, ond tanto a omo b ão polinômio m, pod r rita omo oma d fraçõ tai qu o dnominador d ada uma é um polinômio do primiro grau ou do gundo grau, lvado a rta potênia. O método ig apna qu: - O grau d a ja infrior ao grau d a tal ondição não vrifiar, dvmo primiro dividir o numrador plo dnominador onidrar, para fito d dompoição, apna o trmo qu ontém o rto; - b ja fatorávl m um produto d polinômio do primiro /ou do gundo grau, ditinto, lvado a divra potênia. m O método dnvolv omo gu. A ada fator d b da forma a, orrpond uma oma d m fraçõ da forma: A A a a Am... a m A ada fator d b da forma b p, orrpond uma oma d p fraçõ, da forma: B C b B C... b b p B p C p Aqui, A, B C i,,..., m; j, k,,..., pão ontant a dtrminar. i j k Em guida, iguala- a fração a / b à oma d fraçõ obtida omo aima. Eliminado dnominador idntifiando ofiint d potênia iguai d, hgarmo a um onjunto d quaçõ linar na inógnita A,B C. Rolvido itma, tão dtrminado o ofiint. i j k Emplo: Utiliz o método da fraçõ pariai para dompor. Ao fator linar, aoiamo a fração A/ ; ao fator quadrátio aoiamo a fração B C /. Ervmo ntão: A B C, I Eliminando dnominador, obtmo: ou A B C II A B B C A C 9

20 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. Idntifiando ofiint d iguai potênia d, onluímo qu: A B B C A C A olução d itma d quaçõ linar é: A /, B / C /. vando valor m I, obtmo a dompoição m fraçõ pariai: Um método altrnativo: Tm- também o guint proo altrnativo para dtrminar a ontant A, B C, m I. Como II dv valr para todo, dv valr, m partiular, para. vando t valor m II, nontramo imdiatamnt A /. A prão II dv valr também para. vando t valor, juntamnt om A / m II, obtmo C /. Finalmnt, fazndo igual a qualqur outro valor m II, dtrminamo B /. Dtrm in. Na tábua da tranformada d apla não onta nnhuma função om ta forma. Utilizando o rultado do mplo antrior o torma linaridad, obtmo: Portanto, o n Utiliz o método da fraçõ pariai para dompor. Ao fator linar, aoiamo, rptivamnt, a fraçõ A / B /. Ervmo ntão:. A B I Eliminando dnominador, obtmo: A B II Para a dtrminação d A B, utilizarmo o proo altrnativo ugrido no mplo. Fazndo m guida m II, obtmo imdiatamnt A 5/ B /. Aim, 5 5

21 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. in Dtrm. olução: Na tábua da tranformada d apla não onta nnhuma função om ta forma. S Utilizando o rultado do mplo antrior o torma linaridad, obtmo: 5 5 in 5 Dtrm. Na tábua da tranformada d apla não onta nnhuma função om ta forma. Utilizando o método da fraçõ pariai, obtmo: C B A C B A I liminando o dnominador, tmo: ou II ntifiando ofiint d iguai potênia d, onluímo qu: E C B A A C B A Id, B C A A C B A im, uando t rultado m onjunto om o torma linaridad, obtmo: A o o

22 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. ISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS Utilizando a tábua da tranformada d apla, dtrmin a tranformada invra d: a Rpota: b Rpota: n Rpota: n 9 d Rpota: o 5 n Rpota: o 7 n f Rpota: n Compltando o quadrado, dtrmin a tranformada invra d apla d: a Rpota: n b Rpota: o 5 / / Rpota: o n 7 / / / d Rpota: o n 5 Utiliz o método da fraçõ pariai para dompor: a Rpota: b Rpota: Rpota: / Dtrmin a tranformada invra d apla da funçõ do ríio antrior. Rpota: a o n b o 5 Dtrmin a tranformada invra d apla d: a Rpota: o b 9 d / / 5/ 5/ Rpota: Rpota: / o / n n vr Tábua, itm 6 / 5 Rpota: oh 5 Rpota: o n / n / nh Obrvação: Não foram digitado o problma rolvido:.5;.7;.9;... 5

23 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. Convoluçõ: Sjam f Emplo: g. A onvolução d f g é: E α E α f * g f t. g t dt S f g, ntão: t f t, g t t t t - t t t t t f * g.. dt.. dt dt t Torma : f * g g * f Emplo: Para f g, omo no mplo d onvolução, dtrmin g * f vrifiando aim o Torma. Com t t f t g t, tmo: t t g * f gt f tdt dt t t t dt o qu, plo mplo d onvolução, é igual a f * g. Calul f * g f g. Aqui f t t g t t t t. Aim, * f g t t t dt Dmontr o Torma. t. Fazndo a ubtituição τ t no mmbro dirito d f * g f t. g t dt tdt t dt t dt f * g f t. g t dt f τ. g τ dτ g τ. f τ d τ g * f g τ. f τ dτ, tmo:

24 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. Torma Torma da Convolução S { f } F { g } G, ntão: { f * g } { f }* { g } F * G Para fito d apliação, é onvnint primir o Torma, omo - { F * G } g * f À vz, é mai fáil alular g * f do qu f * g. Erv- ntão, utilizando o Torma, omo Emplo: - { F * G } g * f Dtrmin - por onvoluçõ. Obrv qu F / G /, tmo, pla Tábua d tranformada d apla, Dfinido f g n. Sgu- ntão, do Torma, qu - - { F * G } g * f gt. f tdt n t dt o Dtrm in - por onvoluçõ. Dfinindo F G, ntão f g - { F* G } f* g - f t g t dt dt dt Função Dgrau Unitário A função dgrau unitário é dfinida por: < u t t

25 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. Como onqüênia imdiata da dfinição, tmo, para qualqur númro, Obrvação: u O gráfio d u é dado por: u < < u < figura Torma : { u }. Dada uma função f dfinida para, a função: < u. f f - rprnta uma tranlação d f d unidad na dirção poitiva do io. Por mplo, f é dfinida grafiamnt pla figura a guir, ntão u * f é grafiamnt rprntada pla figura. Torma : S f E α F { f }, ntão { u f } F. Riproamnt, - < { F } u f } f 5

26 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. Emplo: Prov qu f *[ g h ] f * g f * h. f *[ g h ] f t[ g t h t] dt [ ] f t g t f t h t dt [ f tg tdt [ fth tdt f * g f * h Prov o Torma : { u } R R { u } u d d d d lim d lim R R Faça o gráfio da função f u u. > Obrv qu < < u u Aim, < f u u < ujo gráfio é a figura guint: 6

27 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. U a função dgrau unitário para dar uma dfinição analítia da função rprntada grafiamnt na figura guint: Obrv qu f é a função g,, tranladada d quatro unidad na dirção poitiva do io. Aim, f u g u. 5 Dtrmin { g } Dfinindo f < g, ntão g pod r dada ompatamnt por g u f u. Obrvando ntão qu { f } F / apliando o Torma, onluímo qu { g } { u } < 6 Dtrmin { g } g Primiro dvmo dtrminar uma função f tal qu f rvr g omo g u f apliar o Torma. Ora,. Fito ito, podmo f ó Como Sgu- qu f f { f } { } 8 { } 6 {} 8 6 { g } { u f } 7

28 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. ISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS Dtrmin f * g g * f Rpota: f g. Utiliz onvoluçõ para dtrminar a tranformada d apla d: a b Rpota: a b Dtrmin por onvoluçõ, tomando F G. Compar om o rultado do mplo do torma d onvolução. Prov qu, para qualqur ontant k, [ k f ]* g k [ f * g ]. 5 Faça o gráfio d f u u. Rpota: 6 Faça o gráfio d f u u u. Rpota: 8

29 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, Dtrmin { g } para, < a g b n, Rpota: a, < g, b g u f f 6 9; G Dtrmin { F } f para a F π b Rpota: a u π o π F b u 9 Faça o gráfio da funçõ f nontrada no ríio antrior. Rpota: a b 9

30 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. TRANSFORMADAS DE APACE DE DERIVADAS Emprga- o método da tranformada d apla para rolvr problma d valor iniial dado por uma quação difrnial linar d ordm n om ofiint ontant. b n d n d Juntamnt om a ondiçõ iniiai n d d bn... b b g n d d n n, ',..., n O rultado abaio é nial. Torma : Dnotmo { } por Y. S ua n primira drivada ão ontínua para n d ão d ordm ponnial α E n α, ntão: d n d n d n Y '... n n n n Apliando, podmo rvr omo d d n n n n Y... n n n Em partiular, para n n, obtmo: { ' } Y 5 { '' } Y 6

31 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. SOUÇÃO DO PROBEMA DE VAOR INICIA Para rolvr o problma d valor iniial dado por, primiro tomam- a tranformada d apla d ambo o mmbro da quação difrnial, obtndo- uma quação algébria m Y. Rolv- m guida ta quação, m rlação a Y, toma- a tranformada invra d apla, obtndo { Y }. Emplo: Rolva ' 5 ;. Tomando a tranformada d apla d ambo o mmbro da quação difrnial, apliando o torma da linaridad, obtmo { '} 5{ } {}. Apliando ntão a prão 5 om, vm [ Y ] 5Y dond Y. Finalmnt, tomando a 5 tranformada invra d Y, obtmo: { Y } Rolva ' 5 ;. Tomando a tranformada d apla d ambo o mmbro da quação difrnial, apliando 5 o torma da linaridad, obtmo { '} 5{ } { }. Apliando a tábua da tranformada a prão 5, om, vm: [ Y ] 5Y dond Y 5 5 Finalmnt, tomando a tranformada invra d Y, obtmo: { Y } 5 Obrvação: vr tábua d tranformada d apla, itm. Rolva ' n ;. Tomando a tranformada d apla d ambo o mmbro da quação difrnial, apliando o torma da linaridad, obtmo: { '} { } { n } ou [ Y ] Y Rolvndo m rlação a Y, vm: Y Tomando a tranformada invra dtrminando o rultado, vm: 5 5 { Y } o n o n

32 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. Rolva '' ;, '. Tomando a tranformada d apla, tmo: { ''} { } {} Apliando a prão 6 om, obtmo: [ Y ] Y ou Y Finalmnt, tomando a tranformada invra d apla, obtmo: { Y } o n 5 Rolva '' ' ;, ' 5. Tomando a tranformada d apla, obtmo: { ''} { '} { } {} Apliando a prõ 5 6 om 5, tmo: [ Y 5] [ Y ] Y ou Y Finalmnt, tomando a tranformada invra d apla, vm: { Y } / o 7 7 / n 7 6 Rolva '' ' ;, '. Tomando a tranformada d apla, tmo: { ''} { '} { } { Apliando a prõ 5 6 om, obtmo: } [ Y ] [ Y ] Y ou 8 8 Y Finalmnt, tomando a tranformada invra d apla, vm: 5 { Y } 8

33 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, Rolva '' ' 8 n ;, '. Tomando a tranformada d apla, tmo: { ''} { '} 8{ } { n } Como, vm: Y ] [ Y ] 8Y ou [ Y 8 8 Finalmnt, tomando a tranformada invra d apla, vm: { Y } o n o n 6 o n 69 7 o n n o Ao ontrário do qu oorr no método antrior no quai primiro dtrmina a olução gral da quação difrnial, m guida lvam nla a ondiçõ iniiai para dtrminação da ontant arbitrária, o método da tranformada d apla m gral rolv todo o problma d valor iniial m um ó pao. A únia ção é quando a ondiçõ iniiai não ão dada m. Para tal ao, vjamo o mplo a guir: Emplo: Rolva ' 5 ; π. Tomando a tranformada d apla d ambo o mmbro da quação difrnial, apliando o torma da linaridad, obtmo: { '} 5{ } {} Apliando ntão a prão 5 om arbitrário, tmo: [ Y ] 5Y dond Y 5 Tomando a tranformada invra, hga- a: 5 { Y } 5 Utilizamo agora a ondição iniial para dtrminar. O rultado é: 5π 5 π

34 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. Rolva. ', ; ' ' ' Tomando a tranformada d apla, tmo: } { } { '} { ''} { ou ] [ ] [ Y Y Y Aqui, dvm prmanr arbitrária, poi rprntam, rptivamnt, ainda donhida. Aim, ' Y Utilizando o método da fraçõ pariai notando qu, obtmo: / / / 6 } { Y 6 6 ond:. d d vando a ondiçõ iniiai nta última quação, obtmo ; d d logo, 6 Rolva ', ; ' " f. Nta quação, não pifia Tomando tranformada d apla, dignando por obtmo:. f } { f, F ou ] [ ] [ F Y F Y Y Y Pla Tábua da tranformada d apla, itm,. Aim, tomando a tranformada invra d utilizando onvoluçõ, onluímo qu: Y t dt t f t f *

35 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. Rolva < ', ; " f f Not- qu Tomando tranformada d apla, obtmo:. u f u f Y Y } { } { ] [ ou Y Como o dorr do torma qu ] o [ u 5 Rolva. '', ' ; ' ' " Tomando tranformada d apla, obtmo: } { '} { "'} { Apliando ntão o torma om n a prão 5, tmo: ] [ ] [ Y Y ou Y Finalmnt, utilizando o método da fraçõ pariai tomando a tranformada invra d apla, obtmo: n o 5

36 OBSERVAÇÃO: O TEXTO A SEGUIR É ADAPTADO DO IVRO: BRONSON. R. Modrna introdução à quaçõ difrniai. tradução d Alfrdo Alv d Faria, rvião ténia Robrto Romano. São Paulo: MGraw-Hill do Brail, 977. ISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS Utiliz tranformada d apla para rolvr o guint problma d valor iniial: a ' ; Rpota: b ' ; Rpota: ' ; Rpota: d ' ; Rpota: ' 5 ; Rpota: f " ;, ' Rpota: g " n ;, ' Rpota: n h " ;, ' Rpota: i " ' n ;, ' Rpota: 7 o n j " n ;, ' Rpota: n o / / k " ' ;, ' Rpota: o n l " ' 5 ;, ' Rpota: o n 5 5 m " 5' u ;, ' / 5/ Rpota: oh nh u 7 n " ; π, ' π Rpota: n 5 / o ''' 5;, ', '' Rpota: 5 o p ;, ', '', ''' Rpota: o 6