PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVEST VESTIBULAR a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

Transcrição

1 PROVA DE MATEMÁTICA DA FUVEST VESTIBULAR 0 Fs Prof. Mri Antôni Gouvi. CONHECIMENTOS GERAIS QUESTÃO 0 ) Quntos são os númros intiros positivos d qutro grismos, scohidos sm rptição, ntr,, 5, 6, 8, 9? b) Dntr os númros intiros positivos d qutro grismos citdos no itm ), quntos são divisívis por 5? c) Dntr os númros intiros positivos d qutro grismos citdos no itm ), quntos são divisívis por? ) UM C D U Possibiidds 6 5 Tot d possibiidd RESPOSTA: 60 númros. b) Entr os númros formdos no itm, os qu são divisívis por 5, têm fixo n unidd o grismo 5, ogo: UM C D U Possibiidds 5 Tot d possibiidd 5 60 RESPOSTA: 60 númros. c) Entr os númros formdos no itm, os qu são divisívis por, são os prs qu trminm m 6, 6, 56, 68, 96, ogo, 5 possibiidds pr formr s dus primirs ordns. Escohid um dsss trminçõs, somnt rstm pr s outrs dus ordns, grismos Tmos dois csos: I- Trminndo m 6 com,, 5 ou 9 n ordm d dzn: UM C D U Possibiidds 5 Tot d possibiidd 5 60 RESPOSTA:60 númros.

2 QUESTÃO 0 No pno crtsino 0xy, considr prábo P d qução y x² 8x rt r d qução y x 6. Dtrmin: ) Os pontos A B, d intrscção d prábo P com o ixo coordndo Ox, bm como o vértic V d prábo P. b) O ponto C, d bsciss positiv, qu prtnc à intrscção d P com rt r. c) A ár do qudriátro d vértics A, B, C V. ) A prábo P intrcpt o ixo coordndo Ox nos pontos A (x, 0) B (x, 0) ond x x são rízs d qução y x² 8x. x² 8x 0 x B (, 0). 8 ± ± 6 x x A (, 0) 8 8 b O vértic d prábo é o ponto V,, (, 6) RESPOSTA: A (, 0), B (, 0) V (,6). b) Pr dtrminr os pontos d intrsção d prábo P d qução y x² 8x y x 8x com rt r d qução y x 6, rsov-s o sistm:. y x 6 y x 8x x y x 6 x 5 ± x x 6 x 8 5x 6 x ou x 5 x y x y RESPOSTA: Logo o ponto d intrsção C com bsciss positiv é (, ). c) A ár do qudriátro ABCV é igu à som ds árs dos triânguos ABC ACV: x A ya x A ya 0 S x B yb x C yc 0 x C yc x V yv S (( 6 ) ( 6) ) ( 8 ) 6. RESPOSTA:A ár do qudriátro ABVC é 6 u.. 0 6

3 QUESTÃO 0 PROVA DE CONHECIMENTO ESPECÍFICO MATEMÁTICA Dtrmin o conjunto d todos os númros ris x pr os quis v dsigudd og6 ( x ) og( <. og 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( x ) x og x < og x og x < og ( x ) ( ( ( 6 (( ( ( ( < og ( 6 6 ( ( ( ( ( og6 < og6 6 og6 < og6 og6 < og6 og6 > og6 og6 6 ( ( > < x x x x 5x 5x > 0 < 0 > 0 < 0 ( x ( x S < 0 {( < 0 b > 0) ou ( > 0 b < 0) } s > 0 {( < 0 b < 0) ou ( > 0 b > 0) }. b b 5x 5x Logo d > 0 < 0, tm-s: ( x {( 5x > 0 x > 0) ou ( 5x < 0 x < 0) } {( 5x > 0 x < 0) ou ( 5x < 0 x > 0) } < x < 5 x > ou x > 5 x < x < 5 x < ou x > 5 x > x, ], [, x, RESPOSTA: x, 5 5 QUESTÃO 0 N figur bixo, o cubo d vértics A, B, C, D, E, F, G, H tm do. Os pontos M N são pontos médios ds rsts AB BC, rspctivmnt. Ccu ár d suprfíci do tronco d pirâmid d vértics M, B, N, E, F,G.

4 As figurs pintds m zu rprsntm s fcs do tronco d pirâmid MBNEFG. MNB é um triânguo rtânguo isóscs no qu MN EFG é um triânguo rtânguo isóscs no qu EG. EAM é um triânguo rtânguo no qu 5 EM 5. EA EHM é um triânguo rtânguo no qu EM 5 BM, ntão BN EF FG, ntão AM,, ntão 5 8 ntão HM Dtrminção d ár do tronco d pirâmid MBNEFG: S MBNEFG S MNB S EFG (S EMBF S FBNG ) S EGMN EH, S MBNEFG S MBNEFG RESPOSTA:

5 QUESTÃO 0 Pr prov d um concurso vstibur, form bords qustõs, sndo 7 d Português, d Gogrfi d Mtmátic. Difrnts vrsõs d prov podrão sr produzids, prmutndo-s ivrmnt sss qustõs. ) Qunts vrsõs distints d prov podrão sr produzids? b) A instituição rsponsáv po vstibur dfiniu s vrsõs css A d prov como sndo qus qu sgum o sguint pdrão: s 7 primirs qustõs são d Português, útim dv sr um qustão d Mtmátic, ind mis: dus qustõs d Mtmátic não podm prcr m posiçõs conscutivs. Qunts vrsõs css A distints d prov podrão sr produzids? c) Ddo qu um cndidto vi rcbr um prov qu comç com 7 qustõs d Português, qu é probbiidd d qu rcb um vrsão css A? ) Como s qustõs srão prmutds ivrmnt, podrão sr produzids P,! vrsõs difrnts d prov. b) Possibiidds N o d qustão Português P 7,7 7! Mtmátic Gogrfi CÁLCULO DO NÚMERO TOTAL DE MANEIRAS DISTINTAS DE ELABORAÇÃO DA PROVA TIPO CLASSE A. Considrndo qu s 7 primirs qustõs srão d Português, xistm pr s P 7,7 7! mnirs d orgnizção; útim qustão tm d sr d Mtmátic, ntão pr ss qustão xistm possibiidds; pnútim qustão tm qu sr d Gogrfi, ogo pr st qustão xistm possibiidds. Assim xistm (7! ) 7! mnirs d borr s qustõs,,,, 5, 6, 7,. Pr s qustõs d 8 sobrrm qustõs d Mtmátic d Gogrfi num tot d 5! 0 mnirs distints incuindo qus m qu dus qustõs d Mtmátic prcm m posiçõs conscutivs qu dvrão sr xcuíds: Cácuo do númro d qustõs, ntr sss 0, qu prsntm dus qustõs d Mtmátic m posiçõs conscutivs: Considrndo M M como um únic qustão : Qustõs M M G G G Tot d possibiidds Possibiidds! Qustõs M M G G G Possibiidds! Finmnt pr s qustõs d 8, xist um tot d possibiidds difrnts. 5

6 TOTAL DE QUESTÕES DO TIPO CLASSE A: 7! 7 7! 86 RESPOSTA: Podrão sr produzids 7! 86 vrsõs distints d prov css A. c) Sndo n(u) o númro d mnirs difrnts d um uno rcbr um prov comçndo com 7 qustõs d Português: Qustão Discipin P P P P P P P M M M G G G G Possibiidds 7! 7! n(u) 7! 7!. Sndo n(a) 7! 86 o númro d provs tipo css A, probbiidd d qu um uno qu rcb um prov comçndo com 7 qustõs d Português sj vrsão css A, é: p n(a) 86 7! 86 n(u) 7! 7! RESPOSTA: A probbiidd d qu o uno rcb um vrsão css A é 5 QUESTÃO 0 ) Sndo i unidd imginári, dtrmin s prts r imginári do númro compxo z 0 i. i i b) Dtrmin um poinômio d gru, com coficints intiros, qu tnh z 0 como riz. c) Dtrmin os númros compxos w tis qu z 0. w tnh móduo igu 5 tis qu s prts r imginári d z 0. w sjm iguis. d) No pno compxo, dtrmin o númro compxo z qu é o simétrico d z 0 com rção à rt d qução y x 0. ( i) ( i) i i 0 i. i i z i i i ( i)( i) i( i) z 0 RESPOSTA: A prt r d z 0 é prt imginári é. b) Pr compor um poinômio d gru prtir d sus rízs utiiz-s rção: p( x (som ds rízs)x produto ds rízs. Sndo o poinômio d gru o poinômio pdido, tndo z 0 i como riz, trá tmbém z i como riz: 5 p( x i ix i i p( x x. 6

7 Ms o poinômio dv tr coficints intiros. Um dos infinitos poinômios d gru qu têm z 0 i z i como rízs pod sr dtrmindo ncontrndo p(: 5 p( x x x x 5 P( x x 5 RESPOSTA: P( x x 5 c) Sj o númro compxo w bi. Sndo iguis s prts r imginári d z 0. w, pod-s rprsntá-o por m mi. Como z 0. w dv tr móduo igu 5 : z0.w m mi m m m m 5 m 5 m ± 5 Então, z 0 0.w 5 5i ou z.w 5 5i i( bi) 5 5i ou b b i 5 5i i( bi) 5 5i b ou b i 5 5i b 5 b 0 b w 6 i b b 0 b 0 6 b 5 b 5 b 0 b ou w 6 i b b 0 b 0 6 b 5 RESPOSTA: w 6 i ou w 6 i. d) z 0 i z 0,. Sndo z o simétrico d z 0 m rção à rt d qução y x 0, ntão, i z, z RESPOSTA: z i 7

8 QUESTÃO 05 As rízs d qução do trciro gru x x kx 6 0 são tods ris formm um progrssão gométric. Dtrmin ) s rízs d qução; b) o vor d k. ) Sndo ss rízs d qução do trciro gru x x kx 6 0 tods ris formndo um progrssão gométric, podm sr rprsntds por: x, x x q, com q 0. q Ps is d Girrd: q 6 q. q q x 6 x x q q 0 ± 00 6 q q q 8 0 ± 6 q q q q 8 q 0q 0 q ou q x x x 8 RESPOSTA: As rízs d qução são:, 8. b) Sndo, 8 rízs d qução dd: x x x x kx 6 0 (x 8)(x )(x ) 0 (x 8)(x )(x ) x 56x 6 x RESPOSTA: k 56. x kx 6 k 56 x kx 6 QUESTÃO 06 As circunfrêncis C C stão cntrds m O O, têm rios r r, rspctivmnt, tngncim-s xtrnmnt. Um rt é tngnt C no ponto P, tngnt C no ponto P intrcpt rt O O no ponto Q. Sndo ssim, dtrmin ) o comprimnto P P ; b) ár do qudriátro O O P P ; c) ár do triânguo QO P. Trçndo O M // PP : 8

9 ) No triânguo O MO : x 5 8 RESPOSTA: P P u.c. b) O qudriátro O O P P é um trpézio d bss P O, P O tur P P, ntão su ( ) ár é: S 90 RESPOSTA: 90 u.. c) Os triânguos QP O O O M são smhnts, ntão: O M OM 9 y QP 6 O P QP y 6 A ár do triânguo QO P.é : S 96 RESPOSTA: 96u.. 9