ln xdx 1 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

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1 Cpítlo Técnics d Inrção - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO. INTEGRAÇÃO POR PARTES Um técnic d inrção mito útil é inrção por prts, q dpnd d fórml pr difrncil d m prodto. Sjm f g fnçõs difrnciávis d. Então, pl rgr do prodto, tmos: f ().g' () D f ().g() f '().g() g' ().f () D f ().g() f '().g() Inrndo mbos os mmbros, tmos: f ().g' () D f ().g() g().f '() Vrificmos q primir inrl do ldo dirito é igl f(). g() + C. Como d Sgnd inrl rslt otr constnt d inrção, é dsncssário inclir C n fórml, isto é: f ().g' () f ().g() g().f '() Fzndo f() v g(), d modo q d f () dv g (), ntão fórml prcdnt pod sr scrit: dv.v v. d A fim d plicr st fórml m dtrmind inrl, rprsntmos por m prt do inrndo por dv o rstnt, ( inclsiv ). Emplo Clcl ln Vrificmos q não ist fórml pr st inrl n tbl. Fzmos ln dv Assim: d v dv dv v C ln.dv ln.v ln ln.() ln ln v.d ln ln ln ln C ln ln C Emplo Clcl. Fzndo: () Voltndo n inrl, tmos:..dv d......v.... v.d dv dv v C C Obs: Pr rsolvr st prt dirit dvmos fzr m sbstitição. Elin Cristin Frrzzi

2 Cpítlo Técnics d Inrção - Sj t dt dt Sbstitindo, tmos dt t t dt t C Emplo Clcl.cos Sj Inrndo por prts,.cos.v v. d C.cos sn sn () Apliqmos m sgid inrção por prts à inrl d dirit d qção (). Fzndo: d dv sn v - cos inrndo por prts tmos: d dv cos v sn.sn.v v. d.sn cos cos (b) Lvndo gor qção ( b) no mmbro dirito d qção (), obtmos;.cos sn cos cos.cos. sn cos cos cos cos cos (sn cos) (sn (sn cos) cos C cos) EXERCÍCIO E. Clcl s sgints inris: ). b). c) ) g) i) k). d). f) sn h). cos j) cos. l) sc. n) sn p).sn r) ln. t) m) o) q) s).. sn.sc. sn sc sn ln cos Elin Cristin Frrzzi

3 Cpítlo Técnics d Inrção - Rsposts: E ) ( ) C b). C c) ( ) C d) C 7 ) C f ).( ) C g) sn cos C h) sn cos C i) sn cos C j) sc ln sc C k) sn cos C l) sn cos cos m) ln cos C n) o) C sc. ln sc C cos sn cos C p) sn cos C q) cos sn C r) s) ln t)sn ln sn C ln C C. INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA Nst sção disctirmos m método pr o cálclo d inris contndo rdicis, rlizdo trvés d sbstitiçõs nvolvndo fnçõs trigonométrics. Pr dtrminr ár d m círclo o d m lips, m inrl do tipo d prc, ond > 0. S inrl foss do tipo. d m simpls sbstitição d vriávis ( t ) sri sficint pr rsolvr inrl m qstão, ms como st dfinid inrl q qrmos solcionr é mis difícil. Mits vzs sbstitiçõs trigonométrics convnints nos lvm à solção d dtrminds inris. S o inrndo nvolvr fnçõs contndo s prssõs:, o com > 0, é possívl rlizr m sbstitição trigonométric proprid conform vmos n Fig. Figr Podmos ssim sgrir sgint tbl:.. Tbl d Sbstitiçõs trigonométrics. prssão sbstitição sn * * sc ** Elin Cristin Frrzzi

4 Cpítlo Técnics d Inrção - * ** 0 o.. Idntidds trigonométrics útis i) ii) sn cos sc Obsrv s rsolçõs bio. º cso: A fnção inrndo nvolv. Nst cso, frmos sbstitição sn. Então d cos d. Assim, tmos sn sn sn cos cos º cso: A fnção inrndo nvolv Nst cso, frmos sbstitição Então d sc d. Assim, tmos sc sc. Nst cso, frmos sbstitição sc. Então d sc. d. Assim, tmos sc sc Emplo Clcl inrl Rsolção: Usmos sn, ntão cos d Sbstitindo n inrl, tmos: Plo º cso, tmos q: cos d sn cot g d sn sn sn cos c d cos cosd co c cosd Dvmos gor scrvr st rsltdo m trmos d vriávl originl. Sbndo q s - sn, com, ntão rcsn. º cso: A fnção inrndo nvolv Elin Cristin Frrzzi

5 Cpítlo Técnics d Inrção - Obsrvndo Fig () vmos q co. Assim, tmos: co c rcsn C Emplo Clcl inrl com. Rsolção: Obsrvmos q st inrl nvolv fnção do º tipo, com. Assim, podmos fzr sbstitição sgrid. Fzndo sc, tmos sc. d. sc sc sc d sc sc d sc d C d Agor prcismos prssr o rsltdo m fnção d. Como sc, ntão rc sc obsrvndo Fig c vmos q. Dí, sbstitindo no rsltdo d inrl, tmos:. rcsc C. rcsc C Emplo Clcl inrl. Rsolção: Obsrvmos q st inrl nvolv fnção do º tipo, com. Assim, podmos fzr sbstitição sgrid. Fzndo, tmos sc d. Assim, o rdicndo sc..sc d ( ).sc.sc d sc.sc d sc.sc d d sc sc d sc sc d () Agor, sndo tbl d inris, podmos vr q: d ln sc sc () q Elin Cristin Frrzzi

6 Cpítlo Técnics d Inrção - 6 sc n d n sc n sc n d n n isto é, sc d sc sc d () Assim, sbstitindo () () n prssão () rlizndo s simplificçõs, trmos: sc sc d 0 sc ln sc C 0 0 Dí, inrl é: sc ln sc C 0 0 Prcismos gor rtornr vriávl. Obsrvndo Fig b, tmos sc, logo rlizndo sts sbstitiçõs, trmos: 0 0 ln.. ln C 0 0 EXERCÍCIO E. Rsolv s sgints inris ) c) d) ) 6 f ) g ) h) 6 i ) j ) k ) Rsposts: ) rcsn C c) d) ) f )ln ln C 6 6 C C C o f ) ln D ond D ln +C Elin Cristin Frrzzi

7 Cpítlo Técnics d Inrção - 7 g) h) i) j) rcsc C C ln k) C C C. INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS Est técnic é sd pr inrr fnçõs rcionis própris, isto é, fnçõs d form p() R(), ond p q são polinomiis o q() gr d p() é mnor q o gr d q(). A idéis é dsdobrr o inrndo R() m m som d fnçõs rcionis mis simpls, q podm sr inrds. É fácil vrificr q: A prssão à dirit é o q s chm m dcomposição m frçõs prciis d. Pod-s sr st dcomposição pr clclr inrl indfinid d. Bst inrrmos cd m ds frçõs d dcomposição, obtndo: ln ln C ln C O dsdobrmnto do inrndo pod sr fito d cordo com os csos sgints; CASO : O dnomindor d R() pod sr dcomposto m ftors distintos do º gr. Nst cso, cd ftor d form ( +b), * b, q prc no dnomindor, corrspond m frção d form A. ( b) Emplo 6.( ).( ). ) A B C.( ) ( ) ( ) Emplo 7 Clcl Rsolção: Sbmos q:.( ).( ).( ) Assim,.( ).( ) A B C ( ) ( ) Tirndo o m.m.c. liminndo os dnomindors, tmos: Elin Cristin Frrzzi

8 Cpítlo Técnics d Inrção - 8 A( )( ) B..( ) C..( ) (A A)( ) B B C C A A A A B B C C A B C A A B C A (A B C) (A B C) A Comprndo os coficints d, tmos: A A A B C A + C7 A B C como A, tmos.+ C7 C 8 C Agor com A C, tmosb - dcomposição m frçõs prciis, é pois: ( ) ( ) Agor, inrndo, tmos; ( ) ln ln ln C ( ) ln ln ln C.( ) ln C CASO : O dnomindor d R() pod sr dcomposto m ftors rptidos do º gr. A cd ftor d form ( + b ) q prc n vzs no dnomindor, corrspond m som d n frçõs d form: A A... An b ( b) ( b) n Emplo: ( ).( ) ( )( ).[( ) ] ( ).( ) ( ).( ) ( ).( ) A A A A A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Emplo 8 8 Clcl ( ).( ) Rsolção: Vrificmos q: 8 A B C D ( ).( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tirndo o m.m.c. liminndo o dnomindor, tmos; 8 A( ) B( ).( ) C.( ).( ) D( ) dí, tmos: A, B, C - D Então: 8 ( ).( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Elin Cristin Frrzzi

9 Cpítlo Técnics d Inrção - Inrndo, tmos: 8 ( ).( ) ( ) ( ) ( ) tirndo o m.m.c liminndo o dnomindor, trmos; (A B)( ) C( ) A A B B C C ( ) (A C) (B A) C B 8 ( ).( ) ln ln ( ) ( ) C Dí, tmos; A, B, C - Assim: 8 8 CASO : O dnomindor é constitído por ftors qdráticos distintos irrdtívis d form q( ) b c com 0 não pod portnto sr dcomposto m ftors do º gr. A cd ftor q() q prc no dnomindor, corrspond m frção d form A B q() Emplo: A B A B ( )( ) ( ) ( ) Inrndo, tmos: 8 8 ln ln C Emplo Clcl 8 Rsolção: O dnomindor pod sr ftordo como s sg: 8 ( ) ( ) ( )( ) Assim: A B 8 C CASO : O dnomindor é constitído por ftors qdráticos rptidos irrdtívis d form q( ) b c com 0 não pod portnto sr dcomposto m ftors do º gr. A cd ftor q() q prc rptido no dnomindor, corrspond m som d frção d form: A B A B An Bn q() q() q() n Elin Cristin Frrzzi

10 Cpítlo Técnics d Inrção - 0 Emplo 0 7 Clcl ( ) Rsolção; Vrificmos q: 7 A B ( ) ( ) C D ) ( portnto: 7 (A B)( ) C D dí: A, B - C D 0 Portnto: 7 ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) EXERCÍCIO E. Clcl s sgints inris: ) 7 b) ( ) ( )( )( ) c) ) 6 ( ) 0 8 Rsposts: )ln ln C d) f) ) ln ln ln C f )ln ln C c)6ln C d) ln ln C 6 8 ( ) ( ) b) ln ln ln C Inrndo, tmos; 7 ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ln C ( ) Elin Cristin Frrzzi