10.7 Área da Região Limitada por duas Funções Nesta seção, consideraremos a região que está entre os gráficos de duas funções.

Transcrição

1 0.7 Ár d Rgião Limitd por dus Funçõs Nst sção, considrrmos rgião qu stá ntr os gráficos d dus funçõs. S f g são contínus f () g() 0 pr todo m [,], ntão ár A d rgião R, limitd plos gráficos d f, g, = =, pod sr clculd sutrindo-s ár d rgião so o gráfico d g ( frontir infrior d R ) d ár d rgião so o gráfico d f (frontir suprior d R ): g() f ()d g()d f () g() d ou Suponh qu dsjmos clculr ár A dlimitd por dus curvs, f() g() s rts = =, como ilustr figur io: f() g() Sndo A f ()d A g() d A A f ()d - g()d (f () g())d Assim vrificmos qu é válido o torm sguir: TEOREMA S f g são contínus f () g() 0 pr todo m [,], ntão ár A d rgião dlimitd Not qu ár pod sr otid pl difrnç ds árs A - A. plos gráficos d f, g, =, = é: f () g() d f() DIRETRIZES PARA ENCONTRAR A ÁREA DE UMA REGIÃO R LIMITADA POR DUAS FUNÇÕES Esoçr rgião, dsignndo por = f() frontir suprior por = g() frontir infrior. Encontrr os pontos d intrscção Elin CristinFrruzzi ( ) ntr s dus funçõs ( sistm d Dvnil quçõs) Antonio Frncisco Clculr intgrl f () g() d

2 A A ( 7 A 8 d )d ( ) ( )d - ( ) d 0 u. Emplo : Encontr ár A d rgião limitd pls curvs = - 4 Rsolução: Pr otrmos os pontos d intrscção ds dus curvs, rsolvmos um sistm formdo pls dus quçõs otmos os pontos ( 0, 0 ) (, 4 ). Emplo : Encontr ár A limitd pls curvs f ( ) g() = no intrvlo d [-,]. Rsolução: A ár A é grficmnt prsntd io: Grficmnt ár A é dd io: Como não ist ponto d intrscção ntr s funçõs nst cso form ddos os limits d intgrção,tmos: Elin CristinFrruzzi Dvnil Antonio Frncisco

3 Podmos osrvr clrmnt qu pr ncontrr ár pdid, dvmos sutrir ár A d ár A Assim, tmos: A A ( 4)d - d d 0 4 ( 4)d u. Ercícios: E.8. Encontr ár dlimitd pls curvs s rts dds: ) 4, ) 8, A f ) sn, o io, 0 rd A g) sn, o io, 0 rd o io, s rts = =. o io, s rts = 0 = 4 c), d), ) 4, h) cos, o = 4 = - i)f () 4 io, 0 rd 0 E9. Um cpcitor é trvssdo por um corrnt i(t) = 0t(A). qul é tnsão qu irá prcr nos trminis do cpcitor pós s, sndo C 0 F? Ddo E0.Ddo v idt. C Q idt, qul srá crg cumuld ns plcs d um cpcitor sumtido à um corrnt d i=0t (A0 pós trnscorridos 0s d plicção d corrnt. ( supor o cpcitor compltmnt dscrrgdo m t = 0s) 0.8 VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO Dfinição I : Um sólido d rvolução é um sólido grdo pl rotção d um rgião do plno m torno d um rt do plno, chmd io d rvolução. Emplo: Ao girrmos o triângulo io m torno do io, otmos um con d rvolução. Elin CristinFrruzzi Dvnil Antonio Frncisco

4 Dfinição III : Sj um rgião R do plno limitd plos gráficos d =, = plos gráficos d dus funçõs contínus f g, com f ( ) g( ) 0 pr todo m [,]. Então o volum do sólido grdo pl rotção d rgião R m torno do io é dd por V f ( ) g( ) d Dfinição II : Sj f um função contínu no intrvlo fchdo [, ]. S S for o sólido otido pl rotção, m torno do io d rgião limitd pl curv = f(), o io s rts = = s V for o númro d unidds cúics do volum d S, ntão: V f () d Emplo: Clcul o volum do sólido grdo pl rotção d rgião pln limitd pl curv s rts = = m torno do io. Rsolução 4 V d V d V V V u.v. Ercícios: E.. Sj f (), dtrmin o volum do sólido grdo pl rotção m torno do io, d rgião do plno limitd por f(), plo io s rts = - =. Emplo: Encontr o volum do sólido grdo pl rotção m torno do io, d rgião limitd pl práol rt. Rsolução: Grficmnt rgião dscrit cim é dd por: V V V f () g() d 4 6 V d 8d 8 E. Sj f (), dtrmin o volum do sólido grdo pl rotção m torno do io, d rgião pln limitd por f(), plo io s rts = =. E.. Sj f ( ) 4, dtrmin o volum do sólido grdo pl rotção m torno do io, d rgião do plno limitd por f() plo io. Elin CristinFrruzzi Dvnil Antonio Frncisco

5 8 V. 6 7 V u. v. 8 Ercício E.4. Em cd um dos rcícios io soc rgião R dlimitd plos gráficos ds quçõs dds dtrmin o volum do sólido grdo pl rotção d r m torno do io. ), = 4 - ), = 6, = 0 c) =, = 4, = APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DEFINIDAS Elin CristinFrruzzi Dvnil Antonio Frncisco