Oitavo Ano. Autor: Prof. Ulisses Lima Parente Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto. Portal da OBMEP

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1 Mtril Tórico - Módulo Frçõs Algébrics Oprçõs Básics Oitvo Ano Autor: rof. Ulisss Lim rnt Rvisor: rof. Antonio Cminh M. Nto ortl d OBME

2 Simplificção d frçõs lgébrics Um frção lgébric é um xprssão lgébric d form, m qu são polinômios não é idnticmnt nulo. Assim como m frçõs numérics (númros rcionis), é chmdo o numrdor d frção é o su dnomindor. São xmplos d frçõs lgébrics: x, 4xy x 5xy x 3 y bc b c. r simplificr um frção lgébric, rgr básic é ftorr o numrdor o dnomindor, m sguid, cnclr os trmos comuns os dois. Tmbém como com frçõs numérics, qundo um frção lgébric é obtid prtir d outr trvés d um simplificção, dizmos qu sss dus frçõs lgébrics são quivlnts. Exmplo. Simplifiqu frção lgébric 3b3b 6bc 6 6bc. Solução. ondo o ftor 3b m vidênci no numrdor o ftor 6 m vidênci no dnomindor, obtmos: 3b3b 6bc 6 6bc 3b (bc) 6 (bc) 3b 3 b. Exmplo. Simplifiqu frção lgébric 4x x 9. Solução. Utilizndo fórmul pr difrnç d dois qudrdos, tmos: x 9 x 3 (x3)(x 3). ortnto, colocndo o ftor 4 m vidênci no numrdor, obtmos ortl d OBME 4x x 9 4 (x 3) (x3) (x 3) 4 x3. Exmplo 3. Simplifiqu frção lgébric b 5 5b 7b7b. Solução. Comçmos ftorndo o numrdor o dnomindor por grupmnto, obtndo b 5 5b ( 5)(b 5b) ( 5)b( 5) ( 5)(b) 7b7b ( 7)(b7b) Dí, sgu qu (7)b(7) (7)(b). b 5 5b 7b7b ( 5) (b) (7) (b) 5 7. Exmplo 4. Simplifiqu frção lgébric x 3 x x x x. Solução. Novmnt, ftormos o numrdor por grupmnto pr obtr: x 3 x x (x 3 x )(x ) x (x ) (x ) (x )(x ). or outro ldo, o dnomindor é um trinômio qudrdo prfito. D fto, tmos x x (x ). Dí, sgu qu x 3 x x x (x )(x ) x (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) x x. Adição subtrção d xprssõs lgébrics Ants d dfinirmos como dicionr dus frçõs lgébrics, rcordmos qu s dus frçõs numérics possum o msmo dnomindor, ntão som dsss dus frçõs é frção cujo dnomindor é o msmo ds dus prcls cujo numrdor é ddo pl som dos numrdors ds prcls.

3 or outro ldo, s os dnomindors são difrnts, bst ncontrrmos dus frçõs com dnomindors iguis, cd um ds quis quivlnt um ds prcls d som,, m sguid, somr sss dus frçõs (qu gor já possum um msmo dnomindor). Normlmnt, ss dnomindor comum é ddo plo mmc dos dnomindors ds dus frçõs, ms tmbém pod-s tomr, por xmplo, simplsmnt o produto dos dois dnomindors. Com frçõs lgébrics procdmos d modo nálogo. S dus frçõs lgébrics são dds por, dfinimos su som pondo. A difrnç ntr (nss ordm) é dfinid d modo smlhnt: or xmplo, tmos:. b b x xy x x xy x x xy. S os dnomindors ds dus frçõs lgébrics m qustão são difrnts, primiro dvmos ncontrr dus frçõs lgébrics quivlnts às frçõs lgébrics dds inicilmnt qu possum um msmo dnomindor. Em sguid, sommos (ou subtrímos, conform o cso) sss dus últims frçõs lgébrics (qu gor possum o msmo dnomindor) conform dfinimos cim. Mis prcismnt, um vz qu s frçõs lgébrics são rspctivmnt quivlnts às frçõs lgébrics, dfinimos som difrnç ds frçõs lgébrics (nss ordm, no cso d difrnç) pondo. Chmmos o procsso d ncontrr sss frçõs lgébrics quivlnts às frçõs dds inicilmnt d rdução o msmo dnomindor. Vjmos mis um xmplo. ortl d OBME Exmplo 5. Eftu som d frçõs lgébrics bixo: Solução. Tmos: xy x y. xy x y (x y)(x y) (xy)(x y) x x y. Not qu n últim iguldd utilizmos fórmul do produto d som pl difrnç, produto notávl discutido no modulo d xprssõs lgébrics. r rduzir o msmo dnomindor podmos fzr como cim, multiplicndo o numrdor o dnomindor d cd frção lgébric originl plo dnomindor d outr. Entrtnto, s os dnomindors ds frçõs originis tivrm gru lto, ss procsso pod dificultr bstnt os cálculos. Nos três xmplos sguir vrmos outro procdimnto pr rduzir frçõs lgébrics o msmo dnomindor, o qul s ssmlh bstnt o procsso d rdução d frçõs numérics um msmo dnomindor, clculndo o mmc d sus dnomindors. Trmos mis dizr sobr isso logo pós xminrmos tis xmplos. Exmplo 6. Eftu difrnç d frçõs lgébrics bixo: 44. Solução. Obsrvqu 44éum trinômio qudrdo prfito. D fto, tmos: 44 (). ortnto, pr rduzir s frçõs lgébrics um msmo dnomindor, multiplicmos o numrdor o dnomindor d primir frção por, obtndo ssim: 44 () () Exmplo 7. Eftu som d frçõs lgébrics bixo: b b b b b. Solução. r rduzir s três frçõs lgébrics dds n dição cim um msmo dnomindor, podmos mis um vz lnçr mão d fórmul do produto d som pl difrnç d dois trmos: b (b)( b). Rlmnt, s multiplicrmos o numrdor o dnomindor d frção lgébric b por b, s multiplicmos o numrdor o dnomindor d frção lgébric b b por

4 b, obtmos: b b b b b (b) ( b)(b) b b b( b) (b)( b) b b b b b b b bbb b b bb b b. Exmplo 8. Clcul o vlor d som lgébric: x6 x 49 x 4. Solução. Not qu x 49 (x7)(x 7) x 4 (x 7). Dí, pr rduzirmos s dus frçõs o msmo dnomindor, podmos multiplicr os dois trmos d primir frção por os dois trmos d sgund frção por x 7. Assim procdndo, obtmos: x6 x 49 x 4 x6 (x 7)(x7) (x 7) (x6) (x 7)(x7) (x7) (x 7)(x7) x (x 49) x7 (x 49) xx7 (x 49) 3x9 (x 49). Emúltimnálisvjqu, m cdum dostrêsúltimos xmplos, o qu fizmos foi ftorr os dnomindors ds frçõs lgébrics dds, m sguid, vr os ftors comuns não comuns tis dnomindors, fim d podr rduzi-los um dnomindor comum com um mínimo d sforço computcionl. Isso é xtmnt o msmo procsso qu utilizmos pr rduzir frçõs numérics um msmo dnomindor, clculndo o mmc dos dnomindors ds frçõs dds. Os próximos dois xmplos mostrm como s oprçõs com frçõs lgébrics qu studmos té qui podm sr útis pr o cálculo d xprssõs numérics. Exmplo 9. ortl d OBME () Mostr qu n n n(n). (b) Utiliz o rsultdo ncontrdo m () pr clculr o vlor d som: S Solução. No itm (), obsrv qu podmos rduzir s dus frçõs lgébrics do primiro mmbro o msmo dnomindor multiplicndo os trmos (numrdor dnomindor) d primir por n os d sgund por n. Assim fzndo, obtmos: n n (n) n (n) n (n) n n n n(n) n(n). roitm(b), podmosutilizrorsultdodoitm () váris vzs, pr obtr squênci d iguldds bixo: Somndo-s mmbro mmbro fzndo os cnclmntos possívis, obtmos: ( ) ( ) ( ) ( ) S ( 98 ) ( ) Exmplo 0. Clcul o vlor d xprssão numéric S Solução. Obsrv qu 9S

5 ortnto, rgumntndo como no xmplo ntrior, tmos: ( ) ( ) ( ) ( ) 9S ( 8 ) ( 9 9 ) Dí, S or fim, vjmos um xmplo no qul oprçõs com xprssõs lgébrics podm judr bordr outrs situçõs problm. Exmplo. Sjm b númros nturis não nulos tis qu 56 65b. rov qu b é um númro composto. Solução. Obsrv qu: or outro ldo: 56 65b b b b b b b Agor, como , concluímos qu frção 56 é irrdutívl. Ms, como b rprsntm númros nturis, tmos qu b b é um frção quivlnt à frção irrdutívl 56. Dss modo, b é um múltiplo d, ssim, é um númro composto. 3 Multiplicção divisão d frçõs lgébrics r multiplicr ou dividir frçõs lgébrics, tmbém procdmosd modo nálogoo qu fzmos com frçõs numérics. Mis prcismnt, s são frçõs lgébrics dds, dfinimos o produto o quocint d por, rspctivmnt, por or xmplo: ortl d OBME b 3 c b 3 c b b 5 c b 3 x z y 3 z x x z y 3 x z (x z ) x y 3 x3 z x z y 3. z Vjmos mis lguns xmplos. Exmplo. Eftu s oprçõs com frçõs lgébrics indicds bixo, simplificndo o rsultdo qundo possívl: () x 3 y 3 x x x x y. y (b) 8x4 y 3 6x. Solução. () Utilizndo os produtos notávis qu studmos ntriormnt nos trmos d primir frção, tmos: x 3 y 3 x x x x y (x y)(x xy y ) (x) x x y (x y)(x xy y ) (x) (x) (x y) x xy y. x (b) Nst cso, ftundo inicilmnt o produto, m sguid, xcutndo os cnclmntos possívis, tmos: 8x 4 y 3 y 6x 8x4 y 6x y 3 4x 3y. Exmplo 3. Eftu divisão d frçõs lgébrics bixo simplifiqu o rsultdo: 3 b 3 4 b 4 b b. Solução. Ftorndo o numrdor o dnomindor d primir frção, obtmos: 3 b 3 ( b) ( bb ) 4 b 4 ( ) ( b ) ( b )( b ) ( b ) (b)( b). 4

6 ortnto, 3 b 3 4 b 4 b b ( b) ( bb ) ( b ) (b) ( b) b b bb ( b )( b) bb 3 bb b 3. Exmplo 4. Eftu multiplicção bixo, simplificndo o rsultdo s possívl: ( b ) ( ) b b. Solução. Inicilmnt, ftumos s dus soms qu s ncontrm dntro dos prêntss: b b b ( b)(b) b ( b)(b) bb ( b)(b) b b b b. Agor, substituindo tis xprssõs no produto originl, obtmos: ( b ) ( ) b b b b b b. Exmplo 5. Eftu divisão bixo, simplificndo o rsultdo s possívl: 4x 8x4 x 3 y 3 4x 4 x xy y. Solução. Ftorndo cd polinômio qu figur como numrdor ou dnomindor ds frçõs lgébrics dds, obtmos: 4x 8x4 4 ( x x ) 4(x), ortl d OBME x 3 y 3 (xy) ( x xy y ) 4x 4 4 ( x ) 4(x)(x ). Substituindo tis forms ftords n xprssão do - nuncido, tmos: 4x 8x4 x 3 y 3 x xy y 4x 4 4(x) (xy)( x xy ) x xy y 4( x)(x ) x (xy)(x ) x x xy x y. Dics pr o rofssor Rcomndmos qu sj utilizd um sssão d 50min pr discutir cd um ds sçõs qu compõm ss mtril. O procsso d simplificção d frçõs lgébrics ddo n sção dv sr xposto dpois d um brv rvisão sobr os métodos d ftorção studdos no módulo d xprssõs lgébrics polinômios. Ants d bordr s oprçõs com frçõs lgébrics discutids ns sçõs 3, é importnt qu sj fit um comprção com s msms oprçõs com frçõs numérics (númros rcionis). As rfrêncis colcionds sguir contém muitos problms xmplos rlciondos o contúdo do prsnt mtril. Sugstõs d Litur Complmntr. A. Cminh. Tópicos d Mtmátic Elmntr Volum : Númros Ris, Edição. Rio d Jniro, SBM, 03.. G Izzi. Os Fundmntos d Mtmátic Elmntr, Volum 6: Complxos, olinômios Equçõs. São ulo, Atul Editor, 0. 4x 8x4 x 3 y 3 4x 4 x xy y 5

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