Solução: log. 04. Se Z C, então z. 3 z. Solução: Se z C, então z 3 z z z z é igual a: Sabemos que: Portanto

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1 Qustõs Objtivs. Ds firmçõs: I., y R \ Q, com y, ntão + y R \ Q; II. Q y R \ Q, ntão y R \ Q; III. jm, b, c R, com < b < c. f: [, c] [, b] é sobrjtor, ntão f não é injtor, é (são) vrddir(s) n log log n (n ) n / n / log (n log n n n(n ) n ) ) pns I II pns I III pns II III d) pns III ) nnhum I. (FL) contr-mplo y ms y Q II. (FL) st tomr =, y R \ Q, y III. (FL) onsidr o sgmnto ligndo (, ) (c,, l rprsnt um bijção. LTERNTIV: E. onsidr s funçõs f, g: Z R, f() = + m, g() = b + n, m qu, b, m n são constnts ris. são imgns d f d g, rspctivmnt, ntão, ds firmçõs bio: I. =, ntão = b m = n; II. = Z, ntão = ; III., b, m, n Z, com = b m = n, ntão =, é (são) vrddir(s) ) pns I pns II pns III d) pns I II ) nnhum I. (Fls) contr mplo = b = m = n = Nss cso é fácil vr qu = = Z II. (Fls) contr mplo onsidr = - m =, nss cso é fácil vr qu = Z III. (Fls) contr mplo = b = m = -n = Nss cso = { + Z} consist dos intiros qu dim rsto n divisão por = {b b Z} = { (b - ) + b Z} consist dos intiros qu dim rsto n divisão por, logo 7 ( ) 7 7 LTERNTIV: D. Z, ntão z ) z z z z z z d) z z ) z z z z z z z z é igul : z, ntão z z z z z é igul : bmos qu: z z z; z Portnto z (z z) z z ubstituindo z z z m z z z z z tmos qu: z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z LTERNTIV: LTERNTIV: E. som ) 7 d) n log log n / / n é igul. jm,. Ds firmçõs: I. z w z w z w ; II. z w z w zw ; III. z w z w R zw ; É (são) vrddir(s) ) pns I pns I II pns I III d) pns II III ) tods ) GGE REPONDE IT MTEMÁTI OMPNHE REOLUÇÃO D QUETÕE NO ITE:

2 z, w c I) z + w + z w = ( z + w ) Tmos qu: z w (z w) (z w) (z w)(z w) z z z w z w w Isto é: z w z z w w z w z w (z w) (z w) (z w) (z w) z z z w w z w w z w z z w w z w z w z z w w z w Dst mod o; z,w c z w z w ( z w ); z,w c firmção I é vrddir. II) (z w) (z w) zw Tmos qu : (z w) (z w) z z w w (z zw w ) (z w) (z w) zw zw (z w) (z w) zw Portnto firmção II é vrddir z w z w zw wz z w z w (zw wz) Por outro ldo, s z bi c w c di c ssim zw ( bi) (c di) c di bci bdi (c bd) (bc d)i zw ( bi) (c di) c di bci bdi (c bd) (d bi Por tn to zw zw (c bd) R (zw) Dst mod o : z bi w z w z w R( zw) Por tn to firmção III é vrddir. iii) z w z w z zw wz w z zw zw w c di p() = R [] s rízs d p() = constitum um progrssão ritmétic d rzão qundo (,, ) é igul : jm (,,,, ) rízs d p() =, com (,,,, ) Um P.. d rzão. Portnto squênci,,,, ),,,,. ( Pl rlçõs d girrd, tmos Por tn to ( ) ( ) Dst mod o, qu : squênci é dd por : ( ) (,,,,) Plo torm d dcomposição podmos scrvr p() d sguint mnir: p() ( ) ( ) Logo p() ( ) p() p() Logo,, ) (,, LTERNTIV: LTERNTIV: E. onsidr os polinômios R d form p() = s rízs d p() = constitum um progrssão ritmétic d rzão qundo (,, ) é igul ),, d),,,, ),,,, 7. Pr os intiros positivos k n, k n, sb-s qu n n n. k k k n n Então, o vlor d ) n + n + + n n... é igul n n GGE REPONDE IT MTEMÁTI OMPNHE REOLUÇÃO D QUETÕE NO ITE: d) n n n n n ) n

3 n n n n n n k k k n k k k n n n k k n n n k k n n LTERNTIV: D. onsidr s sguints firmçõs sobr s mtrizs qudrds d ordm n, com invrsívl ntissimétric: I. o produto for invrsívl, ntão n é pr; II. o produto não for invrsívl, ntão n é ímpr; III. for invrsivl, ntão n é pr. Dsts firmçõs, é (são) vrddir(s) ) pns I pns I II pns I III d) pns II III ) tods Em primiro lugr not qu s é ntissimétric, ntão t = - dt ( t ) = dt(-) dt() = (-) n dt() Portnto, s n é ímpr, ntão dt() = não é invrsívl Dí (III) é vrddir. Not tmbém qu s é invrsívl, ntão M = é invrsívl s, somnt s, M é invrsívl Pois dt(m) = dt() dt(). Dí (I) é vrddir (II) (Fls) contr mplo j = I invrsívl = ntissimétric Então = não é invrsívl Ms n = é pr n n LTERNTIV:. jm y y y mtrizs ris tis qu z z o produto é um mtriz ntissimétric. Ds firmçõs bio: I. é ntissimétric; II. não é invrsívl; III. O sistm () X =, com X t = { }, dmit infinits soluçõs, é (são) vrddir(s) ) pns I II pns II III pns I d) pns II ) pns III y z y y y z y z y y z y z y z y z z é ntissimétric digonl principl é igul zro = - y + + z = y = Z = = y + z = = + y + z + = + y + = y ssim Rsolvndo y y dt = () - omo dt () = () X = dmit infinits soluçõs I F II V III V LTERNTIV:. j M um mtriz qudrd d ordm, invrsívl, qu stisfz iguldd dt (M) dt ( M ) dt (M). Então, um vlor possívl pr o dtrminnt d invrs d M é ) d) ) dt(m ) ( ) dt (M ) dt (M) (dt M) (dt M) dt M dt M X GGE REPONDE IT MTEMÁTI OMPNHE REOLUÇÃO D QUETÕE NO ITE:

4 ( ) ( )( ) dt M ou dt M ou dt M dt M dt M dt M ou dt M LTERNTIV:. onsidr qução (t)x = (t), t R, m qu t t t (t), X y (t). bndo qu dt z (t) = t, os vlors d, y z são, rspctivmnt, ),,,,,, d),, ),, dt (t) dt (t) t t t t t t t t t t t t ( ) t t t t t t LTERNTIV:. onsidr o polinômio complo p(z) = z + z + z iz, m qu é um constnt compl. bndo qu i é um ds rízs d p(z) =, s outrs trêz rízs são ) -i, -,. i, i,. i, i, -. d) -i, -,. ) -i, -i, i. p (z) = z + z + z iz om = i omo i é riz, ntão p(i) = (i) + (i) + (i) - i(i) - = i + = - i = i = - = i = i Dividindo p(z) por z i Tmos I -i - i i - -i q(z) z iz z i z (z i) (z i) (z )(z i) ujs rízs são, -, -i z y y z t w w w w w w w (w )(w ) w ou w t t ou (não convém,pois t ) ssim, substituindo n y z qução (t) (t) LTERNTIV: b b. bndo qu sn, pr cossc tg é b ) b b b d) ) b b b b b b b, um possívl vlor GGE REPONDE IT MTEMÁTI OMPNHE REOLUÇÃO D QUETÕE NO ITE:

5 bndo qu: b sn b,, b Um possívl vlor pr cos sc tg é: ) d) ( ) ) Rs: j cos sc sn cos cos cos tg sn sn sn sn sn sn cos sn cos omo ˆ D D D h E D Ĉ : Ms sn + cos = R Logo sn = cos D : ( ) Dst modo cos cos cos sn sn cot g h ( ) h Por Pitágors no triângulo E tmos: h ( ) cm Por outro ldo cot g cos sc K; K Z omo b sn, b b Tmos qu b cos sc b ; ( b ) b b cos s sc b b ( b ) ( b ) cot g cot g b b b b b ( b ) cot g b b b cot g b Um possívl vlor pr cos sc tg cot cos sc tg LTERNTIV: E g ( b ) b b b. onsidr o triângulo rtângulo m. jm E D ltur mdin rltiv à hipotnus, rspctivmnt. mdid d E é ( ) cm mdid d D é cm, ntão md, m cm, LTERNTIV:. j um triângulo d vértics = (,), = (,) = (,). O rio d circunfrênci circunscrit o triângulo md, m unidds d comprimnto, ) d) ) (,) m m (,) (,) PtoMédio,, GGE REPONDE IT MTEMÁTI OMPNHE REOLUÇÃO D QUETÕE NO ITE:

6 rt y rt y ( ) ( ) 7 7 y 7, álculo do rio: O 7 7 mdin M qu é o msmo vlor d outr mdin cos cos I V II F III F LTERNTIV: 7 M 7. onsidr o trpézio D d bss D. jm M N os pontos médios ds digonis D, rspctivmnt. Então, s tm comprimnto D tm comprimnto y <, o comprimnto d MN é igul 7 LTERNTIV D. Em um triângulo isóscls, cuj ár md cm, rzão ntr s mdids d ltur P d bs é igul. Ds firmçõs bio: I. s mdins rltivs os ldos mdm 7 cm; II. O bricntro dist cm do vértic ; III. é o ângulo formdo pl bs com mdin M, rltiv o ldo, ntão cos, é (são) vrddir(s) 7 ) pns I. pns II. pns III. d) pns I III. ) pns II III. h h ) - y ( y) ( y) d) ( y) ) ( y) D y m n z LTERNTIV: Mdin d Eulr y Z z P h h h. Um Pirâmid d ltur h = cm volum V = cm tm como bs um polígono convo d n ldos. prtir d um dos vértics do polígono trçm-s n digonis qu o dcompõm cm = cm. Então n é igul N P X M P o bricntro dst d. 7 ) d) ) n GGE REPONDE IT MTEMÁTI OMPNHE REOLUÇÃO D QUETÕE NO ITE:

7 h Volum cm cm y ( n) (n ) r r y y r n (n )r n (n ) (n ) (n )(n ) (n )(n ) bst n LTERNTIV:. qução do circuito loclizdo no º qudrnt qu tm ár igul (unidds d ár) é tngnt, simultnmnt, às rts r : y + = s : + y = é ) y y y d) y ) y R R lculndo s bisstrizs: y y ² (n ) ² y y y y n (n ) ou y y y y y y Pr str compltmnt no º qudrnt implic qu o cntro do círculo stj sobr rt y y bndo qu o rio do círculo é, tmos: y ² ( )² Logo qução do círculo é dd por: y LTERNTIV D. onsidr o sólido d rvolução obtido pl rotção d um triângulo isóscls m torno d um rt prll à bs qu dist, cm do vértic,7 cm d bs. o ldo md ) 7 d) ) cm, o volum dss sólido, m cm, é igul qustão stá ml formuld um vz qu há dus possibilidds pr posição do io.,7 ITUÇÃO, GGE REPONDE IT MTEMÁTI 7 OMPNHE REOLUÇÃO D QUETÕE NO ITE: 7

8 ITUÇÃO, s qustõs dissrttivs, numrds d, dvm sr dsnvolvids, justificds rspondids no cdrno d soluçõs. tnt pr os lgrismos significtivos.. onsidr s funçõs f : R R, f() =, m qu é um constnt rl positiv, g : [, [ R, g() =. Dtrmin o conjunto-solução d inqução (g f) () > (f g) (),7 f :R R, f() g : [, [ R, g() g f() (f g)() g(f()) f(g()) ITUÇÃO,,,7,,. Dtrmin s soluçõs ris d qução m, log (log ) log ( ). log Obsrv qu: V d log log log log ² log ² log log log log log log,,, Portnto, log log log log log mudnç d bs LTERNTIV 7 V 7 V 7 Entrtnto, dv sr considrd outr situção: ² V V ² V ² ² ² ² ² ² 7 ² V Portnto qustão dv sr nuld ssim log log log Dst modo, qução log log log log Pod sr scrit d sguint mnir. log log log log log log log 7log Tomndo t log, tmos t³-7t-= Obsrv qu t=- é riz d t³-7t-= Logo (t³-7t-)=(t+)(t²-t-)=(t+)(t-)(t+) Dst modo t=-, t= t=- são s rízs d t³-7t-= GGE REPONDE IT MTEMÁTI OMPNHE REOLUÇÃO D QUETÕE NO ITE:

9 Pr t=-; tmos t log Pr t=+; tmos t log Pr t=-; tmos,, t log é o conjunto solução.. ) Dtrmin o vlor máimo d z + i, sbndo qu z - =, z. z stisfz (), dtrmin z. m { z + i } = M z : z = é um círculo do cntro rio. y z O T é o ponto d tngênci, zo rg z O tg rc tg tg omo tg sc Tmos sc cos ssim sn sn. z O i Dí z O ( i). j o spço mostrl qu rprsnt todos os rsultdos possívis do lnçmnto simultâno d três ddos. é o vnto pr o qul som dos rsultdos dos três ddos é igul o vnto cuj som dos rsultdos é igul, clcul: ) n(); n() n(); P() P(). z, ntão z + i qu é um trnslção n dirção vrticl sntido progrssivo. ) n() = = n () + + = i i i + = i + + = i Prmutção c/ rptição O módulo máimo d z s drá no ponto d tngênci d com um círculo D d cntro O, tngncindo d modo qu tngnci intrnmnt D.!!! 7 csos ond i Logo n() = n() y + y + y = y i y i' + = y y + y + y = 7 y i plicndo o torm d Pitágors no O I O Tmos (R ) = + = R R ssim, D : z Prmutção c/ rptição! 7 7!! csos ond yi Logo n() = 7 Portnto o máimo é M GGE REPONDE IT MTEMÁTI OMPNHE REOLUÇÃO D QUETÕE NO ITE:

10 P() P() 7. Dtrmin quntos prllpípdos rtângulos difrnts podm sr construídos d tl mnir qu mdid d cd um d sus rsts sj um númro intiro positivo qu não cd. Todos difrnts:! iguis difrnt: = iguis: Totl: (, b,. onsidr o sistm linr ns incógnits, y z y z (sn) y z, [, ]. ( cos ) y z ) Dtrmin tl qu o sistm tnh infinits soluçõs. Pr ncontrdo m (), dtrmin o conjunto-solução do sistm. y z ) (sn)y z ; [, ] ( cos ) y z o sistm linr é homogêno, form mtricil do sistm é dd por: s dt sn cos, Dst modo sn + cos + = cos omo sn ; R o sistm linr homogêno srá.p.i ssim sn + cos + = pod sr scrit d sguint mnir: sn + ( sn ) + = - sn + sn + = ; dividido pr - sn + sn + = sn + sn - = sn sn ( rízs) sn ssim sn = -, como [,] pr rd o sistm linr homogêno possui infinits soluçõs pr rd o sistm é ddo d sguint mnir y z y z y z Escrvndo mtriz complt sclonndo o sistm: y z ~ z ~ ~ sn cos y z +y = = - ; = t y = -t z = Portnto o dtrminnt d mtriz dt sn cos é ddo por: ssim dt sn sn cos sn cos cos dt sn cos sn cos sn ( cos) sn ( cos) sn cos = {(t, -t, ) / t R} 7. Dtrmin o conjunto d todos os vlors d [, ] qu stisfzm, simultnmnt, sn sn tg ( cot g)cot g. cos ) sn sn cos sn sn º cso : cos ou sn sn º cso : cos GGE REPONDE IT MTEMÁTI OMPNHE REOLUÇÃO D QUETÕE NO ITE:

11 Rsolvndo o º cso sn sn cos sn sn cos nlisndo < tg < tg olução Vzi. Rsolvndo o º cso sn sn cos sn + sn > sn sn cos 7 7,,,,, cos <,, (,) Portnto (,) tg tg,, tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg Pr, tg tg tg tg tg tmos qu : tg ; Por tn to pr inqução quocint cim, tmos tg tg tg tg qu : Portnto,,, É o conjunto solução do sistm d inquçõs dds.. is sfrs do msmo rio R são colocds sobr um suprfíci horizontl d tl form qu sus cntros dfinm os vértics d um hágono rgulr d rst R. obr sts sfrs é colocd um sétim sfr d rio R qu tngnci tods s dmis. Dtrmin distânci do cntro d sétim sfr à suprfíci horizontl. Inicilmnt s sfrs stvm disposts como n figur bio Obsrv qu o ldo do hágono md R. Logo, su mior digonl md R. pós colocção d sétim sfr tmos o sguint cort trnsvrsl. nlisndo tg R R GGE REPONDE IT MTEMÁTI OMPNHE REOLUÇÃO D QUETÕE NO ITE:

12 Os círculos mnors rprsntdos são dimtrlmnt opostos, d modo qu distnci ntr sus cntros é R R Not qu ss sólido consist d dus sfrs, d rio unids, tngncilmnt um toro, grdo pr rvolução d sfr d rio. O volum ds sfrs é Vsf R R O volum do toro pod sr obtido plo torm d Pppus, V = sd s = d é ltur do triângulo rltiv o ldo, plicndo o torm d Pitágors tmos = R ssim, distnci do cntro d sfr à suprfíci é d R d d V T V T. Três circunfrêncis, são tngnts ntr si, dus dus, trnmnt. Os rios r, r r dsts circunfrêncis constitum, nst ordm, um progrssão gométric d rzão. som dos comprimntos d, é igul cm. Dtrmin: ) ár do triângulo cujos vértics são os cntros d,. o volum do sólido d rvolução obtido pl rotção do triângulo m torno d rt qu contém o mior ldo.. Um cilindro rto d ltur h = cm tm su bs no plno y dfinid por y y. Um plno, contndo rt y = prllo o io do cilindro, o sccion m dois sólidos. lcul ár totl d suprfíci do mnor sólido. ² y² y ( )² (y )² r r r r r r (,) M j r = r, r = r, r = r =y Os comprimntos são r, r, r cuj som é = r r = dist (,) p/ rt =y ) ár do triângulo d ldos,, srá clculd pl fórmul d Hicron. p p (p ) (p (p O sólido pdido pod sr obtido pl rvolução d figur bio ( ) ² ² GGE REPONDE IT MTEMÁTI OMPNHE REOLUÇÃO D QUETÕE NO ITE:

13 GGE REPONDE IT MTEMÁTI OMPNHE REOLUÇÃO D QUETÕE NO ITE: h ² R² R R R R R