D e atribuamos a x o acréscimo x e a y o acréscimo y, tais que o ponto ( x + x,
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- Mario Jonathan Felgueiras Carreira
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1 DERIVADAS PARCIAIS ACRÉSCIMOS Acréscimo totl Sj unção dinid n rgião D R Tommos o ponto D tribumos o créscimo o créscimo tis qu o ponto D O créscimo d unção qundo pssmos do ponto o ponto é s chm créscimo totl d unção A vrição ds vriávis indpndnts pontos pod sr vlid trvés d distânci l ntr os A rão é um rão incrmntl su limit pr l l l diniri drivd d no ponto cso o limit istiss Entrtnto st limit qus smpr não ist pois o ponto podrá proimr-s do ponto d inúmrs mnirs o limit vi dpndr d mnir d proimção isto é d dirção d proimção Ests considrçõs lvr-nos-ão o concito d drivd dircionl qu studrmos mis dint O prsnt mtril prt d Apostil d Cálculo II lbord plo pro José Donitti d Lim Alguns tópicos d vrsão originl orm suprimidos
2 Acréscimos prciis Acréscimo prcil m Sj unção o ponto D Consrvmos constnt tribumos o créscimo tl qu o ponto D O créscimo d unção qundo pssmos do ponto pr o ponto é s chm créscimos prcil m Acréscimo prcil m S n unção consrvrmos constnt drmos o créscimo d modo pssrmos do ponto o ponto tmbém prtncnt D trmos o créscimo prcil m
3 DERIVADAS PARCIAIS Introdução: Suponh qu sj um unção d pns um vriávl Sbmos qu su drivd dinid por ' ' d d lim lim pod sr intrprtd com t d vrição d m rlção Gomtricmnt drivd d um unção num ponto P rprsnt o coicint ngulr d rt tngnt ss unção no ponto considrdo No cso d um unção d dus vriávis indpndnts ncssitmos d instrumntl mtmático smlhnt pr trblhr com t com qu mud qundo mbos vrim A idéi chv é r com qu pns um vriávl por v vri nqunto outr é mntid invriávl Pr unçõs d mis d dus vriávis o procdimnto é r com qu um dls vri nqunto tods s outrs são mntids invriávis Espciicmnt drivmos m rlção pns um vriávl por v ncrndo tods s outrs como constnts; tl procdimnto nos ornc um drivd pr cd um ds vriávis indpndnts Esss drivds individuis são s pçs com s quis construirmos por mplo o grdint um dos instrumntos mis importnts pois prmit dtrminr dirção d máimo crscimnto d um unção por mplo Diniçõs: Vimos ntriormnt qu são os créscimos prciis m rspctivmnt As rõs são s rõs incrmntis d unção m rlção Os limits dsts rõs pr n primir n sgund cso istm são s drivds prciis d unção Assim: lim ' D lim ' D Dinição : S é um unção d dus vriávis ris ntão o limit d rão quocint do créscimo prcil plo incrmnto qundo tnd ro chm-s drivd prcil m rlção d dsd qu o limit ist Dsign-s drivd prcil m rlção d unção por um ds notçõs sguints: ou ou ou
4 Em símbolos: lim lim Not: O símbolo n notção não pns é utilido pr ntir qu há outr vriávis indpndnts Dinição : Anlogmnt din-s drivd prcil m rlção d como sndo o limit d rão do créscimo prcil plo incrmnto qundo tnd ro dsd qu o limit ist Dsign-s drivd prcil m rlção d unção por um ds notçõs sguints: Em símbolos: ou ou ou lim lim Not: D msm orm o símbolo n notção vriávis indpndnts não pns Obsrvçõs: é utilido pr ntir qu há outr N prátic podmos tmbém dinir s drivds prciis m rlção d unção do sguint modo: "chm-s drivd prcil d unção m rlção à drivd m rlção clculd supondo constnt" "chm-s drivd prcil d unção m rlção à drivd m rlção clculd supondo constnt" Rsult ds diniçõs ntriors qu s rgrs d cálculo ds drivds prciis são s msms mprgds pr clculr drivd ds unçõs d um vriávl; é prciso somnt tr-s tnção m rlção qu vriávl s tu drivção Emplos: Dtrmin drivd prcil d m rlção
5 Clcul s drivds prciis ds unçõs sguir: b c b 9 c Dtrmin s drivds prciis d Dtrmin s drivds prciis d unção: Notmos istênci ds componnts potênci bs Então: Dtrmin s drivds prciis d cos sn sn cos sn cos cos sn 6 Dtrmin s drivds prciis d ln com > Inicilmnt prprmos unção: ] ln [ln ln ln
6 6 Dinição : Dinm-s d mnir nálog s drivds prciis d um unção d um númro qulqur d vriávis Por mplo s tomrmos um unção w d três vriávis w ntão: lim lim lim Por outro ldo s tomrmos um unção u d qutro vriávis t t u ntão: t t lim t t lim Emplos: Clcul s drivds prciis ds unçõs sguir: b b Dtrmin s drivds prciis d
7 CBB no CBB no à à INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS Sj um unção dinid n rgião R qu s projt sobr D no plno O D R tndo por imgm gráic supríci S do Fimos ndo-o igul BB A unção o srá unicmnt d vriávl rprsntrá curv CBB intrscção do plno BB prllo o plno O com supríci S d qução S irmos B B unção o srá unicmnt d vriávl rprsntrá curv CBB intrscção do plno BB prllo o plno O com supríci S d qução Obtmos ssim o ponto P d supríci S intrscção ds curvs CBB CBB A drivd prcil nos ornc o coicint ngulr dclin d rt tngnt tbb ponto P m rlção à rt r prll o io dos tgα A drivd prcil nos ornc o coicint ngulr dclin d rt tngnt tbb ponto P m rlção à rt s prll o io dos tgβ curv curv 7
8 DIFERENCIABILIDADE Introdução: Sbmos qu o gráico d um unção drivávl d um vriávl constitui um curv qu não possui pontos ngulosos isto é um curv suv Em cd ponto do gráico tmos um rt tngnt únic Similrmnt qurmos crctrir um unção dirnciávl d dus vriávis pl suvidd d su gráico Em cd ponto do gráico d dvrá istir um único plno tngnt qu rprsnt um bo proimção d prto d Dst orm ssim como drivd d um unção d um vriávl stá ligd à rt tngnt o gráico d unção s drivds prciis stão rlcionds com o plno tngnt o gráico d um unção d dus vriávis No ntnto nss último cso dvmos r um nális bm mis cuiddos pois somnt istênci ds drivds prciis não grnt qu istirá um plno tngnt Proposição: Um condição suicint pr dirncibilidd Sj um ponto do domínio d unção S possui drivds prciis num conjunto brto A qu contém s sss drivds prciis são contínus m ntão é dirnciávl m Not: Ess proposição é muito útil pr vriicrmos qu muits ds unçõs mis usds no cálculo são dirnciávis Isso é ilustrdo nos mplos qu sgum Emplos: Vriicr qu s unçõs sguir são dirnciávis m A unção dd tm drivds prciis m todos os pontos R R qu são dds por: Como sss drivds prciis são contínus m R concluímos qu é dirnciávl m b A unção dd tm drivds prciis m todos os pontos R qu são dds por: R 8 6 Como sss drivds prciis são contínus m R concluímos qu é dirnciávl m Not: Obsrvmos qu o rciocínio usdo nss mplo pod sr gnrlido pr qulqur unção polinomil Concluímos ntão qu s unçõs polinomiis são dirnciávis m R R 8
9 c sn A unção dd tm drivds prciis m todos os pontos R qu são dds por: cos cos Como sss drivds prciis são contínus m R concluímos qu é dirnciávl m Vriiqu qu s unçõs dds são dirnciávis m todos pontos d Em todos os pontos R R R cto n origm: unção dd tm drivds prciis qu são: Como sss drivds são unçõs rcionis cujo dnomindor s nul pns n origm ls são contínus m R { } Logo é dirnciávl m todos os pontos d R cto n origm b Em todos os pontos R unção dd tm drivds prciis qu são: Como sss drivds são unçõs rcionis cujo dnomindor s nul pns n origm ls são contínus m R { } Logo é dirnciávl m todos os pontos d R cto n origm Proposição: S é dirncívl no ponto ntão é contínu nss ponto Lmbr-s: rprsnt distânci d qu é dd por: ou sj 9
10 EQUAÇÃO DO PLANO TANGENTE O concito d plno tngnt um supríci corrspond o concito d rt tngnt um curv Gomtricmnt o plno tngnt um supríci num ponto é o plno qu mlhor proim supríci ns viinhnçs do ponto Obsrvndo igur ntrior notmos qu s dus rts tngnts tb B tbb tngnts à supríci S no ponto P dtrminm um plno tngnt à supríci S cuj qução grl é dd por: b c d Como st plno pss plo ponto P su qução é stisit pls coordnds dst ponto ssim b c d Fndo qução mnos qução tmos: Isolndo o trmo m vmos : b c b c c Por outro ldo n qução isolndo tmos: c b c d c Clculndo s drivds prciis d c b c 6 Substituindo s quçõs 6 n qução vmos : Portnto qução do plno π tngnt à supríci S d qução no ponto P é: P P Not: Por simplicidd: P P
11 EQUAÇÃO DA RETA NORMAL A rt norml n à supríci S no ponto P é prpndiculr o plno π tngnt à supríci no msmo ponto consquntmnt prpndiculr às tngnts tbb tbb O vtor dirtor d rt n norml à supríci S é portnto prllo o vtor norml do plno π r v n b c A norml n trá por quçõs: Multiplicndo s três rõs por -c: b c c c c b c b Como: P P tmos: c c P P c b c c c Not: Ess qução é chmd d qução simétric ou qução prmétric d rt Emplos: Dtrmin s quçõs do plno tngnt d rt norml à supríci no ponto P Inicilmnt dtrminmos o ponto P ndo: { { 6 9 Assim P 9 As unçõs drivds prciis são: 8 P Aplicndo sts drivds no ponto PBB tmos: P 8 6 Como qução do plno tngnt é dd por: P P tmos: Por outro ldo qução d norml é dd por: P P logo:
12 9 6 Dtrmin s quçõs do plno tngnt d rt norml à supríci no ponto P Dtrminmos s drivds prciis no ponto D > P P Sbmos qu qução do plno tngnt π à supríci no ponto P é: P P Logo 6 9 Por outro ldo sbmos qu s qução d norml n são: P P tmos: Dtrmin o ponto d supríci 9 6 m qu o plno tngnt é prllo o plno o plno crtsino O S o plno tngnt à supríci or prllo o plno O s drivds prciis d srão nuls 6 Clculmos : Portnto o ponto procurdo é - P
13 Dinição: Sj : R R dirnciávl no ponto Chmmos plno tngnt o gráico d no ponto o plno ddo pl qução Emplos: Dtrminr s istir o plno tngnt o gráico d unção nos pontos P P Ess unção é dirnciávl m todos os pontos d R Su gráico rprsnt um supríci suv qu possui plno tngnt m todos os sus pontos Em P Cálculo ds drivds prciis: Substituindo P n qução do plno tngnt obtmos: b Em P As drivds prciis são s msms ou sj Substituindo P n qução do plno tngnt obtmos: Gomtricmnt tmos: Dtrminr s istir o plno tngnt o gráico d unção > plotdsqrt^^--; no ponto P O gráico d unção prsnt um ponto nguloso n su origm P não dimitindo plno tngnt nst ponto Ess unção não tm drivds prciis m não sndo dirnciávl nss ponto
14 UP ordm UP ordm UP ordm Dtrminr s istir o plno tngnt o gráico d unção no ponto P Ess unção é dirnciávl m todos os pontos d R Sus drivds prciis são dds por: Substituindo P n qução do plno tngnt obtmos: Not: Obsrvmos qu usndo o produto sclr d dois vtors qução do plno tngnt pod sr rscrit como O vtor ormdo pls drivds prciis d PU propridds intrssnts qu srão vists sguir d tm VETOR GRADIENTE Dinição: Sj um unção qu dmit drivds prciis d PU no ponto O grdint d no ponto dnotdo por grd ou é um vtor cujs componnts são s drivds prciis d PU d nss ponto Ou sj Not: : lê-s: nbl Gomtricmnt intrprtmos como um vtor plicdo no ponto isto é trnslddo prllmnt d origm pr o ponto S stmos trblhndo com um ponto gnérico usulmnt rprsntmos o vtor grdint por Anlogmnt dinimos o vtor grdint d unçõs d mis d dus vriávis Por mplo pr três vriávis w tmos: w
15 Emplos: Dtrminr o vtor grdint ds unçõs: Rspost: b w w Rspost: Dtrminr o vtor grdint d unção Rspost: Dtrminr o vtor grdint d unção no ponto g m P Rspost: g g Dtrminr o vtor grdint d unção m P Rspost: 6
16 6 DERIVADAS PARCIAIS SUCESSIVAS ORDEM SUPERIOR S é um unção d dus vriávis ntão m grl sus drivds prciis d PU UP ordm são tmbém unçõs d dus vriávis S s drivds dsss unçõs istm ls são chmds drivds prciis d PU UP ordm d As drivds prciis ds drivds d PU UP ordm s istirm constituirão s drivds prciis d PU UP ordm; ssim sucssivmnt nd so on Pr um unção tmos qutro drivds prciis d PU U Pordm A prtir d drivd d m rlção obtmos s sguints drivds prciis d PU UP ordm: Por outro ldo prtir d drivd d m rlção obtmos Emplos: Dd unção dtrmin sus drivds prciis d PU UP ordm As drivds prciis d PU UP ordm d são: A prtir d tmos: 6 8 A prtir d obtmos: 8 Obsrv qu: Dd unção dtrmin sus drivds prciis d PU UP ordm vriiqu s : ; 6 8
17 UP ordm UP ordm UP ordm U P ordm UP Dd unção 6 6 dtrmin s drivds prciis d PU ordm Obsrv qu: Dd unção sn dtrmin sus drivds prciis d PU cos cos sn ; Obsrv qu: sn ; sn sn Dd unção cos dtrmin sus drivds prciis d PU vriiqu s sn sn > cos ; cos 6 Dd unção cos dtrmin sus drivds prciis d PU > ; 9 6 Obsrv qu nos mplos ntriors s drivds prciis mists d PU são iguis Isso ocorr pr miori ds unçõs qu prcm n prátic Ess iguldd é conhcid como torm d Schwrt nuncido sguir 7
18 UP ordm UP ordm UP ordm TEOREMA DE SCHWARTZ: INVERTIBILIDADE DA ORDEM DE DERIVAÇÃO Sj um unção com drivds prciis d PU A R ntão: pr todo A contínus num conjunto brto Not: Ess torm s stnd às drivds mists d ordm suprior à PU Emplo: Vriicr condição d iguldd d drivds prciis do Torm d Schwrt pr s unçõs: 6 Rspost: s b Rspost: OUTRAS NOTAÇÕES USADAS PARA REPRESENTAR AS DERIVADAS Eistm outrs notçõs lém d prsntd qu costumm sr usds pr rprsntr s drivds prciis d PU A drivd tmbém é rprsntd por: D D A drivd tmbém é rprsntd por: D D Por outro ldo pr s drivds prciis d PU tmos: Pr drivd tmos s sguints rprsntçõs: D D Pr drivd tmos s sguints rprsntçõs: D D UP Pr drivd Pr drivd tmos s sguints rprsntçõs: D D tmos s sguints rprsntçõs: D D É importnt notr qu ns últims notçõs introduids ordm d drivção é lid d squrd pr dirit o contrário d notção introduid ntriormnt Podmos vr qu isto é roávl obsrvndo s prssõs qu originrm s corrspondnts notçõs Por mplo nqunto ou D D D Not: Pr s drivds d mis lt ordm sss notçõs são stndids d mnir nturl Por mplo 8
19 9 DEFINIÇÃO: Um unção d váris vriávis m dir-s-á d clss n C m um rgião m D R com n intiro positivo * Z n s somnt s istirm orm contínus m D s drivds prciis d d ordm n Escrvmos: n C clss d dirncibilidd EQUAÇÃO DE LAPLACE OU EQUAÇÃO HARMÔNICA Sb-s qu qução qu rg o luo d clor é dd por: T T c t T ond T é tmprtur num ponto no instnt d tmpo t > c é um constnt crctrístic do mtril d qu é it plc No quilíbrio térmico T não vri com o tmpo portnto t T Dst orm qução s torn: T T D orm nálog pr o R tridimnsionl ou vriávis tmos: T T T Dinição: Um unção di-s hrmônic qundo stis à qução d Lplc: Um unção w di-s hrmônic qundo stis à qução d Lplc: w w w Not: Esss quçõs são mplos d quçõs dirnciis prciis conhcids como EDP d grnd plicbilidd A qução V V V pod prcr m problms d ltricidd clor rodinâmic tori do potncil m muitos outros cmpos Por outro ldo qução U U k t U prc n tori d condução bm como n diusão d nêutrons m um pilh tômic pr produção d nrgi nuclr E ind qução t α prc no studo d vibrção d cords ou ios bm como n propgção d sinis létricos
20 Emplos: Vriiqu qu unção sn é hrmônic sn ; cos sn sn cqd sn ; sn Vriiqu qu unção cos é hrmônic sn ; cos ; cos cos cos cos cqd Vriiqu qu unção sn cos é hrmônic Obsrv qu st mplo é som dos mplos ssim d orm dirt tmos: sn cos sn cos cqd Not: A drivd d um unção hrmônic é um unção hrmônic D msm orm som d unçõs hrmônics é um unção hrmônic
21 P P sn LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS Clcul s drivds prciis ds unçõs sguir: sn b c sn cos d Rspost: sn; cos b ; 8 c coscos ; sn sn d ; Dtrminr s drivds prciis ds unçõs bio: P P P b P c d Rspost: ; 6 b sn cos [ sn cos]; cos c ; d - Ddo o ponto Rspost: P b b clcul: 7 7 c c d d 7 7 Dmonstrr qu s Clcul s drivds prciis d unção Rspost: ; t t t t ; t ; t t t
22 P U UP ordm U UP ordm UP ordm 6 Encontr o coicint ngulr d rt tngnt à curv d intrscção d supríci com o plno no ponto P 8 Rspost: 7 Encontr o coicint ngulr d rt tngnt à curv d intrscção d supríci com o plno no ponto P 8 Rspost: 8 A unção T 6 P P P rprsnt tmprtur m qulqur ponto d um chp Encontrr rão d vrição d tmprtur m rlção distânci prcorrid o longo d plc n dirção dos ios positivos no ponto Considrr tmprtur mdid m grus Clsius distânci m cm Rspost: T T C / cm ; C / cm 9 Dtrmin s drivds prciis d PU Pordm d unção Rspost: S ln vriiqu qu Dtrmin s drivds prciis d PU Sugstão: Prpr unção: Rspost: d unção: Dtrmin s drivds prciis d PU Rspost: Pordm d unção ln Dtrminr s drivds prciis d PU ds sguints unçõs: b c ln d Rspost: c ; ; ; d 8 ; 6;6; 8 8 b ; ; ; S tm drivds prciis d PU ; ; ; contínus stis qução d Lplc l é dit um unção hrmônic Vriicr s s unçõs dds são hrmônics: b c cos Rspost: Sim b Não c Sim
23 Vriiqu qu unção cos w é hrmônic 6 Mostr qu pr 7 Dtrmin m cd cso s drivds prciis d unção: cos ln Rspost: sn sn ln b Rspost: c ln Rspost: ln 8 Clcul ϕ ϕ r r pr ϕ ϕ sn cos r r Rspost: r 9 Vriiqu s pr w tm-s w w w Dtrmin qução do plno tngnt qução d rt norml d supríci no ponto P Rspost: Equção do plno: Equção d rt norml:
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= 1, independente do valor de x, logo seria uma função afim e não exponencial.
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5.10 EXERCÍCIO pg. 215
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4.21 EXERCÍCIOS pg. 176
78 EXERCÍCIOS pg 7 Nos rcícios d clculr s drivds sucssivs t ordm idicd, 5 7 IV V 7 c d c, 5, 8 IV V VI 8 8 ( 7) ( 8), ( ) ( ) '' ( ) ( ) ( ) ( ) 79 5, 5 8 IV, 8 7, IV 8 l, 9 s, 7 8 cos IV V VI VII 5 s
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