VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS. Vamos agora estudar algumas variáveis aleatórias contínuas e respectivas propriedades, nomeadamente:

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1 86 VARIÁVIS ALATÓRIAS CONTÍNUAS Vmos gor studr lgums vriávis ltóris contínus rspctivs propridds, nomdmnt: uniform ponncil norml qui-qudrdo t-studnt F DISTRIBUIÇÃO UNIFORM Considr-s qu função dnsidd d proilidd d um v.. contínu, é constnt num ddo intrvlo limitdo [, ] nul for dss intrvlo. Nsts condiçõs, proilidd d tomr vlors num ddo su-intrvlo d [, ] é msm pr su-intrvlos d igul mplitud. Diz-s qu v.. contínu tm distriuição uniform no intrvlo [, ], scrv-s: ~ U(,) s su função dnsidd d proilidd for dd por: f ( ) outros vlors

2 Os prâmtros qu crctrizm st distriuição são stisfzm < < < +. A função d distriuição d, F ( ), é dd por: 87 F ( ) f ( u ) du ( )/ ( ) u < > Grficmnt tmos ntão qu: O vlor sprdo vriânci pr st v.. são fcilmnt otidos prtir d dfinição são ddos por: ( ) f ( ) d d... + ( ) f ( ) d d ( ) Vr [ ] ( ) ( ) ( ) ( )

3 Rltivmnt à função grdor d momntos tmos qu: 88 G t t ( t ) ( ) f ( ) d ( ) t d t t ( ) t (t ) G ( ) DISTRIBUIÇÃO PONNCIAL A distriuição ponncil stá intimmnt rlciond com distriuição d Poisson. fctivmnt, dmitindo qu λ é o prâmtro d distriuição d Poisson qu dscrv o númro d ocorrêncis por unidd d tmpo (ou d distânci), vriávl tmpo (ou distânci) ntr ocorrêncis sucssivs sgu um distriuição ponncil com prâmtro λ. Diz-s qu v.. contínu tm distriuição ponncil scrv-s: ~ (λ) s su função dnsidd d proilidd for dd por: f ( ) λ λ < O prâmtro qu crctriz st distriuição é λ (λ>).

4 89 A função d distriuição d, F ( ), é dd por: F ( ) f ( u ) u du λ < O vlor sprdo vriânci pr st v.. são fcilmnt otidos prtir d dfinição são ddos por: ( ) f ( ) d λ λ d... λ ( ) f ( ) d Vr λ λ d... λ ( ) ( ) ( ) [ ] λ Rltivmnt à função grdor d momntos tmos qu: G t t ( ) ( ) ( ) λ ( λ t t f d ) d λ λ ( λ t ) t λ λ t, t < λ

5 A distriuição ponncil prsnt um propridd prticulr qu é d não possuir mmóri, isto é, ddos s,t>, quisqur: 9 P ( > s + t > s ) P ( > s + t ) P( > s ) λ ( s + t ) λ s λ t ( t ) P > DISTRIBUIÇÃO NORMAL A distriuição norml (ou distriuição d Guss) é qu s utiliz mis frquntmnt pr dscrvr fnómnos qu s trduzm por vriávis ltóris contínus. A rzão pr st fcto, prnd-s com o nuncido do torm do limit cntrl, como vrmos mis dint. A distriuição norml dsmpnh tmém um ppl muito importnt n infrênci sttístic. Diz-s qu v.. contínu tm distriuição norml scrv-s: ~ N(µ, ) s su função dnsidd d proilidd for dd por: f ( ) µ π, < < + Os prâmtros qu crctrizm st distriuição são µ stisfzm: < < + >.

6 9 Pod dmonstrr-s qu: ( ) f é um função dnsidd d proilidd, isto é: f ( ) d (dmonstrção...) A função dnsidd d proilidd d um v.. ~N(µ, ) tm form d sino, é simétric m rlção o io µ (ponto d máimo) tm pontos d inflão m µ ±. A função dnsidd d proilidd gnéric d distriuição norml rprsnt um fmíli d distriuiçõs m qu cd lmnto spcífico dss fmíli é rprsntdo por dtrmindos vlors dos prâmtros µ. Nst cso tmos distriuiçõs normis com msm médi µ difrnts vlors do dsvio pdrão ( > > 3 ).

7 9 N figur cim tmos distriuiçõs normis com o msmo dsvio pdrão, ms com médis difrnts (µ >µ >µ 3 ). Nst último cso s distriuiçõs têm difrnts vlors pr médi (µ >µ >µ 3 ) pr o dsvio pdrão ( > > 3 ). A função d distriuição ( ) f ( u ) F du não é intgrávl nliticmnt, só podndo sr clculd por procssos numéricos.

8 O vlor sprdo vriânci pr st v.. podm sr otidos prtir d dfinição são ddos por: π ( ) d µ fzndo z ( - µ)/ tmos qu d dz sustituindo no intgrl ntrior vm qu: π z ( ) ( z + µ ) dz 93 π z z dz + µ dz π z O primiro intgrl é nulo pois o intgrndo é um função ímpr. O sgundo intgrl ssinldo é igul à unidd porqu rprsnt ár totl so fdp d um v.. norml com vlor médio nulo dsvio pdrão unitário. ntão podmos concluir qu: ( ) µ Sguindo um procdimnto nálogo tmos gor: ( ) d π µ

9 94 z dz π z + µ dz π z + + µ z dz π z + µ Vr [ ] ( ) ( ) ( ) Consttmos ssim qu os dois prâmtros qu crctrizm distriuição norml são o vlor sprdo vriânci d. Rltivmnt à função grdor d momntos tmos qu: G π t t ( t ) ( ) d µ µ t + ( t ) ( dmonstrção...)

10 95 TORMA: S ~ N(µ, ) s Y trá distriuição N(µ +, ). (dmonstrção:...) Y +, ntão v.. COROLÁRIO: S ~ N(µ, ) s Y trá distriuição N(,). Y µ, ntão v.. S tivr distriuição N(,), diz-s qu é um vriávl norml rduzid (ou pdronizd). Nst cso su fdp é dd por: f ntão: ( ) ϕ ( ), < < + π P π ( ) d porém st intgrl não pod sr clculdo nliticmnt, plo qu s tm qu rcorrr métodos d intgrção numéric. Contudo, função d distriuição d v.. norml Φ stá tld, plo qu pod sr utilizd pr clculr proilidd prtndid. rduzid, hitulmnt rprsntd por ( )

11 96 fctivmnt: Φ π u ( u ) d plo qu: P ( ) Φ ( ) Φ ( ) É tmém vidnt d dfinição d Φ ( ) Φ ( ) Φ ( ), qu: A importânci d distriuição norml rduzid rsult d sr possívl utilizr su função d distriuição (tld), pr clculr proilidds ssocids um qulqur vriávl ltóri com distriuição norml N(µ, ). D fcto, s ~ N(µ, ) ntão fzndo qu Z~N(,) ntão: P Z µ ( ) P Z µ µ, tmos φ Z µ φ Z µ

12 Finlmnt, vmos clculr ( µ k µ + k ) ~ N(µ, ) k : P 97 P sndo ( µ k µ + k ) P k k µ Φ Z ( k ) Φ ( k ) Φ ( k ) Z Z st proilidd é indpndnt d µ d, isto é, proilidd d qu um v.. com distriuição N(µ, ) tom vlors té k dsvios pdrõs do vlor sprdo, dpnd somnt d k pod sr clculd pl prssão ntrior. N figur cim stão indicdos vlors proimdos pr proilidd indicd ntriormnt pr k,,3.

13 98 COMBINAÇÃO LINAR V.A. NORMAIS INDPNDNTS A distriuição Norml tm um importnt propridd qu s trduz no torm sguint. TORMA: Sjm n vriávis ltóris indpndnts i,,...,n m qu: ~ N µ ( ) i i, i i, ntão, v.. T dfinid como: T n i i i trá sguint distriuição: T ~ N n i n i µ i ; i i i A dmonstrção dst torm pod fzr-s rcorrndo à função grdor d momntos firm qu: qulqur cominção linr d v.. Normis indpndnts é ind um v.. com distriuição Norml. RLAÇÃO NTR DISTRIBUIÇÃO NORMAL BINOMIAL Qundo foi studd distriuição inomil consttou-s qu pr p,5, distriuição r simétric, qulqur qu foss o vlor d n. Vrificou-s tmém qu, msmo pr vlors d p,5, s o vlor d n foss grnd, distriuicão

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