PROVA EXTRAMUROS (ii) A Parte I (duas questões dissertativas) corresponde a 25% da pontuação total da prova.

Transcrição

1 +1/1/60+ PROVA EXTRAMUROS NOME: IDENTIDADE (OU PASSAPORTE): ASSINATURA: Instruçõs (i) O tmpo stino st prov é 5 hors. (ii) A Prt I (us qustõs issrttivs) orrspon 5% pontução totl prov. (iii) C qustão múltipl solh (Prt II) vl 5 pontos. (iv) Não s squç trnsrvr s rsposts s qustõs múltipl solh pr FOLHA DE RESPOSTAS (últim folh prov). O su nom, su inti (ou pssport) su ssintur tmém vm str prsnts n folh rsposts. (v) As qustõs múltipl solh srão orrigis por litur ópti. ATENÇÃO! Prnh os quros por omplto (não st fzr um X ) utiliz nt prt ou zul. BOA PROVA!

2 +1//59+

3 +1/3/58+ Prt I: Qustõs issrttivs Qustão 1. Sj f : [ 1, ] R ontínu. Dfin squêni funçõs f n (x) = n x+ 1 n x 1 n f(t)t, pr too x [0, 1] too n N. Mostr qu: (I) f n : [0, 1] R é um função ontínu. (II) A squêni (f n ) onvrg pr f uniformmnt m [0, 1].

4 +1/4/57+

5 +1/5/56+ Qustão. Sj G um grupo lino finito. Mostr qu: (I) S p é um primo tl qu p G, ntão G tm lmnto orm p. (II) S n G, ntão G tm sugrupo orm n. (III) S n G, ntão o númro soluçõs qução x n = 1 m G é múltiplo n.

6 +1/6/55+

7 +1/7/54+

8 +1/8/53+

9 +1/9/5+ Prt II: Qustõs múltipl solh Qustão 1 Iniqu firmção fls. S f : R R é limit, monóton ontínu, ntão f é uniformmnt ontínu m R. S f : R R é uniformmnt ontínu m R, ntão xistm 0 0 tis qu f(x) x + pr too x R. S f : R R é ontínu xistm onstnts 0 0 tis qu f(x) x + pr too x R, ntão f é uniformmnt ontínu m R. Sjm I R um intrvlo rto f : I R rivávl m I. S f é limit m I, ntão f é uniformmnt ontínu m I. Sjm K R um ompto f : K R ontínu. Então f é uniformmnt ontínu m K. Qustão Iniqu firmção fls. Sj f : [0, 1] R ifrniávl, tl qu f(x) 0 pr x (0, 1) (f(x)) = pr x [0, 1]. Então f(x) = x pr too x [0, 1]. x 0 f(t)t Sj f : [, ] R ontínu não ngtiv. Então ( ( ( f(x) os(x)x) + f(x) sn(x)x) f(x)x). Sj f : [, ] [0, + ) ontínu. S xistir lim n pr too x [0, 1]. (f(x)) n x = L R, ntão f(x) 1 Sjm > 0 f : R (0, + ) rivávl. S f(x) + f (x) 0 pr too x, ntão f(x) = 0. lim x + Sj f : (0, + ) [0, + ) ontínu tl qu é onvrgnt. f(x)x é onvrgnt. Então 0 0 (f(x)) x

10 +1/10/51+ Qustão 3 Sj ( n ) um squêni númros ris tl qu n 1 n pr too n N. Consir séri potênis ntr m 0 por iniqu firmção fls. f(x) = n x n n=0 Est séri potênis não onvrg m x = 1. O rio onvrgêni st séri é 1. Exist um função rivávl g(x) m [ 0.5, 0.5] moo qu f(x) = 1 + g(x) pr too 1 x x m [ 0.5, 0.5]. lim f (x) =. x 1 lim f (x) = L R. x 1 + Qustão 4 Consir o onjunto S toos os númros ris x [0, 1] qu têm um xpnsão iml form x = 0, n... on toos os ígitos i stão no onjunto {0,, 3, 4, 6, 7, 9}. Iniqu firmção fls. S é um onjunto fho. Há um ijção ntr S [0, 1]. S A é um rto R tl qu A S, ntão A S é não numrávl. Exist um intrvlo rto não vzio intirmnt ontio m S. S possui infinitos lmntos qu são númros rionis.

11 +1/11/50+ Qustão 5 Sj x 0, x 1, x,... um squêni onvrgnt númros ris tl qu pr too n x n+1 = x n + x n 1. Sj L o limit st squêni. Iniqu firmção fls. L { 1, 1}. S L = 1, ntão xist n 0 tl qu x n = 1 pr too n n 0. Existm λ (0, 1) C > 0 tis qu pr too n L x n Cλ n. S L = 1, ntão xist n 0 tl qu x n = 1 pr too n n 0. Existm ois vlors x 0, igmos, tis qu s squênis finis prtir x 0 = x 0 = são não-onstnts, o limit squêni omçno m é -1, o limit squêni omçno m é 1. Qustão 6 Sj V = R[t] o spço vtoril rl s funçõs polinomiis p : R R, sj D : V V o opror rivção, D(p)(t) = p (t), sj T : V V o opror finio por T (p)(t) = tp(t). Consir s sguints firmçõs: (I) D é sorjtor. (II) D é injtor. (III) T é sorjtor. (IV) T é injtor. (V) kr(d) = {p V : p(0) = 0}. (VI) Im(T ) = {p V : p(0) = 0}. Dntr s ltrntivs ixo, ssinl orrt: (I), (III) (IV) são vrirs. (II), (III) (V) são flss. (I), (V) (VI) são vrirs. (II), (V) (VI) são flss. (II), (III) (IV) são vrirs.

12 +1/1/49+ Qustão 7 Sj A um mtriz rl orm n > 1 om n utovlors istintos. Sj B I n um mtriz qu omut om A, on I n rprsnt mtriz inti orm n. Consir s sguints firmçõs: (I) B tm os msmos utovlors A. (II) Toos os utovtors A são utovtors B. (III) B tm utovlor nulo s A tm utovlor nulo. (IV) A form Jorn B é um mtriz igonl. (V) O prouto AB não é igonlizávl. Dntr s ltrntivs ixo, ssinl orrt: (I), (II) (IV) são vrirs s mis são flss. (II), (III) (V) são vrirs s mis são flss. (I) (IV) são vrirs s mis são flss. (II) (IV) são vrirs s mis são flss. (III) (V) são vrirs s mis são flss. Qustão 8 Sj V o R-spço vtoril formo por tos s squênis numéris form ( 0, 1,,... ) om i R. A ição multiplição por slr são finis trmo trmo, isto é, ( 0, 1,,... ) + ( 0, 1,,... ) := ( 0 + 0, 1 + 1, +,... ) r( 0, 1,,... ) := (r 0, r 1, r,... ) pr too r R. Dfinimos W := { ( 0, 1,,... ) V n+ = n+1 + n pr too nturl n 0 }. Sj φ := 1 (1 + 5). A sguint firmção é orrt: W é um suspço vtoril V possui imnsão finit. Os vtors v 1 := (1, φ, φ, φ 3,... ) v := ( 1, 1 φ, (1 φ), (1 φ) 3,... ) prtnm W são linrmnt inpnnts, ms não grm W. W é um suspço vtoril V possui imnsão finit. Os vtors v 1 := (1, φ, φ, φ 3,... ) v := ( 1, 1 φ, (1 φ), (1 φ) 3,... ) prtnm W onstitum um s pr W. W é um suspço vtoril V possui imnsão finit. Os vtors v 1 := (1, φ, φ, φ 3,... ) v := ( 1, 1 φ, (1 φ), (1 φ) 3,... ) não prtnm W. W é um suspço vtoril V possui imnsão infinit. W não é um suspço vtoril V.

13 +1/13/48+ Qustão 9 Sj P n o R-spço vtoril polinômios om ofiints ris gru n. Introuzimos um prouto intrno m P n trvés fórmul p, q := 1 1 p(t)q(t)t, p, q P n. Sj T : P n P n o opror linr finio por T (p)(t) := ( (1 t )p (t) ) pr p Pn sj r j (t) := j t j (1 t ) j, j = 0, 1,..., n. O polinômio r j (t) stisfz qução ifrnil (1 t )r j (t) tr j (t) + j(j + 1)r j = 0 pr j = 0, 1,..., n. Consir s sguints firmçõs: (I) O opror T é uto-junto. (II) Pr i j, r i, r j = 0. (III) r 0,..., r n formm um s pr P n. (IV) O omplmnto ortogonl P k 1 m P k é gro por r k pr k = 1,,..., n. Pomos firmr qu (I) (III) são orrts ms (II) (IV) são inorrts. (I) (II) são orrts ms (III) (IV) são inorrts. (II) (III) são orrts ms (I) (IV) são inorrts. (I) (IV) são orrts ms (II) (III) são inorrts. Tos s ltrntivs são orrts. Qustão 10 Um squêni xt spços vtoriis V i imnsão finit 0 T0 T V 1 T 1 T V 3 T V3 4 V4 0 é um squêni trnsformçõs linrs T i tis qu kr T i+1 = im T i pr i = 0, 1,, 3 (notmos por 0 o spço vtoril nulo). S n squêni xt im im V i = i, ntão é smpr vr qu 1 = = = =

14 +1/14/47+ Qustão 11 Consir os sguint iis Z[X]: I = X, J = 7, X +1 K = X 3, 5. Assinl ltrntiv orrt. I K são mximis J não é primo. K é primo, ms I J não são primos. I é primo, K é mximl J não é primo. Nnhum os iis é mximl. Toos os iis são primos. Qustão 1 Sj S n o grupo simétrio m n ltrs. Assinl ltrntiv inorrt. Too σ S n o por um ilo tmnho ímpr é um prmutção pr. Sj σ S n um ilo tmnho k. S k m são oprimos, ntão σ m é um ilo tmnho k. Quisqur ois ilos o msmo tmnho m S n são onjugos. O grupo utomorfismos A n não tm sugrupo isomorfo à S n. Pr n 5, A n é o únio sugrupo norml não trivil S n. Qustão 13 Sj D n o grupo irl orm n, on n 3. Assinl ltrntiv inorrt. Exist um monomorfismo D n m S n. S n é pr, ntão Z/ Z/ é isomorfo um sugrupo D n. D n tm um sugrupo norml orm. D n tm um sugrupo norml orm n. D n é gro por ois lmntos orm.

15 +1/15/46+ Qustão 14 Sj G um grupo onsir s sguint firmçõs: (I) S H G K G, ntão HK G. (II) S S é suonjunto G, ntão C G (S) = C G (C G (C G (S))). ntrlizor X m G. Aqui C G (X) rprsnt o (III) S M é sugrupo mximl G, ntão Z(G) M ou M G. (IV) Aut(G G) Aut(G) Aut(G). (V) S H, K G, ntão G/(H K) é isomorfo um sugrupo G/H G/K. Assinl ltrntiv on toos os itns são vriros. (I), (II), (V). (II), (III), (V). (I), (II), (III). (II), (III), (IV). (III), (IV), (V). Qustão 15 Assinl ltrntiv inorrt. S K = Z 11, ntão o grupo multiplitivo K é ílio tm 4 sugrupos. Exist um nl A pr o qul o polinômio p(x) = x 3 x A[x] tm plo mnos 4 istints rízs m A. O polinômio p(x) = x 4 + 4x 3 + 1x 10x é irrutívl m Q[x]. S K = F 13 é o orpo finito 13 lmntos, ntão xist p(x) K[x] gru 3 pr o qul #{p(α) : α F 13 } < 5. S A[x] é omínio iis prinipis, ntão A é um orpo.

16 +1/16/45+

17 +1/17/44+ PROVA EXTRAMUROS FOLHA DE RESPOSTAS NOME: IDENTIDADE (OU PASSAPORTE): ASSINATURA: As rsposts s qustõs múltipl solh vm sr mrs NESTA folh. Rsposts no rno qustõs NÃO srão onsirs! Qustão 1: Qustão : Qustão 3: Qustão 4: Qustão 5: Qustão 6: Qustão 7: Qustão 8: Qustão 9: Qustão 10: Qustão 11: Qustão 1: Qustão 13: Qustão 14: Qustão 15: