ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

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1 Dprtnto Mtátic Disciplin Anális Mtátic II Curso Engnhri do Abint º Sstr º Fich nº 6: Equçõs difrnciis d vriávis sprds správis, totis cts, co fctor intgrnt hoogéns d ª ord. Coptição ntr spécis E hbitts spcíficos, niis d vrids spécis intrg d for dtrind. As fors is couns d intrcção ntr s spécis pod sr clssificds três grupos: () prddor/prs[prddor é u nil qu co outro nil]. () Espécis qu s coplnt. () Espécis qu copt plo so linto. Durnt o príodo d priir gurr undil, os dois táticos Lotk Voltrr dsnvolvr indpndntnt u do outro, odlos táticos qu rprsnt sts fors d intrcção ntr s spécis. E prticulr n clss dos pis, to-s por plo u populção d truts u populção d brbos. Ests dus spécis copt ntr si plo so linto. Rprsnt-s por (t) o núro d brbos no instnt t (t) o núro d truts no so instnt, sndo t o tpo dido ss. O odlo qu trduz coptição ntr sts dus spécis, considr qu: i) vrição instntân d populção d brbos dv sr dirctnt proporcionl à quntidd d brbos, dscontndo u fctor proporcionl o núro d ncontros ntr brbos truts. ii) vrição instntân d populção d truts dv sr dirctnt proporcionl à quntidd d truts, dscontndo u fctor proporcionl o núro ncontros ntr brbos truts. Assi, s ts d vrição d cd populção pod sr rprsntds plo sguint sist d quçõs difrnciis ond, b,, n, são constnts positivs: Págin d 6

2 Disciplin Anális Mtátic II º Sstr º d = d t d = d t () t () t b( t ) ( t ) n( t ) ( t ) Ests quçõs tê uits soluçõs possívis qu pod sr obtids rsolvndo sguint qução difrncil d d n = = (pl rgr d cdi) b sprndo s vriávis coo s sgu: d n b n = d = b b d = d ln b = ln + C ln ln = b n + C ln = b n + C = b n+ C b = K n, K IR.. Mostr qu = + b + c é solução grl d qução difrncil d trcir ord ''' '' 5' + 6 = 0, ond, b c são constnts rbitráris.. Vrifiqu qu = sn +C sn é o intgrl grl d qução difrncil + cos = sn(), ond C é u constnt rbitrári.. Dtrin tl qu = sj solução d qução '' 9 = Vrifiqu, por substituição, qu cd u ds funçõs () = () = ln são soluçõs d qução difrncil = 0. Págin d 6

3 Disciplin Anális Mtátic II º Sstr º 5. Dtrin s quçõs difrnciis ds sguints fílis d linhs: 5.. = c, c const. Arbitrári. 5.. ( c) + =, c const. Arbitrári. 5.. = C + C + C,C, C, C constnts rbitráris rctg B = A( ), ond A B são constnts rbitráris. 6. Pr s sguints quçõs, dtrin s soluçõs qu stisfz s condiçõs dds: 6.. d = d, () = ; '() = 0; 6.. = ; (0) =. 7. Dtrin solução grl d: 7.. d = ; ( + ) d = d = 0 ; 7.4. d = 0. + ; 8. Trnsfor s sguints quçõs quçõs d vriávis sprds clcul o su intgrl grl: 8.. = ; 8.. = ( + ) cos 4 ; 8.. dw d = + w w ; 8.4. ( + ) + ( )d = 0; 8.5. = A li d Nwton do rrfcinto fir qu t d vrição d tprtur d u objcto é proporcionl à difrnç ntr tprtur do objcto tprtur do io qu o rodi. Rprsnt-s por (t) tprtur ( ºC) d u objcto nu sl qu s consrv à tprtur constnt d 0 ºC. S tprtur do objcto bir d 50 ºC pr 40 ºC 0 inutos, qunto tpo dorrá tprtur do objcto bir pr 5 ºC? Págin d 6

4 Disciplin Anális Mtátic II º Sstr º 0. Suponh qu populção d Lisbo volui sgundo qução difrncil dp = 0.04p p, qu t é dido nos s dsprz igrçõs hoicídios. 0.. Modifiqu st qução d odo tr cont qu, dvido os dois fctors pontdos, populção diinui 000 indivíduos por no. 0.. Supondo qu 987 populção r d indivíduos, dtrin populção nu instnt qulqur, postrior t, clcul o liit d p(t) qundo t tnd pr infinito.. Suponh qu u tnqu contndo u líquido t u brtur no topo u brtur no fundo trvés d qul o líquido s sco. A li d Torriclli diz qu, s brtur do fundo do tnqu for brt no instnt t = 0, ntão cd instnt, profundidd d líquido h(t) ár A(h) d suprfíci d líquido stão rlcionds por dh A( h) = k h, ond k é u constnt positiv qu dpnd, ntr outros fctors, d viscosidd do líquido d ár d scção trnsvrsl d brtur por ond o líquido s sco. 4 Suponh qu o tnqu cilíndrico qu s ostr n figur, t 4 d profundidd bs co d rio stá chio no instnt t = 0, t dido sgundos. A constnt n li d Torriclli é k = Clcul h(t);.. Quntos inutos dorrá o tnqu svzir copltnt? Págin 4 d 6

5 Disciplin Anális Mtátic II º Sstr º. Efctu udnç d vriávl indicd clcul solução grl:.. ' = ( + ), fzndo + = u;.. ' = (8 + + ), fzndo = u;.. ' + ( + ')( ) =, fzndo = z.. Mostr qu qução ' = f ( ) g( ) s trnsfor nu qução d vriávis správis, s utilizros substituição = z. 4. Mostr qu são quçõs difrnciis totis cts dtrin s sus soluçõs gris: 4.. ( ) ( ) ln + + d = 0 ; 4.. (+ sn) + (sn+) d = 0; ( ) ' = 0; rctg = Encontr qução pr curv qu pss plo ponto ddo tl qu tngnt à curv nu ponto (, ) t o dcliv spcificdo. d d 5.. Dcliv: = ponto: (, ). 5..Dcliv: = ponto: (0,) Dtrin o vlor d k qu torn qução ( + k4 ) + ( + 0)d = 0 nu qução difrncil ct, sguid, rsolv- pr o vlor d k ncontrdo. cos sn 7. Mostr qu qução difrncil tg d = 0 cos cos cos coo fctor intgrnt µ (,)= cos dtrin solução grl. dit Págin 5 d 6

6 Disciplin Anális Mtátic II º Sstr º 8. Mostr qu cd u ds sguints funçõs é fctor intgrnt d qução difrncil d = ; 8.. ; 8.. ; Rsolv qução difrncil ( 7 ) + ( 9 ) d = 0 fctor intgrnt d for n , ddo qu ist u 0. Dtrin solução grl ds quçõs, usndo u fctor intgrnt: 0.. 'sn cos = sn; 0.. ( + ) + tgd = 0 ; = 0; 0.4. ( + ) = Dtrin o intgrl grl ds quçõs hoogéns sguints:.. d + = ;.. = ;.. + = d ; 4.4. d = ( + );.5. ( ) d + = 0.. Considr ( + ) d = 0. Dtrin solução qu stisfz condição () = 0. Págin 6 d 6