Polinômios. 1.Introdução 2.Técnicas de fatoração 3.Fatoração de polinômios de terceiro grau ou de grau superior 4.Teorema do zero racional

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Polinômios Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Polinômios 1.Introdução.Técnicas de fatoração 3.Fatoração de polinômios de terceiro grau ou de grau superior 4.Teorema do zero racional

3 1. Introdução Nesta aula, vamos apresentar alguns assuntos de interesse, relativo aos polinômios, que vão subsidiar a disciplina de Cálculo I. 3

4 . Técnicas de fatoração O Teorema Fundamental da Álgebra afirma que todo polinômio de grau n a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0 tem precisamente n zeros. (Os zeros podem ser repetidos ou imaginários.) O problema de achar os zeros de um polinômio é equivalente ao de decompor o polinômio em fatores lineares. 4

5 .1. Fórmula quadrática ax bx c x + + = 0 = ± 4 a b b ac b + b 4ac b b 4ac x x = a a 0 Exemplo: 5 ± 1 x 5x + 6 = 0 x = x 5x + 6 = 0 x 3 x = 0 5

6 .. Produtos especiais x a = x a x + a 3 3 x a = ( x a)( x + ax + a ) 3 3 x + a = ( x + a)( x ax + a ) 4 4 x a = ( x a)( x + a)( x + a ) Exemplos: x x x 9 = ( 3)( + 3) 3 x x x x 8 = ( )( + + 4) 3 x x x x + 64 = ( + 4)( ) 4 x 16 = ( x )( x + )( x + 4) 6

7 .3. Produtos especiais x + a = x + ax + a x a = x ax + a x + a = x + 3ax + 3a x + a x a = x 3ax + 3a x a x + a = x + 4ax + 6a x + 4a x + a x a = x 4ax + 6a x 4a x + a 7

8 .3. Produtos especiais Exemplos: x + 3 = x + 6x x 5 = x 10x x + = x + 6x + 1x x 1 = x 3x + 3x x + = x + 8x + 4x + 3x x 4 = x 16x + 96x 56x

9 .3. Produtos especiais Se expandirmos (a + b) n para n = 0, 1,, 3, 4 e 5, obteremos as expressões abaixo: 0 ( a + b) = 1 ( a + b) = ( a + b) = 3 ( a + b) = 4 ( a + b) = 5 ( a + b) = a b + 1a b a b + a b + 1a b a b + 3a b + 3a b + 1a b a b + 4a b + 6a b + 4a b + 1a b a b + 5a b + 10a b + 10a b + 5a b + 1a b

10 .3. Produtos especiais Os coeficientes binomiais na expansão de (a + b) n são os valores de n Cn, r = para r = 0, 1,, 3, 4,, n r onde C n, r n n! = = r r!( n r )! 1! = 1 sendo n! = n(n-1)(n-)(n-3) 1, sendo 0! = 1 e

11 .3. Produtos especiais A expansão de n a + b = ( a + b)( a + b)( a + b) ( a + b) n fatores consiste em todos os possíveis produtos que podemos formar com as letras, no caso a e b. O número de maneiras para formar o produto a r b n-r é exatamente o mesmo número de maneiras para escolher r fatores para serem expoentes de a e, consequentemente, complementá-lo com relação a n, para serem os expoentes de b. Esse número de maneiras é n n! Cn, r = = r r!( n r )!

12 .3. Produtos especiais Se eliminarmos os símbolos de adição e as potências das variáveis a e b na forma triangular, deixando apenas os coeficientes, é possível montar o triângulo abaixo: Linha 0 Linha 1 Linha Linha 3 Linha 4 Linha 5

13 .3. Produtos especiais Para qualquer inteiro positivo n, n n n n n ( a + b) = a b + a b + a b + + a b + + a b 0 1 r n n n 0 n 1 1 n n r r n n n n n n n 1 1 n n n n r r n ( a + b) = a + a b + a b + + a b + + b 0 r Binômio de Newton

14 .3. Produtos especiais Exemplo: ( x + a) = 1 a x + 5 a x + 10 a x + 10 a x + 5 a x + 1 a x ( x + a) = x + 5ax + 10a x + 10a x + 5a x + a ( x y ) = 1 x y + 4 x y + 6 x y + 1 ( ) 0 ( x y x y ) ( x y ) = 16x 3x + 4x y 8xy + y

15 .4. Fatoração por grupamento 3 acx + adx + bcx + bd = ax cx + d + b cx + d = ax + b cx + d Exemplo: 3 3x x 6x + 4 = x (3x ) (3x ) = ( x )(3x ) 15

16 .5. Exemplos Exemplo 1: Aplique a Fórmula Quadrática para achar todos os zeros dos seguintes polinômios. (a) 4x + 6x + 1, (b) x + 6x + 9 e (c) x 6x + 5. ( a) x b ± b 4ac 6 ± ± 0 6 ± 5 3 ± 5 = = = = = a b ± b 4ac 6 ± ( b) x = = = = 3 a ( c) x b ± b 4ac 6 ± ± 4 = = = a 4 4 No exemplo 1, os zeros na parte a são irracionais, e os zeros na parte c são imaginários. Em ambos os casos a quadrática se diz irredutível, porque não pode ser decomposta em fatores lineares, com coeficientes racionais. 16

17 .5. Exemplos Exemplo : Ache os zeros dos seguintes polinômios quadráticos. (a) x - 5x + 6, (b) x - 5x - 6 e (c) x + 5x - 3. Os zeros são (a) x = e x = 3, (b) x = -1 e x = 6 e (c) x = 1/ e x = -3. ( a) x 5x 6 ( x )( x 3) + = ( b) x 5x 6 ( x 1)( x 6) = + ( c) x + 5x 3 = (x 1)( x + 3) 17

18 3. Fatoração de polinômios de terceiro grau ou de grau superior Pode ser difícil achar os zeros de polinômios de grau três ou grau superior. Entretanto, conhecido que seja um dos zeros de um polinômio, pode-se utilizar este zero para reduzir o grau do polinômio. Por exemplo, se x = é um zero do polinômio x 3 4x + 5x, sabemos que (x ) é um fator e, por divisão, podemos fatorar o polinômio como segue: x 3 4x + 5x = (x )(x x + 1) = (x )(x 1) Como alternativa, muitos preferem utilizar a divisão sintética para reduzir o grau de um polinômio. 18

19 3.1. Divisão sintética para um polinômio cúbico Dado x = x 1 é um zero de ax 3 + bx + cx + d. x 1 a b c d Padrão vertical: Somar termos Padrão diagonal: a 0 Multiplicar por x 1 Coeficientes para o fator quadrático 19

20 3.1. Divisão sintética para um polinômio cúbico Por exemplo, efetuando a divisão sintética no polinômio x 3 4x + 5x -, utilizando o zero x =, obtemos o seguinte: Padrão vertical: Somar termos Padrão diagonal: Multiplicar por x 1 (x )(x - x + 1) = x 3 4x + 5x - 0

21 3.1. Divisão sintética para um polinômio cúbico Ao utilizar a divisão sintética, leve em conta todos os coeficientes mesmo que alguns sejam zero. Por exemplo, se sabemos que x = - é um zero de x 3 + 3x + 14, podemos aplicar a divisão sintética como segue: Padrão vertical: Somar termos Padrão diagonal: Multiplicar por x 1 (x + )(x - x + 7) = x 3 + 3x

22 4. Teorema do zero racional Uma forma sistemática de achar os zeros racionais de um polinômio consiste em aplicar o Teorema do Zero Racional. Se um polinômio a n x n + a n-1 x n a 1 x + a o tem coeficientes inteiros, então todo zero racional é da forma x = p/q, onde p é um fator de a 0 e q é um fator de a n.

23 4. Teorema do zero racional Exemplo 3: Ache todos os zeros reais da expressão x 3 + 3x 8x + 3. Fatores do termo constante: ± 1, ± 3 Fatores do coeficiente líder: ± 1, ± Os zeros racionais possíveis são os fatores do termo constante divididos pelos fatores do coeficiente líder. 1, -1, 3, -3, 1/, -1/, 3/, -3/ 3

24 4. Teorema do zero racional Testando esses zeros possíveis, vemos que x = 1 é um deles. (1) 3 + 3(1) 8(1) + 3 = = Padrão vertical: Somar termos Padrão diagonal: Multiplicar por x 1 (x 1)(x + 5x - 3) = x 3 + 3x - 8x + 3 4

25 4. Teorema do zero racional Finalmente, fatorando a quadrática x + 5x 3 = (x - 1)(x + 3), temos x 3 + 3x 8x + 3 = (x 1)(x 1)(x + 3) e podemos concluir que os zeros são x = 1, x = 1/ e x = -3. 5