INTEGRAÇÃO MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO

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1 INTEGRAÇÃO MÉTODO DA UBTITUIÇÃO o MUDANÇA DE VARIAVEL PARA INTEGRAÇÃO Emplos Ercícios MÉTODO DA INTEGRAÇÃO POR PARTE Emplos Ercícios7 INTEGRAL DEFINIDA8 Emplos Ercícios REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA INTRODUÇÃO: Cd rgr d difrncição tm m rgr corrspondnt d intgrção Por mplo, Rgr d stitição pr intgrção corrspond à Rgr d Cdi pr difrncição A rgr q corrspond à Rgr do Proto pr difrncição é chmd d intgrção por prts MÉTODO DA UBTITUIÇÃO OU MUDANÇA DE VARIÁVEL PARA INTEGRAÇÃO Algms vzs, é possívl dtrminr intgrl d m dd fnção, plicndo m ds fórmls ásics dpois d sr fit m mdnç d vriávl N prátic, dvmos ntão dfinir m fnção g() convnint, d tl form q intgrl otid sj mis simpls EXEMPLO: Clclr s intgris: ) + d stitímos clclmos Drivd d: + d d stitindo, tmos: + d ProfMsCrlos Hnriq Emil:

2 Aplicndo rgr d intgrção: + c + c 9 stitindo novmnt: ( + ) + c 9 + c ) d + ² stitímos clclmos Drivd d: + ² d d stitindo simplificndo, tmos: d + ² Consltndo tl d intgrção: ln + C stitindo novmnt: ln + ² + C ) sn ² cos d stitímos clclmos Drivd d: sn cosd d cos stitindo simplificndo, tmos: sn ² cos d ²cos cos ProfMsCrlos Hnriq Emil:

3 Aplicndo rgr d intgrção: ³ + C stitindo novmnt: sn³ + C ) sn ( + 7) d stitímos clclmos Drivd d: + 7 d stitindo, tmos: sn ( + 7 ) d sn Consltndo tl d intgrção: cos + c cos( + 7) + c d ) ( ) 8 stitímos clclmos Drivd d: d d stitindo simplificndo, tmos: 8 d ( + ) Aplicndo rgr d intgrção: c + c 7 7 ( ) stitindo novmnt: stitindo novmnt: + c ProfMsCrlos Hnriq Emil:

4 ATIVIDADE PRÁTICA: Clclr s intgris io tilizndo o método d sstitição: cos( 7) ) sn ( 7) d stitir: 7 Rspost: + c stitir: Rspost: ( ) + c ) d ) d + stitir: ² + Rspost: + + c ) sn cos d stitir: cos Rspost: ( cos ) + c ) d stitir: ² Rspost: ( ) + c 8 stitir: ² Rspost: ( ) + c 9 6) d 7) ( + ) ( + ) d stitir: ²+ Rspost: ( + ) + c sn stitir: sn Rspost: + c 8) sn cos d stitir: cos Rspost: c + cos sn 9) d cos stitir: Rspost: sn + c ) cos( )d ProfMsCrlos Hnriq Emil:

5 MÉTODO DA INTEGRAÇÃO POR PARTE É m método q prmit prssr intgrl d m proto d fnçõs m otr intgrl A intgrção por prts pod sr vist como m vrsão intgrd d rgr do proto dv v v Fórml d Intgrção Por Prts EXEMPLO: dv ) Clclr Intgrl sn d Por prts: d dv v v Drivr sn d ( cos ) cos d sn d cos + cos d sn d cos + sn + c dv snd v cos Intgrr ) Clclr Intgrl d dv d k Por prts: k rgr no formlário : d + c d v k dv v v d d d + d ProfMsCrlos Hnriq Emil:

6 d + + C d + C o d + C ) Clclr Intgrl sn d ª Intgrção por prts: dv v v d sn d ( cos) cos d ( cos ) sn d cos + d ª Intgrção por prts: d dv sn d v cos dv cos d v sn v v snd cos + sn d sn d + sn d [ sn sn ] d cos + sn d cos + sn cos + sn cos sn sn d + + C o ( cos + sn) + C sn d sn d sn Aplicr nov Intgrção por Prts Pssr ss intgrl pr o º mmro d qção somr os trmos smlhnts ProfMsCrlos Hnriq Emil: 6

7 ATIVIDADE PRÁTICA: Clclr s intgris io tilizndo o método d intgrção por prts: ) d Prts: dv? v? d Rspost: + C ) d Prts: dv? v? d Rspost: + + C ln ) ln d Prts:? v dv? d Rspost: ln + C ( Prts: + dv snd? v? ) + ) sn d Rspost: sn ( + ) cos + C ) snd Prts:? dv snd v? Rspost: cos + sn + cos + C 6) snd Prts:? dv snd v? Rspost: ( cos + sn ) + C 7) rctg d Prts:? v rctg dv? d Rspost: rctg ln + + C Prts: dv sn d? v? 8) snd Rspost: cos + sn + C 9) cos d Prts:? dv cos d v? Rspost: ( sn + cos ) + C ProfMsCrlos Hnriq Emil: 7

8 INTEGRAL DEFINIDA (TEOREMA FUNDAMENTO DO CÁLCULO TFC ): A intgrl d m fnção foi crid originlmnt pr dtrminr ár so m crv no plno crtsino tmém srg ntrlmnt m dzns d prolms d Físic, como por mplo, n dtrminção d posição m todos os instnts d m ojto, s for conhcid s vlocidd instntân m todos os instnts j m fnção f() dfinid contín nm intrvlo rl [,] A intgrl dfinid d f(), d té, é m númro rl, é indicd por: f ( ) d F ( ) F ( ) ond: é o limit infrior d intgrção; é o limit sprior d intgrção; f() é o intgrndo Fórml d Intgrl Dfinid f ( ) : - ár ntr o io crv f(), no intrvlo é rprsntd pl intgrl dfinid: f ( ) d F ( ) F ( ) f ( ) g ( ) : - ár ntr s crvs f() g(), no intrvlo é rprsntd pl intgrl dfinid: [ f ( ) g( ) ] d F ( ) F ( ) g() ProfMsCrlos Hnriq Emil: 8

9 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA (CÁLCULO DE ÁREA POR INTEGRAÇÃO): ) f() Ár f ( ) d ) Ár f ( ) d o f() f ( ) d c) f() Ár f ( ) d + o + + ProfMsCrlos Hnriq Emil: 9

10 EXEMPLO: ) Clclr Intgrl Dfinid ( ) () 9 ) Clclr Intgrl Dfinid sn t π d º Intgrl π cos º Intgrl 8 t dt º stitição do limit sprior mnos o limit infrior F() F() º stitição do limit sprior mnos o limit infrior F() F() sn π sn ( ) ) Clclr Intgrl Dfinid ( + ) d + º Intgrl º stitição do limit sprior mnos o limit infrior F() F() () () () () + + ) Clclr Intgrl Dfinid + d + 6+ stitímos clclmos drivd d: ² + d + d ln d Informção: ln stitindo novmnt: ln( + ) ln( + ) ln( + ) ln() ln() ln ProfMsCrlos Hnriq Emil:

11 ATIVIDADE PRÁTICA: Clclr s intgris dfinids io: ) ( 6 ) d Rspost: 8 ) ( )( ) d ) Rspost: 6 ( + ) d Rspost: ) ( + ) d Rspost: ( + ) ) + + d stitir: ³ + ² + Rspost:,7 d 6) ( ) stitir: ² Rspost:,7 π 7) sn cos d stitir: sn Rspost: π 8) π π d sn Rspost: ln d 9) ( + ) stitir: + Rspost: /6 ) d Rspost: 8 ProfMsCrlos Hnriq Emil:

12 ATIVIDADE PRÁTICA: Clclr s árs somrds io: ) ) ) + Rspost: o ln ln Rspost: 6 Rspost: π ) sn ) cos 6) π π π π π Rspost: Rspost: Rspost: 7) Clclr ár d sprfíci limitd plo io dos pl crv d qção ², ntr os pontos: Rspost: 8) Clclr ár d sprfíci limitd plo io dos pl crv d qção 7 ², ntr os pontos: Rspost: /6 ProfMsCrlos Hnriq Emil:

13 Clcl ár d rgião so o gráfico d fnção f nos csos: 9) f ( ), Rspost: 6/ ) f ( ), Rspost: / ) f ( ), Rspost: 6/ ) f ( ), Rspost: ) f ( ), Rspost: 6/ ) f ( ), Rspost: ) f ( ), Rspost: ½ 6) f ( ), Rspost: ½ 7) f ( ) +, Rspost: / 8) f ( ), Rspost: 9) Clclr ár d rgião comprndid (dlimitd) ntr s crvs ² ² + Rspost: 8/ ) ndo f() g() ², clcl ár d rgião dlimitd plos gráficos d f g Rspost: / Rfrêncis Biliográfics BOULO, PAULO, Cálclo Difrncil Intgrl Vol Editor Prson LEITHOLD, L, O Mtmátic Aplicd à Economi Administrção ão Plo: Hrr, 988 TEWART, JAME, Cálclo Vol I ª Ed ão Plo: Pionir Thomson Lrning, WOKOWKI, EARL W, Cálclo com Gomtri Anlític Vol Editor Mkron Books THOMA, GEORGE B, Cálclo Vol Editor Prson ProfMsCrlos Hnriq Emil:

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