MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - Teorema de Bolzano Propostas de resolução

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1 MATEMÁTICA A - o Ano Funçõs - Torm d Bolzno Proposts d rsolução Exrcícios d xms tsts intrmédios. Dtrminndo s coordnds dos pontos P Q, m função d são, rsptivmnt P (,h() ) = P Q (,h() ) ( = Q, ln() ), tmos qu o dcliv d rt P Q é ddo por: ln() ln m P Q = = ln() ln = ln() ln ( ) = ln() ln ( ) ln = = (, ln ) ( ) ln D cordo com sugstão, o triângulo d figur é isóscls qundo rt P Q é prll à bisstriz dos qudrnts ímprs, ou sj, s tm dcliv igul (. ) ln Assim, o triângulo é isóscls s: m P Q = = Dst form, provr [ ] qu xist plo mnos um vlor d, qu corrspond um triângulo isóscls, é quivlnt ( ) mostrr ln x qu, dd função f(x) = x, dfinid [ ] [ ] m,, xist,, tl qu f() = Como função f rsult d oprçõs [ ] sucssivs d funçõs contínus m,, é um função contínu, [ ], por isso, tmbém é contínu m,. Como ln < < ln 4, ou sj, ( ) f() < < f, ntão, podmos concluir, plo ] [ Torm d Bolzno, qu xist, tl qu f() =. ln ( ) f = ( ) = ln 4 = ln 4 = ln 4 4 Como < 4, vm: < 4 ln < ( ln(4 ) ) ln < ln(4) < ln(4) Ou sj: < f ( ) ln f() = = ln Logo, como <, vm: < ln < ln( ) ln < ln ln < ln Ou sj: f() < ln < ln < Exm 08, Fs Págin d 4

2 . Comçmos por notr qu: g(x) = x + g(x) x = 0 Assim, considrndo f(x) = g(x) x, tmos qu: - provr qu qução g(x) = x + é possívl no intrvlo ],g()[, é quivlnt, - provr qu qução f(x) = 0 é possívl no intrvlo ],g()[ Como, função g é contínu m R, ntão função f tmbém é contínu R, porqu rsult d oprçõs sucssivs d funçõs contínus,, m prticulr é contínu no intrvlo [,g()]. Cálculos uxilirs: f() = g() = g() ( + ) Como g() > +, ntão: g() > + g() ( + ) > + ( + ) g() ( + ) > 0 f() > 0 0 < f() Como (g g)(x) = x, x R, ntão, (g g)() =, ssim: f ( g() ) = g ( g() ) g() = (g g)() g() = g() = g() + Como g() > +, ntão: g() > + g() < ( + ) g() + ( + ) < 0 g() + + < g() + < f ( g() ) < f ( g() ) < 0 Como < 0 < f(), ou sj, f ( g() ) < 0 < f(), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ],g()[ tl qu f(c) = 0, ou sj, qu qução f(x) = 0 tm, plo mnos, um solução m ],g()[, ou, d form quivlnt, qu qução g(x) = x + é possívl no intrvlo ],g()[ Exm 06, Fs [ [ 3. Como, no intrvlo, + função f rsult d oprçõs sucssivs d funçõs contínus é um função contínu nst intrvlo,, por isso, [ tmbém[ é contínu m [, ], porqu [, ], +. Como < 3 < +, ou sj, f() < 3 < f(), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ], [ tl qu f(c) = 3, ou sj, qu qução f(x) = 3 tm, plo mnos, um solução m ], [, ou sj, qução f(x) = 3 é possívl m ], [ f() = ( + ) ln = 0 = 0 f() = ( + ) ln = ( + ) = + 3,7 Dst form, visulizndo n clculdor gráfic o gráfico d função f, num jnl comptívl com o intrvlo ], [, rt y = 3 (rproduzidos n figur o ldo), podmos obsrvr qu qução f(x) = 3 tm um únic solução no intrvlo ddo. y f y = 3 Usndo função d clculdor pr dtrminr vlors proximdos ds coordnds dos pontos d intrsção d dois gráficos, obtmos um vlor proximdo d bciss do ponto d intrsção dos dois gráficos, ou sj, solução d qução f(x) = 3, cujo vlor numérico, proximdo às cntésims, é,4 0,4 x Exm 05, Fs Págin d 4

3 4. Como função f rsult d oprçõs sucssivs d funçõs contínus m ], 0[, é um função contínu,, por isso, tmbém é contínu m [, ]. Como 4,09 < <, ou sj, f( ) < < f( ), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ], [ tl qu f(c) =, ou sj, qu qução f(x) = tm, plo mnos, um solução m ], [ f( ) = + ln( ( )) f( ) = + ln( ( )),7 = ln() 4,09 = ln() = 0 = Exm 04, Fs 5. Como função f rsult d oprçõs sucssivs d funçõs contínus m R, é um função contínu,, por isso, tmbém é contínu m [0, ]. Como o torm d Bolzno grnt qu função f tm, plo mnos, um zro no intrvlo ]0,[, ntão, plo hipóts do torm d Bolzno, sbmos qu zro stá comprndido ntr f(0) f(), plo corolário do torm d Bolzno tmos qu f(0) f() < 0 Assim, tmos qu f(0) = k = k = k f() = k + = k + Clculndo os zros d f(0) f(), tmos f(0) f() = 0 k (k + ) = 0 k = 0 k + = 0 k = 0 k = E, studndo o sinl d f(0) f() vm qu: k 0 + k k f(0) f() Plo qu vrificmos qu f(0) f() < 0 s k ] [, 0 Rspost: Opção B Exm 04, Fs 6. Como, função f é contínu m [, ], como < <, ou sj, f( ) < < f(), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ], [ tl qu f(c) =, ou sj, qu qução f(x) = tm, plo mnos, um solução m ], [ Rspost: Opção D Exm 03, Fs Págin 3 d 4

4 7. Como f(x) = f(x + ) f(x) f(x + ) = 0, mostrr qu f(x) = f(x + ) tm, plo mnos, um solução m ], 0[ é quivlnt mostrr qu um função g, d domínio ], 0[, dfinid por g(x) = f(x) f(x+) tm plo mnos um zro, visto qu f(x) = f(x + ) f(x) f(x + ) = 0 g(x) = 0 Como função f é contínu m [,] ( tmbém m [,0]), tmbém é m [,0], f(x + ) é contínu m [,0], plo qu podmos grntir qu função g é contínu m [,0], por rsultr d difrnç d dus funçõs contínus nst intrvlo. Como g(0) < 0 < g( ), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ], 0[ tl qu g(c) = 0, ou sj, qu qução g(x) = 0 tm, plo mnos, um solução m ], 0[, o qu é quivlnt provr qu condição f(x) = f(x + ) tm, plo mnos, um solução m ], 0[ g( ) = f( ) f( + ) = f() f(0) f( )=f() Como f() > f(0), ntão g( ) > 0 g(0) = f(0) f(0 + ) = f(0) f() Como f() > f(0), ntão g(0) < 0 8. Como função g rsult d oprçõs sucssivs d funçõs [ contínus ] m [ R + ], é contínu m R +, tmbém, m,, porqu, R + Como g ( ) < 0 < g ( ), ntão, podmos con- ] [, tl cluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c qu g(c) = 0, ou sj, ] qu[ função g tm, plo mnos, um zro no intrvlo, Exm 03, Fs ( ) g = + ln = + ln ln = = + 0 ln = ln Como >, ntão ln >, logo g g ( ) < 0 ( ) = + ln = + ln ln = = + 0 = Como >, ntão ( ) >, logo g > 0 Tst Intrmédio o no Como função C rsult d oprçõs sucssivs d funçõs contínus m R + 0, é contínu m R+ 0, tmbém, m [0,5], porqu [0,5] R+ 0 Como 0 < 3 < 5,0, ou sj, como C(0) < 3 < C(5), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist t 0 ]0,5[ tl qu C(t 0 ) = 3, ou sj qu, durnt os primiros 5 minutos pós colocção do produto químico n águ, houv, plo mnos, um instnt m qu concntrção do produto foi 3 grms por litro. C(0) = 0,5(0) 0, 0 = = 0 0 = 0 C(5) = 0,5(5) 0, 5 5,0 Exm 0, Ép. spcil Págin 4 d 4

5 0. Como f(x) = x 3 x 3 = x 3 x 3 + x + 3 = 0 x + x = 0 x + x 3 = 0 firmr qu qução f(x) = x 3 tm, plo mnos, um solução, é quivlnt firmr qu função g, tmbém d domínio R, dfinid por g(x) = x + x 3 tm, plo mnos, um zro. Dst form, como função g é contínu m R, por sr rsultr d oprçõs ntr funçõs contínus m R, rcorrndo o corolário do Torm d Bolzno, podmos nlisr cd um ds hipótss prsntds: ) Como g(0) = = 3 ( =, ou sj g(0) < 0 g = ,08, ou sj, ( ) ( ) g > 0, tmos qu, g(0) g > 0, por isso, não é grntid xistênci d um zro d 5 ] 5 função g no intrvlo 0, [ 5 ( ) Como g = ( ) ( ) 0,08, ou sj, g < 0 g = ,03, ou sj, ( ) ( ) ( ) g > 0, tmos qu, g g < 0, por isso, é grntid xistênci d um zro d função 4 ] 5 4 g no intrvlo 5, [ 4 ( ) Como g = ( ) ( ) 0,03, ou sj, g > 0 g = ,3, ou sj, ( ) ( ) ( ) g > 0,tmos qu, g g > 0, por isso, não é grntid xistênci d um zro d 3 ] 4 4 função g no intrvlo 4, [ 3 ( ) Como g = ( ) 0,3, ou sj, g > 0 g() = + 3,, ou sj, g() > 0, ( ) 3 tmos qu, g g) > 0, por isso, não é grntid xistênci d um zro d função g no ] 3 intrvlo 4, [ 3 Rspost: Opção B Exm 0, Fs Págin 5 d 4

6 . A continuidd ds funçõs no intrvlo [, 3] não é suficint pr firmr nd sobr monotoni ds funçõs f g, plo qu não é possívl firmr nd sobr monotoni d função f g. Assim não é possívl ssgurr vrcidd ds firmçõs ds opçõs (B) (D). Como f g são mbs funçõs contínus m [,3], função f g é contínu m [,3] Como (f g) (3) < 0 < (f g) (), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ],3[ tl qu (f g) (c) = 0 Assim, como (f g) (c) = 0 f(c) g(c) = 0 f(c) = g(c) f() g() > 0 (f g) () > 0 f(3) g(3) < 0 (f g) (3) < 0 Podmos grntir qu os gráficos d f g s intrsctm m plo mnos um ponto. Rspost: Opção A Tst Intrmédio o no Como função g rsult d oprçõs sucssivs d funçõs contínus m R +, é contínu m R +, tmbém, m [,3], porqu [,3] R + Como 3 < 5 < 6, ou sj, g() < 5 < g(3), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ],3[ tl qu g(c) = 5, ou sj, c ],3[: g(c) = 5 g() = + f() = + + log 3 = = = 3 g(3) = 3 + f(3) = log 3 3 = = = 6 Tst Intrmédio o no Como função f rsult d oprçõs sucssivs d funçõs [ contínus m [0,[, é contínu m [0,[, tmbém, m 0, ], [ porqu 0, ] [0,[ ( ) Como 3,9 < 3 <,3, ou sj, f(0) < 3 < f, ntão, ] podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c 0, [ tl qu f(c) = 3, ou sj, qu qução f(x) = 3 ] tm, plo mnos, um solução m 0, [ f(0) = 0 0 f = 3,9 ( ) = 3 = 3,3 Exm 0, Fs Págin 6 d 4

7 4. Anlisndo cd um ds opçõs, tmos Como f(0) = 0 9 = 9 = 8 f() = 9 = 9 = 7, não s vrific condição f(0) < 0 < f(), plo qu o torm d Bolzno não prmit grntir xistênci d, plo mnos, um zro d função f no intrvlo ]0, [ Como lim x 5 f(x) = lim 9) = 5 9 = 3 f(5) = 5, tmos qu lim x 5 (x 5 x 5 f(x) f(5), plo qu função f não é contínu pr x = 5, logo não é contínu no intrvlo ]4, 6[, plo qu o torm d Bolzno não prmit grntir xistênci d, plo mnos, um zro d função f nss intrvlo Como f(6) = 6 67 f(7) = 7 57, não s vrific condição f(6) < 0 < f(7), 6 7 plo qu o torm d Bolzno não prmit grntir xistênci d, plo mnos, um zro d função f no intrvlo ]6, 7[ Assim, d ntr s opçõs prsntds o intrvlo ],4[ é o único m qu o torm d Bolzno prmit grntir xistênci d, plo mnos, um zro d função f: Como função f rsult d oprçõs sucssivs d funçõs contínus m [0,5[, é contínu m [0,5[, tmbém, m [,4], porqu [,4] [0,5[ Como 7 < 0 < 7, ou sj, f() < 0 < f(4), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ],4[ tl qu f(c) = 0, ou sj, qu xist, plo mnos, um zro d função f no intrvlo ],4[ f() = 9 = 9 = 7 f(4) = 4 9 = 6 9 = 7 Rspost: Opção B Exm 0, Fs Págin 7 d 4

8 5. Como função f é contínu no intrvlo [,4], m tods s opçõs função g rsult d soms (ou subtrçõs) ntr função f outrs contínus no msmo intrvlo, ntão, m cd opção função g é contínu no intrvlo [,4]. Assim, vrificndo s zro stá comprndido ntr g( ) g(), tmos Opção (A) g( ) = ( ) + f( ) = + 3 = g(4) = (4) + f(4) = = 7 Logo, 0 / ]g( ),g(4)[ Opção (B) Logo, 0 / ]g( ),g(4)[ g( ) = ( ) f( ) = 3 = 5 g(4) = (4) + f(4) = 8 9 = Opção (C) g( ) = ( ) + f( ) = + 3 = 4 g(4) = (4) + f(4) = = 5 Logo, 0 / ]g( ),g(4)[ Rltivmnt à opção (D), tmos qu g( ) = ( ) f( ) = 3 = g(4) = (4) f(4) = 6 9 = 7 Plo qu, como < 0 < 7, ou sj, g( ) < 0 < g(4), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ],4[ tl qu g(c) = 0, ou sj, qu xist, plo mnos, um zro d função g no intrvlo ],4[ Rspost: Opção D Tst Intrmédio o no Como função f rsult d oprçõs sucssivs d funçõs contínus m R, é contínu m R, tmbém, m [, ], porqu [, ] R Como,050 <,5 <,000, ou sj, f( ) <,5 < f( ), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ], [ tl qu f(c) =,5, ou sj, qu qução f(x) =,5 tm, plo mnos, um solução m ], [ f( ) = ( )+ ( )3 = + ( 8) = = + 7,000 f( ) = () + ( )3 = + ( ) = = + 3,050 Exm 00, Fs Págin 8 d 4

9 7. Avrigundo continuidd d função g, no ponto d bciss, tmos: g() = 5 + log ( ) = 3 + log () = + 0 = ( lim x g(x) = lim 3 x x ) = 3 = 9 x Plo qu g() lim x g(x), ou sj, função g não é contínu m x =, logo não é contínu m [,3], ssim não podmos usr o Torm d Bolzno nst intrvlo. Vrificndo xistênci d plo mnos um zro d função g, nos rstnts três intrvlos, tmos: g(0) = = g() = 3 = 3 = 0 / ],[ g(3) = log (3 ) = + log () = + = g(5) = log (5 ) = log (4) = 0 ],[ g(5) = log (5 ) = log (4) = g(9) = log (9 ) = 4 log (8) = 4 3 = 0 / ],[ E ssim, como função g rsult d oprçõs sucssivs d funçõs contínus m [, + [, é contínu m [, + [, tmbém, m [3,5], porqu [3,5] [, + [ Como < 0 <, ou sj, g(3) <,5 < g(5), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ]3,5[ tl qu f(c) = 0, ou sj, qu função g tm, plo mnos um zro no intrvlo ]3,5[ Rspost: Opção C Tst Intrmédio o no Como função g rsult d oprçõs sucssivs d funçõs contínus m R +, é contínu m R +, tmbém, m [0,; 0,3], porqu [0,; 0,3] R + Como,08 < 0 < 0,6, ou sj, g(0,) < 0 < g(0,3), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ]0,; 0,3[ tl qu g(c) = 0, ou sj, qu xist, plo mnos, um zro d função g no intrvlo ]0,; 0,3[ g(0,) = 0, + ln(0,),08 g(0,3) = 0,3 + ln(0,3) 0,6 Exm 009, Fs Págin 9 d 4

10 9. Como função f é contínu m [,], ntão função g rsult d oprçõs sucssivs d funçõs contínus m [,], é contínu nst intrvlo. Clculndo g() g(), tmos g() = f() f() = f() = 3f() g() = f() f() = f() 3f() = f() Como x [,], f(x) < 0, ntão tmos qu f() < 0, plo qu 3f() < 0, ou sj g() < 0 f() > 0, ou sj g() > 0 Como g() < 0 < g(), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ],[ tl qu g(c) = 0, ou sj, qu xist, plo mnos, um zro d função g no intrvlo ],[ Tst Intrmédio o no Como função M rsult d oprçõs sucssivs d funçõs contínus m R +, é contínu m R +, tmbém, m [,5; 4], porqu [,5; 4] R + Como 3,847 < 4 < 4,68, ou sj, como M(4) < 4 < M(,5), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist t 0 ],5; 4[ tl qu M(t 0 ) = 4, ou sj, qu houv, plo mnos, um instnt, ntr s hors 30 minutos s 4 hors pós o início d obsrvção, m qu mss d mostr d substânci rdiotiv tingiu os 4 grms. Obsrvndo qu hors 30 minutos corrspond,5 hors, vm qu M(,5) = 5 0,0,5 4,68 M(4) = 5 0,0 4 3,847 Exm 008, Fs. Como função h rsult d oprçõs sucssivs d funçõs contínus m ], + [, é contínu m ], + [, tmbém m [5,6], porqu [5,6] ], + [ Como 0,05 < 0 < 0,79, ou sj, h(6) < 0 < h(5), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ]5,6[ tl qu h(c) = 0, ou sj, qu xist, plo mnos, um zro d função h no intrvlo ]5,6[ h(5) = ln(5 + ) = = + ln 6 0,79 h(6) = ln(6 + ) = = + ln 7 0,05 Exm 008, fs Págin 0 d 4

11 . Como função f é contínu no intrvlo [,], m tods s opçõs função g rsult d soms (ou subtrçõs) ntr função f outrs contínus no msmo intrvlo, ntão, m cd opção função g é contínu no intrvlo [,]. Assim, vrificndo s zro stá comprndido ntr g( ) g(), tmos Opção (B) Logo, 0 / ]g( ),g()[ g( ) = f( ) = = 3 g() = f() = 3 = Opção (C) g( ) = ( ) + f( ) = 4 + = 5 g() = + f() = = 7 Logo, 0 / ]g( ),g()[ Opção (D) g( ) = ( ) f( ) = 4 = 3 g() = f() = 4 3 = Logo, 0 / ]g(),g( )[ Rltivmnt à opção (A), tmos qu g( ) = + f( ) = + = g() = + f() = + 3 = 5 Plo qu, como < 0 < 5, ou sj, g( ) < 0 < g(), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ],[ tl qu g(c) = 0, ou sj, qu xist, plo mnos, um zro d função g no intrvlo ],[ Rspost: Opção A 3. As bcisss dos pontos d intrsção d rt r com curv C são soluçõs d qução f(x) = 5 Tst Intrmédio o no Como função f rsult d oprçõs sucssivs d funçõs contínus m [0,], é contínu nst intrvlo, ou sj, no su domínio. Como < 5 < + 3, ou sj, f(0) < 0 < f(), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ],0[ tl qu f(c) = 5, ou sj, qu xist, plo mnos, um solução d qução f(x) = 5 no intrvlo ]0,[, ou sj, qu rt r intrsct curv C m plo mnos um ponto. f(0) = 0 + 3(0) = + 0 = f() = + 3() = + 3 Tst Intrmédio o no Págin d 4

12 4. Clculndo o vlor d f( ), como <, vm: E ssim, vm qu f( ) = ln ( ) = ln = = = f(x) + f( ) = 0 f(x) + ( ) = 0 f(x) = Como função f rsult d oprçõs sucssivs d funçõs contínus m [,+ [, é contínu nst intrvlo, tmbém m [4,5], porqu [4,5] [,+ [ Como 4 0,37,, ntão, 5 3 < < 4, ou sj, f(5) < 0 < f(4), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ]4,5[ tl qu f(c) =, ou sj, qu xist, plo mnos, um solução d qução f(x) = no intrvlo ]4,5[, ou sj, x ]4,5[ : f(x) + f( ) = 0 f(4) = 4 4 = 4 = = 4 0,54 f(5) = 5 5 = 5 3 = = 5 3 0,5 Exm 006, Ép. spcil 5. Como f é um função contínu m [0,], ntão função g (dfinid nos trmos d sugstão) tmbém é contínu m [0,] porqu rsult d oprçõs ntr funçõs contínus, nst intrvlo. Clculndo g(0), vm g(0) = f(0) f(0 + ) = f(0) f() = 0 f() = f() como f() > 0, ntão f() < 0, ou sj, g(0) < 0 Clculndo g(), vm como f() > 0, ntão g() > 0 g() = f() f( + ) = f() f() = f() 0 = f() Logo, como g(0) < 0 < g(), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ]0,[ tl qu g(c) = 0, ssim vm qu, g(c) = 0 f(c) f(c + ) = 0 f(c) = f(c + ) Exm 006, fs Págin d 4

13 6. Como não é conhcid xprssão lgébric d função f, ou outr informção, sobr monotoni, por xmplo, é possívl considrr um função f, contínu m R, por xmplo como rprsntd grficmnt n figur o ldo, m qu vrific f(3) = 8 f(7) =, qu f(6) / [,8] Exist plo mnos um vlor c [3,7] tl qu f(c) = 0 f(4) < f(5) Podmos ind vrificr qu omo função f é contínu m R, tmbém é contínu m [3,7], porqu [3,7] R Como < < 8, ou sj, f(7) < < f(3), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ]3,7[ tl qu f(c) =, ou sj, qu xist, plo mnos um objto m ]3,7[ cuj imgm pr f é, logo D f Rspost: Opção D y 8 f(5) f(4) f x Exm 005, fs 7. Como função f rsult d oprçõs sucssivs d funçõs contínus m R, é contínu m R, tmbém, m [,0], porqu [,0] R Como < 4 < + 3, ou sj, f(0) < 4 < f( ), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ],0[ tl qu f(c) = 4, ou sj, no intrvlo ],0[, xist plo mnos um objto cuj imgm, por mio d f, é 4 f( ) = + 3 ( ) ( ) = = + 3 = = + 3 9,5 f(0) = = + 0 = Exm 004, Fs 8. Como f é um função contínu m [0,5], ntão função g tmbém é contínu m [0,5] porqu rsult d difrnç ntr funçõs contínus, nst intrvlo. Clculndo g(0), vm g(0) = f(0) 0 = f(0) como D f = [3,4], ntão 3 f(0) 4, ou sj, 3 g(0) 4, m prticulr, tmos qu g(0) 3 Clculndo g(5), vm como D f = [3,4], ntão g(5) = f(5) 5 3 f(5) f(5) f(5) 5 Ou sj, 3 g(0), m prticulr, tmos qu g(5) Logo, como g(5) < 0 < g(0), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ]0,5[ tl qu g(c) = 0, ou sj, qu xist, plo mnos, um zro d função g no intrvlo ]0,5[ Exm 00, fs - chmd Págin 3 d 4

14 9. Como função g é contínu m R, tmbém é contínu, m [,3], porqu [,3] R Como é zro d g, tmos qu g() = 0 Como g(3) > 3, vm qu g(3) > 0 plo qu g(3) > g(3) tmbém g(3) Logo, como g() < g(3) < g(3), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ],3[ tl qu g(c) = g(3) g(3), ou sj, qu qução g(x) = tm, plo mnos, um solução no intrvlo ],3[ > 0 Exm 00, fs 30. Como não é conhcid xprssão lgébric d função f, ou outr informção, sobr monotoni, por xmplo, é possívl considrr funçõs contínus m [,3], m qu vrific f(3) = 8 f(7) =, qu pod tr zros, s por xmplo f(5) = 0 ou outrs m qu não xistm zros no intrvlo [,3], por xmplo s função for stritmnt dcrscnt nst intrvlo. Por outro ldo, como função f é contínu m [,3] como 4 < 5 < 7, ou sj, f(3) < 0 < f(), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ],3[ tl qu f(c) = 5, ou sj, qu xist, plo mnos, um solução d qução f(x) = 5 no intrvlo ],3[, como ],3[ [,3] ntão xist plo mnos um solução no intrvlo [,3] Rspost: Opção C Exm 00, fs - chmd 3. Como função C rsult d oprçõs sucssivs d funçõs contínus m R, é contínu m R, tmbém, m [0,5; ], porqu [0,5; ] R Como 0,86 < <,48, ou sj, como C(0,5) < 4 < C(), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist t 0 ]0,5; [ tl qu C(t 0 ) =, ou sj, qu houv, plo mnos, um instnt, ntr s 9 hors 30 minutos s 0 hors m qu concntrção do mdicmnto foi d mg/ml. Obsrvndo qu 9 hors 30 minutos corrspond mi hor, ou sj 0,5 hors dpois d tom do mdicmnto, qu 0 hors corrspond hor dpois d tom do mdicmnto, vm qu C(0,5) = 0,5 0,3 0,5 0,86 C() = 0,3,48 Exm 999, Prov modlo (prog. ntigo) 3. Como função g é um função polinomil, é contínu m R, tmbém, m qulqur subconjunto d R, nomdmnt nos intrvlos [,0], [0,], [,] [,3] Assim, vrificndo s 8 stá comprndido ntr s imgns dos xtrmos d cd um dos intrvlos, tmos g( ) = ( ) 5 ( ) + = + + = g(0) = = g() = 5 + = + = g() = 5 + = 3 + = 3 g(3) = = 43 + = 39 Logo, não é possívl grntir qu g( ) < 8 < g(0), nm qu g(0) < 8 < g(), ou qu g() < 8 < g(3). E como < 8 < 3, ou sj, g() < 8 < g(), ntão, podmos concluir, plo Torm d Bolzno, qu xist c ],[ tl qu g(c) = 8, ou sj, qu qução g(x) = 8 tm plo mnos um solução no intrvlo ],[ Rspost: Opção C Exm 997, fs - chmd (prog. ntigo) Págin 4 d 4