AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE MORTÁGUA Ficha de Trabalho nº 0B Funções exponenciais e logarítmicas - 12º ano

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1 AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE MORTÁGUA Fich d Trblho nº B Funçõs ponnciis logrítmics - º no Mts (C.A.). Clcul os sguints limits: n n.. lim.. lim.. lim n n n n n n n n.. lim.. lim.6. lim n n n n. Clcul, m, o limit ds funçõs dfinids pls sguints prssõs: ln.. f ( ),.. f ( ) ln,.. f ( ), *.. f ( ) ln( ),.. f ( ) ln, log * *.6. f ( ),.7. f ( ) ln 9 ln,.8. f ( ),.9. f ( ),.. f ( ), 9 ln * tn.. f ( ),.. f ( ),.. f ( ) sin,. Clcul: lim k.., ond k é um númro nturl.. lim ln. Clcul os limits ds sguints sucssõs: n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n. Foi ftudo um dpósito um no d 8 num bnco no rgim d juro composto à t nul d,%... Qul o cpitl cumuldo o finl d um no?.. Mostr qu o cpitl cumuldo o fim d nos é d, proimdmnt, 6,... Justifiqu qu sucssão dos cpitis cumuldos m cd um dos nos prtir do primiro é um progrssão gométric d rzão,... Utiliz clculdor pr dtrminr o fim d quntos nos é possívl obtr um cpitl cumuldo suprior 9... Supondo qu é dd opção d cpitlizr juros pgos proporcionlmnt m cd príodo d três mss, ms com um t d pns,9% o no, dtrmin s um tl dpósito prmit obtr o fim d um no um cpitl cumuldo mior ou mnor do qu o obtido n opção cim dscrit.,, log log log 9 log 6. Mostr qu 7. Considr númros ris positivos, b c difrnts d tis qu log b log b. Dtrmin o vlor d: c b 7.. log b 7.. log 7.. log log 7.. log b c b b b c

2 8. Rsolv, m IR, s sguints condiçõs, primindo s soluçõs como intrvlos ou uniõs d intrvlos qundo não form m númro finito ou numrávl: log log 8.8. log log 8.9. * cos 8 cos 9. Considr s funçõs f g dfinids por f ( ) g( ) ln. 9. Indiqu o domínio d f stud istênci d ssíntots o gráfico d f. 9. Rsolv qução f()=. 9. Dtrmin um prssão nlític pr função invrs d f o rsptivo domínio. 9. Dtrmin função drivd d f idntifiqu os intrvlos d monotoni d f. 9. Dtrmin o domínio d função g. 9.6 Justifiqu qu o io O é ssíntot do gráfico d g m m 9.7 Avrigu s o gráfico d função g dmit ssíntots vrticis. 9.8 Rsolv condição g()<.. A prtir do instnt m qu foi dministrd um mdicção por vi orl, quntidd do mdicmnto X,t t f ( t), com t m hors. istnt no sngu (m mg/l) é dd pl fórmul. Qul quntidd d mdicmnto istnt no orgnismo o fim d hors? Aprsnt o rsultdo rrdonddo às décims.. Ao fim d qunto tmpo quntidd d mdicmnto no orgnismo ting o vlor máimo? Aprsnt o rsultdo m hors minutos, rrdonddos às unidds.. Sb-s qu ficáci do trtmnto dpnd d istênci d um quntidd mínim d mg/l no orgnismo. Utiliz clculdor gráfic pr dtrminr durnt qunto tmpo é grntid quntidd mínim no orgnismo, ftundo um studo prévio d função f qu lgitim o procsso. Aprsnt o rsultdo m hors rrdonddo às décims.. Esboc os gráficos ds funçõs dds rsptivmnt por cd um ds sguints prssõs nlítics, comçndo por dtrminr os rsptivos domínios, intrvlos d monotoni, trmos rltivos, concvidds inflõs... f ( ) *.. f ( ) log.. f ( ) ln ** *.. ( ) ln.. ( ).6. ( ) ln f f f. Considr função f dfinid m IR\[-,] por f( ). *Clcul drivd d f.. **Obtnh s ssíntots o gráfico d f. Esboc o gráfico d f.. A populção d Nov Zlândi r d,8 6 hbitnts m 9 d, 6 m 96. Supondo qu volução d populção dst pís obdci um li Mlthusin (t constnt d crscimnto populcionl por ( t t ) hbitnt, P() t P ) dtrmin populção P(t) pr qulqur instnt t.. Um mss d m = grms d rádio-6 istnt num mostr no instnt t = dsintgr-s o longo do tmpo. Em todo o instnt t, t d vrição instntân d mss, m (t) é proporcionl à mss m(t) istnt nss instnt. Sbndo qu o fim d no, mss d rádio é igul m()=9,97 grms, clcul o tmpo ncssário à dsintgrção d mtd d mss inicil. Aprsnt o rsultdo m nos, rrdonddo unidd.

3 . O Crbono- sofr dsintgrção rdiotiv d tl form qu t d vrição Q (t) d mss Q(t) istnt o fim d t nos é dirtmnt proporcionl Q(t), sndo constnt d proporcionlidd igul -,.. Prov qu, prtir d um mss inicil Q, mss Q(t) istnt o fim d t nos é dd pl fórmul Q(t)=Q -,t.. Um mostr rcolhid num túmulo contém pns % do crbono- prvisto m orgnismos vivos. Dtrmin idd proimd dss mostr, m nos, proimd à unidd.. Um mostr d origm vgtl foi dtd d, proimdmnt, nos. Qul prcntgm d crbono- contid nss mostr? Aprsnt o rsultdo rrdonddo às cntésims. 6. Durnt um crto príodo, o númro d ursos num rsrv nturl é ddo por P(t), ond t é o tmpo, m nos, dcorrido prtir do di d Jniro d 99. A função P vrific P ( t) P( t) P( t). 6. Mostr qu função P, dd pl prssão P( t), AIR, stisfz qução difrncil. t A Admitirmos, té o finl do rcício, qu P é, d fcto, dst form. 6. Clcul o vlor d constnt A m função d populção inicil P()=P. 6. Qul volução d populção s P =? Intrprt o rsultdo obtido. 7. *Um copo com águ cbd d frvr (portnto à tmprtur d ºC ) é dido rrfcr num sl à tmprtur mbint d ºC. Sbndo-s qu o fim d minutos tmprtur d águ ting 8ºC, o fim d qunto tmpo tingirá tmprtur d ºC? Utiliz o modlo d Nwton: () k t t m qu T T t T T tmprtur mbint T é tmprtur inicil. s 8. Considr função rl d vrávl rl dfinid m IR\{-} por f ( ) k s, k IR ln s 8.. * Dtrmin k d modo qu f sj contínu m =. 8.. ** Indiqu o vlor lógico d firmção: Eist um zro d função f no intrvlo [-,]. T é 9. Considr função g rl d vrávl rl dfinid por sin s ln g( ) s. Estud continuidd d g. s 76. Considr função g dfinid por g( ) m,. Dtrmin o contrdomínio d função g.. Mostr qu qução tm um únic solução dtrmin-. (Sugstão: stud função f ( ) ). Considr s funçõs f g dfinids pls prssõs f ( ) ln g( ).. Justifiqu qu f é stritmnt crscnt g qu é stritmnt dscrscnt, comçndo por dtrminr os rsptivos domínios.. Justifiqu qu s funçõs f g são bijtivs qundo s tom pr conjunto d chgd o rsptivo contrdomínio, dê um prssão pr f - g - mostr qu f - é stritmnt crscnt qu g - é stritmnt dcrscnt.

4 . *Considr função f dfinid por f ( ). Dtrmin pr qu vlors d k qução f()=k é impossívl.. A condição f()> tm como conjunto-solução runião d três intrvlos disjuntos. Dtrmin os possívis vlors ris d.. Considr função g dfinid por g( ), P um ponto d bciss positiv prtncnt o rsptivo gráfico Q projção ortogonl d P sobr o io O. Dtrmin pr qu vlor rl d bciss d P é máim ár do triângulo [OPQ].. Considr função f dfinid m IR por f ( ). Dtrmin o dcliv d rt scnt o gráfico d f nos pontos A B d bciss, rsptivmnt, -.. Justifiqu istênci d um ponto C do gráfico d f m qu rt tngnt tm dcliv igul o d rt AB.. *Dtrmin, utilizndo clculdor gráfic, um vlor, proimdo às cntésims, d bciss d um ponto C ns condiçõs d lín ntrior, justificndo vlidd do rsultdo obtido. 6. No gráfico o ldo stá rprsntdo o gráfico d função f dfinid por f ( ) um rt t com dcliv -, tngnt o gráfico d f no ponto A d bciss no intrvlo ]-,-[. 6. *Prov qu o ponto do gráfico qu dmit rt tngnt com o mnor dcliv possívl tm bciss indiqu um vlor proimdo às décims dss dcliv. 6. Justifiqu qu ist plo mnos um ponto do gráfico no qul rt tngnt tm dcliv -, dtrmin s coordnds do ponto A, rcorrndo à clculdor gráfic prsntndo vlors proimdos às cntésims. 7. Considr s funçõs f g dfinids por f ( ) ln g( ). Prtnd-s studr s possívis intrsçõs dos gráficos d f g no intrvlo,, obtndo um vlor proimdo pr bciss do ponto d intrsção. Pr o fito rsolv s sguints líns:,. 7. Mostr qu função f é dcrscnt função g crscnt no intrvlo 7. *Utilizndo lín ntrior, prov qu os gráficos ds funçõs s intrstm num único ponto d bciss no intrvlo,, utilizndo clculdor gráfic, dtrmin um vlor proimdo às cntésims pr bciss dss ponto.

5 Sol :(.) (.) (.)(.) não ist(.)(.6) (.); não ist(.) (.) (.) ; (.) ln ; (.6) (.7) (.8);(.9); (.)(.) ;(.) ; 9 ln (.) sn(.) ln 9 (.)(.) (.)(.) (.)(.)(.6)(.)9,8 (.)(.) mnor(7.) (7.) (7.) (7.) (8.) (8.),, (8.), (8.) (8.) ln, (8.6), (8.7), 8 (8.8),, (8. 9) rccoslog k, k k, k (9.) IR; y A. H.(9.) (9.) f ( ) ln ; D, (9.) f ( ) ; m IR(9.),, (9.7) AV.. AV..(9.8), (.), (.)h7 m(.)7, 6(.) D IR; m, m, m, m pr ; min pr ; m ;, m,9; ; m, ;,9 ; PI(, ;, 8) PI(,9;,9)(.) D, ; m, ; m, (.) D,, ; no su domínio; m, ; m, (.) D IR ; m IR ; mir (.) D IR; mir; mir(.6) D, ; m, ; m, min pr ; m, ; m, ; PI, 6 6,97( t9) (.) ln (.) AV; y AH () P( t), 8 ()86 t (.)(.)6,%(6.) (6.) c (7)7m s(8.) (8.) F(9) cont m IR \ P (), () (.) f ( ) g ( ) ln (.), (.), () (.) (.), 67ou, 8(6.),(6.) A(, ;, 9)(7.), josldir@gmil.com