3 Freqüências Naturais e Modos de Vibração

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1 3 Frqüêncis Nturis Modos d Vibrção Aprsnt-s nst cpítulo ddução ds quçõs difrnciis prciis d movimnto com s rspctivs condiçõs d contorno prtir do funcionl d nrgi.3. Tm-s ssim um problm d vlor d contorno cuj solução nlític fornc um fmíli d utovlors utovtors qu são, rspctivmnt, s frqüêncis nturis modos d vibrção. Um outr mnir d obtrm-s s frqüêncis modos d vibrção é tmbém prsntd prtir d utilizção do método proximdo d Ryligh-Ritz, d plicção simpls rsultdos stisftórios. 3.. Solução Anlític do Problm d Autovlor A xprssão.3 obtid pr função d Lgrng é utilizd nss sção pr obtnção ds quçõs difrnciis d movimnto rfrnts os trchos ntrrdo dsntrrdo d um colun com poios d xtrmidd quisqur A xprssão pr função d Lgrng é d form: t t L L,,,,,, t dxdt 3. g x xx Objtiv-s ncontrr um função x,t, pr os dslocmntos trnsvrsis, ntrtnto, s frrmnts do cálculo vricionl não forncm st função dirtmnt, ms sim qução difrncil qu função dv stisfzr. Aplicndo-s s frrmnts d cálculo vricionl o princípio d Hmilton, obtém-s: t dlg '' L ' g Lg '' dx t L d d d L. g g g ' g " t L L L dxdt dt dx dx L 3.

2 3 ond s dnomin dlg dlg dlg Lg ; L g ; L ' g 3.3 " d d' d" omo pod sr visto, o trmo ntr colchts n intgrl contém qução d Eulr-Lgrng do sistm, ou sj, su qução d movimnto. O trmo ntr colchts for d intgrl rfr-s às possívis condiçõs d contorno. Pr dtrminção ds frqüêncis nturis, pod-s scrvr qu o dslocmnto trnsvrsl d colun é ddo, usndo sprção d vriávis, por: it x, t x c t x 3. ond é frqüênci nturl d colun. Substituindo-s 3. n qução d movimnto, obtém-s um qução difrncil linr d qurt ordm m x pr um colun totlmnt ntrrd submtid um crg xil P. Logo, scrvndo pr cd trcho d colun, su rspctiv qução difrncil d qurt ordm, têm-s s quçõs: olun dsntrrd: x x olun ntrrd: P EI x A x EI x 3.5 x P x A k x x 3.6 x EI x EI EI ond os índics s rfrm cd um ds coluns. N Figur 3., bixo, são vistos os trchos dsntrrdo ntrrdo qu constitum um colun prcilmnt ntrrd bipoid. L H Figur 3. - Trchos dsntrrdo ntrrdo d colun prcilmnt ntrrd.

3 33 Buscndo fcilitr o dsnvolvimnto do problm um mior ficiênci n nális prmétric, srá fit um mudnç d vriávis d form tornr o problm dimnsionl. O primiro psso é ltrção d vriávl x: x L 3.7 ond x, L são rspctivmnt o vlor d coordnd longitudinl, o comprimnto d colun o novo prâmtro dimnsionl d coordnd xil. O dslocmnto dquir sguint form: L 3.8 ond L é o comprimnto é nov vriávl pr os dflxõs ltris d colun. D msm form form introduzidos os sguints prâmtros dimnsionis: PL A L kl 3.9 EI EI EI ond,, são rspctivmnt o prâmtro d crg, o prâmtro d frqüênci o prâmtro d rigidz d bs lástic. Um qução difrncil linr d qurt ordm coficints constnts possui como solução grl sguint xprssão: i x i x c 3. ond c é um constnt i é riz d qução crctrístic obtid qundo s substitui solução 3. n qução difrncil. Substituindo os prâmtros dimnsionis 3.9 n qução 3.5 obtém-s pr colun dsntrrd sguint qução difrncil: 3. A qução crctrístic pr st trcho é: 3. Logo, rsolvndo qução 3., tm-s um pr d rízs ris um pr d rízs imgináris, sbr:, 3.3

4 3 i, 3 A prtir ds rízs do polinômio crctrístico tm-s sguint fmíli d soluçõs: / / / / 3 3. ou, tmbém, m trmos d funçõs trigonométrics hiprbólics: cosh 3 cos snh sn 3.5 Pr colun ntrrd qução difrncil dimnsionl tm sguint form: 3.6 O polinômio crctrístico obtido tm sguint form: 3.7 o qul tm rízs iguis à, i, Assim solução grl d qução difrncil pod sr scrit como: / / / / Pr o trcho ntrrdo, nális ds rízs do polinômio mostr qu o trmo pod sr tnto positivo qunto ngtivo, dpndndo dos vlors dos divrsos prâmtros. Assim, no domínio rl, solução 3.9 pod ssumir divrss forms.

5 35 Qundo 3. o vlor d riz qudrd qu contém,, n nális prmétric, produzirá vlors supriors o trmo d for dst riz, fzndo com qu s tnh dus rízs ris dus imgináris, tl como no cso do trcho dsntrrdo. Tm-s, portnto, solução: 8cosh 7 6cos 5 snh sn 3. Entrtnto qundo: 3. s qutro rízs m 3.8 s tornm imgináris. Nst cso tm-s solução 8cos 7 6cos 5 sn sn 3.3 Pr situção limit m qu = /, tm-s sguint qução crctrístic: 3. As rízs d qução 3. são:,, 3 i 3.5 qu forncm solução, 8 7x x 6sn x 5cos 3.6

6 36 Qundo tm-s solução x sn x / 7 8 x cos x / 3.8 A scolh d form d solução dpnd, portnto, dos vlors d dotdos m cd xmplo. Isto é fito nlisndo-s s rízs do polinômio crctrístico pr cd situção. omo pod sr visto, tm-s n solução grl ds quçõs oito constnts qu dvm sr dtrminds pls condiçõs d contorno, obtids prtir dos trmos d contorno d qução 3.6, d continuidd do problm. As condiçõs d contorno rfrm-s os poios d xtrmidd, sndo qu cd poio fornc dus condiçõs d contorno homogêns, sj m trmos d dslocmnto, momnto, forç cortnt ou rotção, como pod sr visto n Figur 3.. As condiçõs d continuidd rfrm-s um ponto intrmdiário n colun qu un é comum às dus sub-coluns. Nst ponto, dnomindo P n Figur 3.3, os dslocmntos trnsvrsis, rotção, o cortnt o momnto prsntm os msmos vlors pr cd sub-colun, ou sj, m = h dv-s impor qu:,,, 3.9,,,,,, Logo, prtir ds condiçõs d continuidd, tm-s mis qutro quçõs homogêns qu compltm, juntmnt com s qutro condiçõs d contorno, um sistm d oito quçõs homogêns.

7 Figur 3. - ondiçõs d contorno homogêns d colun. 37

8 38 P h Figur Ponto d continuidd P. Dfinids s quçõs drivds d plicção ds condiçõs d contorno d continuidd, é possívl montr um sistm n form: y Ac 3.3 ond A é mtriz dos coficints c é o vtor ds constnts. Escrvndo st sistm n form mtricil pr stc prcilmnt ntrrd, tm-s: c c c c c c c c ond mtriz A tm dimnsão 8x8 dvido s qutro condiçõs d contorno qutro d continuidd. O sistm homogêno 3.3 só prsnt um solução não trivil s o dtrminnt d mtriz A for igul zro. A qução obtid prtir do dtrminnt d mtriz A, chmd d qução crctrístic, trá como incógnits s frqüêncis nturis qu são os utovlors d mtriz. Os utovtors são dtrmindos mnos d um constnt multiplictiv rbitrári. Ao s substituir o utovtor ns soluçõs ds quçõs

9 39 difrnciis obtém-s s utofunçõs qu são os modos d vibrção d colun. Ests utofunçõs form normlizds d tl form qu mplitud máxim d cd modo é smpr unitári. Até st prt d ts, trtou-s pns d colun smi-ntrrd, ms pr s fzr comprção dos rsultdos ntr s difrnts lturs h d fundção torn-s imprscindívl o studo ds situçõs m qu h = h =, qu rprsntm rspctivmnt colun sm bs lástic colun totlmnt ntrrd. Pr sts csos, dvm-s impor pns s condiçõs d contorno ns xtrmidds d colun, rduzindo o sistm 3.3 um sistm d qutro quçõs com qutro incógnits. O dtrminnt d A é um função ltmnt não-linr do prâmtro d frqüênci. Além disto, m virtud d prsnç d funçõs xponnciis hiprbólics, o dtrminnt tm um vrição bstnt cntud, prsntndo um grnd snsibilidd numéric. Pr s frirm os rsultdos do progrm dsnvolvido m MAPLE, optou-s por s clculr tmbém os utovlors utovtors por um método proximdo, no cso, o método d Ryligh-Ritz. 3.. Solução Aproximd d Ryligh-Ritz onsidrdo como um método proximdo pr dtrminção d crgs crítics tmbém ds frqüêncis nturis, st método prsnt-s como um bo frrmnt d nális linr, qundo s tm sistms qu prsntm condiçõs d contorno xprssõs pr obtnção ds dflxõs muito complxs. O método consist n substituição, no funcionl d nrgi, d um função d proximção, f n, pr dflxão d colun, usulmnt n form d séris f n n j j j 3.3 ond j são constnts qu multiplicm s funçõs j n é o númro d coordnds ncssáris pr dscrição do cmpo d dslocmntos com prcisão ncssári. Em grl são scolhids funçõs trigonométrics ou

10 polinomiis. so s funçõs tndm tmbém s condiçõs d contorno nturis, convrgênci s torn mis rápid. Após substituição d 3.3 no funcionl d nrgi.7 d intgrção d xprssão rsultnt, obtém-s um xprssão m trmos ds constnts j qu pssm sr s únics incógnits do problm. As constnts j são dtrminds utilizndo-s o princípio d Hmilton qução.3 qu dfin o funcionl d nrgi. Obtém-s, portnto, n quçõs d quilíbrio ncontrds prtir d qução 3.33: L g j j =, n 3.33 om isto, chg-s um sistm d n quçõs com s mplituds j como incógnits. Mis um vz, tm-s um problm d utovlor, ond novmnt s frqüêncis nturis srão os utovlors.

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