FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE ASSUNTO: DERIVADAS E INTEGRAIS DAS FUNÇÕES, TRIGONOMÉTRICAS E HIPÉRBOLICAS INVERSAS
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- Felipe Mendes Cipriano
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1 FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ASSUNTO: DERIVADAS E INTEGRAIS DAS FUNÇÕES, TRIGONOMÉTRICAS E HIPÉRBOLICAS INVERSAS PROFESSOR: MARCOS AGUIAR CÁLCULO I. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS. A fnção invrs do sno, dnotd por rcsn o sn, dfin-s como Emplo: S rcsn s somnt s sn pr rcsn, ntão sn, logo 6 S rcsn, ntão sn, logo 6. Propridds d rcsn. snrcsn s rcsn sn (ii) s Emplo: rcsn sn pois sn rcsn s 3 rcsn sn rcsn = A fnção invrs do co-sno, dnotd por rccos o cos, dfin-s como rccos s somnt s cos pr 0 Emplo: S rccos, ntão cos 0, logo 3 S rccos, ntão cos 0, logo 3
2 .4 Propridds d rccos. cos rccos s (ii) rccos cos s 0 Emplo: rccos cos pois cosrccos s rccos cos rccos = Idntidds pr fnçõs trigonométrics invrss. sn cos cos sn sn cos tg sn sc tg sn sc sn cos sn tg sc.6 Drivds ds fnçõs trigonométrics invrss do sno, co-sno, tngnt scnt..6. Drivds ds fnçõs invrss
3 D rcsn Torm. D D rccos D (ii) D rctg D (iii) D rcsc D (iv) S m fnção difrnciávl f dmit m fnção invrs é difrnciávl m c g' c f ' g c g f s f ' g c 0, ntão g Fzndo: rcsn sn são qivlnts s Difrncindo sn implicitmnt tmos:. d cos d D rcsn ssim D rcsn como cos cos sn sn ntão cos, pr. A fnção invrs não é difrnciávl m D rccos D (ii) Dmonstrção nálog pr D tg D (iii) Vrmos gor dmonstrção do rc Fzndo:, implicitmnt, tmos: rctg tg pr, Difrncindo tg 3
4 sc obtmos sc, como sc ssim D rctg D consqüntmnt D rctg sc tg tg (iv) rc sc sc Como 0 o 3, sg-s q sc tg 0 ntão, Drc sc D, como sc tg tg sc, obtmos Drcsc D Pr fnção invrs d scnt não é difrnciávl m.7. Intgris d fnçõs trigonométrics invrss Intgris ds fnçõs invrss sno, tngnt, scnt d rcsn C (ii) d rctg C (iii) d rcsc C Dmonstrção: (ii) Fzndo tmos d d () 4
5 Mdndo () d vriávl pr vriávl v, v, dv d tmos: d d d v dv d rctg v C d rctg C Emplo: Clclr 4 d Solção: Fzndo difrncindo tmos d d d d 4 d d 4 d 4 d rcsn C d rcsn C 4. FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 5
6 Dfinição: As fnçõs sno hiprbólico, dnotd por snh co-sno hiprbólico, dnotd por cosh s dfinm como snh cosh pr todo rl. Os Gráficos Co-sno hiprbólico Sno hiprbólico Font: Swokowski, 994, p. 558 Torm. cosh snh Dmonstrção: cosh snh cosh snh cosh snh cosh snh 4 4 Dfinição: 6
7 snh tgh cosh (ii) cos h cotgh sn h, 0 (iii) sc h cosh (iv) csch sn h, 0 Gráficos: Font: Swokowski, 994, p. 56 Dividindo por cosh mbos os mmbros d idntidd cosh snh tmos: cosh snh cosh cosh cosh tgh sc h 7
8 Dividindo por sn h mbos os mmbros d idntidd cosh snh tmos: cosh snh sn h sn h sn h (ii) cot sc gh c h DERIVADAS DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS Sndo g g difrnciávis D snh cosh D (ii) D cos h sn hd (iii) D tgh sch D (iv) Dcot gh csch D (v) D sc h sch thd (vi) D csc h csch cot ghd DEMONSTRAÇÃO Dsnh D cosh (ii) Dcosh D sn h (iii) D tgh D snh cosh cosh Dsnh snhd cosh Dtgh cosh cosh cosh snhsn h cosh snh Dtgh sc cosh cosh cosh h 8
9 INTEGRAIS DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS snhd cosh c (ii) cos hd sn h c (iii) sc h d tgh c (iv) csc cot h h d g c (v) sc htghd sch c (vi) cschctghd cs ch c (vii) sc hd rctg c (viii) tghd ln cosh c () csc hd lnt g h cotghd ln sn h c EXERCÍCIOS. Dtrmin f ' pr f dd.. f snh 5 3. f snh 3. f snh 3 4. f cosh 5 f tgh 6. f rctg tgh f ctgh 7. cot gh 8. f 9. f cot g sc h Clcl intgrl d. 3. cosh sc h7 d 3. snh d 4. snh d 5. cos h 3 d d 7 6. sc h 5 csc h d 8. cot g h d 9. tgh3sc h3d 0. 6 sc 6 cotgh co h d 9
10 FUNÇOES HIPERBÓLICAS INVERSAS A fnção sno hiprbólico é contín crscnt pr todo, por consgint dmit m fnção invrs contín crscnt, dnotd por rgsnh o snh como o sno hiprbólico é dfinid m tmos d, é d s sprr q rgsnh poss prssr-s m trmos d invrs, ln, d fnção ponncil ntrl. Torm: snh ln (ii) cos h ln (ii) (iv) tgh ln, sc h ln, 0 DEMONSTRAÇÃO rg snh, s somnt s snh snh 0, mltiplicndo mbos os mmbros por tmos 0, Rsolvndo qção tmos:, como 0 nnc é ngtiv, dvmos tr:, plicndo ln m mbos os mmbros tmos: ln ln 0
11 ln Isto é, rg snh ln (ii) rg cos h, s somnt s cos cos h h, 0 0, mltiplicndo mbos os mmbros por tmos 0, Rsolvndo qção tmos:,, plicndo ln m mbos os mmbros tmos: ln ln ln Isto é, rg cos h ln (iii) rg tgh, s somnt s tgh, pr tgh mltiplicndo mbos os mmbros por tmos plicndo ln m mbos os mmbros tmos: ln ln ln
12 Isto é, rg tgh ln DERIVADAS DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS Torm: (ii) Drg snh D D rg cos h D, (ii) Drg tgh D, (iv) Drg sc h D, 0 DEMONSTRAÇÃO: Drg snh Dln ln D Emplo. S rgsnh tg clcl d d Solção: d Drg snh D tg sc sc sc d tg sc sc INTEGRAIS DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS Torm.
13 d rg snh c ln d pr 0 (ii) d rg cosh c ln d pr 0 (iii) d rg snh c ln d pr (iv) d rg snh c ln d pr Ercícios: Dtrmin f ' pr f dd.. f rg snh 5. f rg snh 3. f rg cosh 4. f rgcosh 5 f rg tgh 4 6. f rg tghsn3 rg snh 7. f rg sc h 8. f 9. rgsc Clcl intgrl. f h ) d b) 86 d c) 49 4 d d) 6 9 sn cos d ) d f) d g) d 4 9 h) d 5 REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: SWOKOWSKI, Erl W. Cálclo com Gomtri Anlític. v..são Plo: Mkron Books do Brsil, 994. ANTON HOWARD. Cálclo m novo horizont volm I 6ª d.- Porto Algr Bookmn 000 3
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= 1, independente do valor de x, logo seria uma função afim e não exponencial.
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tg 2 x , x > 0 Para determinar a continuidade de f em x = 0, devemos calcular os limites laterais
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c.c. É a função que associa a cada x X(S) um número f(x) que deve satisfazer as seguintes propriedades:
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![a) 1. b) 0. c) xnw. d) q (Espm 2014) Se a matriz 7. (Pucrs 2014) Dadas as matrizes A = [ 1 2 3] a) 18 b) 21 c) 32 d) 126 e) 720 Se a matriz M=](/thumbs/54/33471810.jpg "a) 1. b) 0. c) xnw. d) q (Espm 2014) Se a matriz 7. (Pucrs 2014) Dadas as matrizes A = [ 1 2 3] a) 18 b) 21 c) 32 d) 126 e) 720 Se a matriz M=")
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