DIFRAÇÃO. E 2 = Em(r 2 ) cos(k r 2 - ω t) ê 2 (1) : : : : E N = E m (r N ) cos(k r N - ω t) ê N

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1 ISTITUTO DE FÍSICA DA UFBA DEPARTAMETO DE FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO DISCIPLIA : FÍSICA GERAL E EXPERIMETAL IV-E (FIS 4) DIFRAÇÃO. Difrção d Frunhofr d fnd simpls Suponh um fnd simpls, d lrgur comprimnto muito longo, sndo ilumind por luz monocromátic plno polrizd, d comprimnto d ond, m incidênci norml. D cordo com o princípio d Huygns, cd ponto d frnt d ond qu ting fnd é considrdo como font puntiform d onds scundáris ssim, fnd ilumind pod sr considrd como sndo um distribuição d irrdidors lmntrs qu mitm luz m tods s dirçõs. r r r D >> Em nosso studo, o invés d trtr s fonts como puntiforms, irmos considr - ls como rsultnts d divisão d fnd m prts iguis, ond >>. Como stmos intrssdos m studr o comportmnto d luz m um ponto P, trçmos s rts r, r...r qu ligm os irrdidors st ponto. Sj E m mplitud d ond qu ting fnd. A luz m P, grd por quls fonts srá rprsntd plos vtors: r E Em(r ) cos(k r - ω t) ê r E Em(r ) cos(k r - ω t) ê () : : : : r E E m (r ) cos(k r - ω t) ê ond ê, ê... ê rprsntm os vtors unitários prpndiculrs às rts r, r...r. Cbm qui lgums obsrvçõs. Em primiro lugr, como stmos supondo qu s onds r qu tingm fnd são plns, isto implic qu tods s fss dos cmpos E i são iguis, um vz qu todos os pontos d fnd são tingidos simultânmnt por um msm frnt d ond. Por simplicidd fizmos nuls sts fss. Em sgundo lugr, s onds qu tingm o ponto P são sférics, d modo qu sus mplituds, Em(r i ), dpndm d distânci r i. Contudo, s considrrmos qu o ponto P não stj muito fstdo d O, ntão podmos supor qu st mplitud não difr P O

2 ssncilmnt dqul do ponto O. Por outro ldo, sbndo-s qu mplitud d ond qu ting fnd é E m como dividimos fnd m prts iguis, é rzoávl supor qu rlção ntr E m E m (r i ) sj: E m E m (r i ) E m () r O cmpo totl m P srá igul som vtoril dos cmpos E i. o ntnto, como stmos n condição d Frunhofr, isto é D >>, os vtors ê i srão todos prllos ntr si som vtoril podrá sr trocd por um som sclr. Ants d fturmos st som, vmos modificr qução () pr qu oprção sj fcilitd. Obsrv qu podmos scrvr: r i r + (r i - r ), i,, 3,... (3) Ms o qu signific gométricmnt s difrnçs d cminho (r i - r )? Pr visulizmos isto, vjmos o qu ocorr qundo 5. Obsrv n figur o ldo qu : r - r (/4) sn θ r 3 - r (/4) sn θ (r - r ) r 4 - r 3 (/4) sn θ 3 (r - r ) r 5 - r 4 (/4) sn θ 4 (r - r ) Assim, pr um fnd com um numro d irrdidors, podmos scrvr gnricmnt : (r i - r ) (i - ) (r - r ), i,,3... /4 3/4 Em prticulr, s i, ntão (r -r ) (-) (r - r ) sn θ (4) Dfinimos um fs, tl qu k (r - r ). Dfinimos tmbém φ k (r - r ) é fácil vrificr qu rlção ntr mbs é: φ k sn θ ( - ) k (r - r ) (5) Podmos gor rscrvr novmnt s quçõs () n form E E m cos(k r - ω t) E E m cos(k r - ω t + ) : : : : E E m cos(k r - ω t + (-) ) O cmpo m P srá som d todos sts cmpos. Pr fturmos st cálculo, irmos utilizr novmnt o cmpo complxo: k r ω t +ϕi ) E i Em, ond E i R{ Ei } Obsrv qu φ i (i - ), d modo qu dvmos tr: k r ω. t) i ) i ) E i Em. E i,... O cmpo totl srá ntão: /4 θ θ r r r 3 r 4 r 5

3 E i ) ϕ Ei E E i i S, ond S + j + j + K+ j ( ) Est som é dd por: S (q ), ond q j. φ. Assim, (q ) j.. j.. j.. j.. ( ).( ) S. j. j. j. j. ( ).( ) Como E j θ j θ j ( ) / sn( / ) snθ, ntão: S (6) j sn( / ) Usndo rlção (5), chgmos : sn( φ / ) j ( k r ω. t) j ( r ) sn( φ / ) E m sn( φ / ) sn( φ / ) j ( k. r ) ( ) / E ω t j φ r m Obsrv qu n xprssão ntr prêntss usmos φ, o invés d (5). Isto foi possívl, um vz qu stmos dmitindo >>. st proximção, dvmos tr tmbém sn(φ/)(φ/). Dfinindo r (r + r )/ (distânci do cntro d fnd o ponto P) lmbrndo - s qu E m E m, obtmos: E E m. k.r ω.t) sn( φ ). Assim, o cmpo m P srá ddo por: ( φ / ) E E cos( k.r ω. t ) E E m sn φ k..snθ A grndz qu nos intrss no momnto é intnsidd. Como vimos no cpítulo ntrior, * I β E.E, ond β é um constnt qu dpnd do mio. Fzndo Io β E (intnsidd d luz qu ting fnd), intnsidd m P srá: sn I I o Intnsidd Mximo Cntrl S 0, dvmos tr I I o. Est é condição pr o máximo cntrl. S m π (m ±, ±, ), intnsidd srá nul. Est é condição d mínimo. o minimo o Mximo Scundrio -π -π 0 π π 3π snθ 3

4 k snθ Como, st condição podrá sr rscrit como snθ m. O gráfico d distribuição d intnsidd é mostrdo cim. RESUMO Lrgur d fnd Cmpo m P E E cos ( k r ω t) sn E E m φ k sn θ sn Intnsidd: I I o Máximo Cntrl 0 ou θ 0 Condição d Mínimo m π snθ m m ±, ±, ±3. Difrção d Fnds Múltipls. Rd d Difrção Suponh um dispositivo qu contnh fnds, cd qul com lrgur sprção (cntro cntro) d. Est objto, dnomindo "rd d difrção", é ilumindo com luz prll monocromátic d comprimnto d ond. Frmos noss nális d difrcão m um ponto P situdo um distânci r d fnd, r d sgund, tc. Por hipóts, P fic um distânci infinit d rd. Assim, o cmpo (complxo) m P, produzido pl i-ésim fnd srá scrito como: k ri ω t) E i E ond E E m sn, i,, 3,... Obsrv qu podmos scrvr r r + r ) i ( i r 4

5 r r d sn θ M M M r r ( ) d sn θ E E E i Dfinindo δ k ( r r ) k d sn θ Logo k( r r ) ( - ) δ (7) O cmpo m P dvido à fnd i srá ntão:. k r ω t + ( i ) δ E. i ) δ Obtmos o cmpo totl, dvido tods s fnds, ftundo som : Ei E i i i ) δ E S Usndo q jδ S, ond q, trmos q S j δ j δ / j δ / j δ / ( ) ( ), logo j δ j δ / j δ / j δ / ( ) ( ) S j ( ) δ / sn( β ), ond β δ/ sn( β ) E E Usndo rlção (7),trmos sn( β ) sn( β ) j [ k r ω t + k( r r) / ] Fzndo r ( r + r ) /, chgmos finlmnt : sn sn( β ) E R{ E } E m cos (kr - ωt) sn( β ) A Intnsidd srá: I I o sn sn(β) ond sn( β) k snθ k d β snθ O trmo sn d ftor d intrfrênci (FI). é chmdo d ftor d difrção (FD) o trmo sn(β) é chmdo sn( β) 5

6 O ftor d intrfrênci tm máximos qundo β m π ( m 0, ±, ±...). D fto, usndo rgr d L Hopitl, mostr-s qu: β sn( β ) lim ±. Assim, qundo β m π, o ftor d intrfrênci vl. A condição nπ sn β β mπ qüivl d sn θ m. O gráfico dst ftor é : FI -π -π 0 π π β d snθ O gráfico d intnsidd rsultnt srá obtido prtir d multiplicção do ftor d intrfrênci plo d difrção. Como d >, dizmos qu o ftor d intrfrênci é moduldo plo ftor d difrção. O gráfico d intnsidd srá : I m0 (ordm zro) m ( ordm) m ( ordm) m3 (3 ordm) m4 (4 ordm) snθ d d 4 d d Como o o máximo scundário do ftor d difrção é crc d 4,5% do máximo cntrl, costum-s dsprz-lo por isto. São dsprzdos tmbém os dmis máximos scundários d difrção. prátic, o qu s obsrv são pns quls máximos d intrfrênci situdos dntro do máximo cntrl do ftor d difrção. Ests máximos são chmdos d "ordns d difrção". Assim 6

7 s m 0, tmos "ordm zro"; s m tmos ordm ssim por dint. Ests máximos obdcm qução d rd d sn θ m m 0,,... ntriormnt:. Csos spciis sn sn(β) D xprssão I I o podmos chgr lguns rsultdos já discutidos sn( β) sn(β) sn Pr o cso ond, trmos. Assim I I o, o qu nos rmt à sn( β) xprssão d difrção d fnd únic. sn β sn β cos β S, cos β, d modo qu xprssão d intnsidd srá: sn β sn β I 4I o sn cos β. S lrgur ds fnds for muito pqun, isto é s <<, ntão π snθ sn <<. Assim intnsidd srá xprssão d intrfrênci d Young d fnd dupl. I 4I o cos β, qu é justmnt b. Disprsão podr d rsolução d um rd d difrção. b. Disprsão Pr s tr um mdid do fstmnto ngulr ntr dus onds cujos comprimntos d onds são bstnt próximos, rcorrmos o concito d disprsão, qu é dfinido como: dθ D, ond dθ é sprção ngulr ntr dus linhs cuj difrnç d comprimnto d d ond é d. Difrncindo qução d rd, d snθ m, obtmos: d cosθ dθ m d dθ m D d dcos θ Obsrv qu qunto mior o númro d fnds por unidd d comprimnto, isto é, qunto mnor sprção d ntr s fnds, mior srá disprsão. 7

8 b. Lrgur d linh FI -π -π 0 π β Como firmmos ntriormnt, s ordns d difrção são justmnt os máximos do ftor d snβ intrfrênci. Obsrv qu st ftor é snβ nulo qundo snβ 0. Dst form, o primiro mínimo ocorr qundo st mínimo ocorrrá pr π β. Pr β ngtivo π β. Dst form π lrgur do pico é dfinido como β. Como usulmnt tmos >>, podmos considrr β muito pquno, isto é ldo sbndo-s qu linh quntidd π d snθ β, ntão dθ. d cosθ π β dβ. Por outro π d cosθ π dβ dθ. Dfinimos ntão lrgur d Obsrv qu d L, qu é lrgur d rd d difrção. Assim, qunto mior lrgur d rd, mnor srá lrgur d linh. Podmos ind xprssr dθ m função d ordm d difrção, usndo qução d rd: snθ m. Como cos θ sn θ, ntão: d dθ d m d Obsrv qu à mdid qu ordm m crsc, o trmo d riz dcrsc fzndo com qu lrgur ngulr d linh crsç. b3. Podr d rsolução. Qundo difrnç ntr os comprimntos d ond d dois fixs é pqun, podrá hvr suprposição d mbs s linhs, d form qu não podmos distinguir um d outr. Podmos utilizr um rd d difrção qu torn s lrgurs dsss linhs tão pquns d modo qu sprção ntr mbs s torn possívl. Em outrs plvrs dvmos usr um rd d grnd podr d rsolução. Est grndz é dfinid como 8

9 θ min linhs. θ θ min R, ond é o comprimnto d ond médio min min é o limit d rsolução, ou sj, difrnç mínim n qul sts linhs são rsolvids. Est grndz é dfinid plo critério d rsolução d Ryligh o qul stblc qu dus linhs são rsolvids qundo o máximo principl d um linh coincid com o primiro mínimo djcnt d outr linh. D figur o ldo pod-s prcbr qu sprção ngulr mínim qu obdc st critério é justmnt mtd d lrgur d linh, ou sj. Por outro ldo, usndo xprssão d disprsão, obtmos d cosθ θ m min d cosθ min. Igulndo mbs xprssõs, trmos d cosθ m min, o qu nos conduz à R m. d cosθ ot qu pr trmos um lvdo podr d rsolução é ncssário tr um lvdo númro d Por fim é intrssnt obsrvr qu o podr d rsolução stá ssocido com lrgur d linh, nqunto qu disprsão stá rlciondo com com sprção ntr os cntros ds linhs. 3. Difrção m fnd circulr A difrção d Frunhofr d um brtur circulr tm grnd importânci prátic no studo d instrumntos sistms óticos. O olho humno tm pupil d formto circulr. Os instrumntos óticos tis como os tlscópios, lunts, binoculos, tc prsntm objtivs com st formto todos ls prsntm pdrão d difrção. st tópico não irmos dmonstrr s xprssõs qu dscrvm difrção, um vz qu ncssitmos d instrumntos mtmáticos qu stão lém dos objtivos dst curso. Forncrmos pns xpssão qu dscrv o primiro mínimo d difrção um vz qu stá rlciond com um concito d sum importânci qu é o critério d rsolução d Ryligh. 9

10 P Suponh ntão um font puntiform, O monocromátic, d comprimnto d ond qu stá um grnd distânci d um orifício circulr d diâmtro. tl d obsrvção hvrá um pdrão d difrção qu Tl d obsrvção consist d um sucssão d néis concêntricos, cujo ponto cntrl (θ 0) corrspond um máximo d intnsidd. Mostr-s qu intnsidd m um ponto P d tl é dd por I I o J ( ), ond k snθ J () é chmd d função d Bssl (d primir spéci) d primir ordm. miori dos hndbooks ou softwrs mtmáticos xistm tbls com vlors numéricos d J () pr um xtns vridd d vlors d. I O primiro mínimo d difrção (qu corrspond J () 0) é ncontrdo pr 3,837. Assim, k snθ π snθ 3,837 Logo, o primiro mínimo ocorrrá qundo snθ, snθ Pr s ncontrr os outros mínimos d difrção, dvmos ncontrr os outros zros d J (). Isto ocorrrá qundo 7.056; 0.735; 3.337; As figurs o ldo mostrm distribuição d intnsidds do fix difrtdo por um fnd circulr.. Rsolução: o critério d Ryligh Suponh qu um strl O stj foclizd por um tlscópio simpls, como mostr figur o ldo. Como l stá um distânci muito grnd, su imgm O' irá s formr no ponto focl F' d lnt. Um sgund strl P tmbém stá sndo foclizd plo tlscópio, d modo qu su imgm P' é formd no plno focl d lnt. O qu s spr é qu mbs imgns O' P' sjm pontos luminosos distintos, qulqur qu sj distânci ntr s strls. Contudo isto não ocorr. Em grl, como brtur (ou própri P O θ Plno focl O P 0

11 lnt) do tlscópio tm formto circulr, s imgns prsntrão pdrão d difrção. Por outro ldo, s o ângulo θ for pquno, hvrá um suprposição dsss figurs d difrção, formndo um único "borrão", d modo qu não podrímos firmr s s trt d um imgm d um ou d dois objtos. Contudo, à mdid qu o ângulo θ crsc, s imgns irão s sprndo, té chgrmos um limit no qul podmos firmr qu o "borrão" constitui, n vrdd, d um suprposição d dus imgns. vrdd, st limit não é bm dfinido, ms pr rtirr o crátr subjtivo d cd um dfinir o su limit, convncionou-s stblcr um critério objtivo: trt-s do critrio d rsolução d Ryligh o qul firm qu o limit d rsolução, isto é o ponto prtir do qul s dus imgns strão rsolvids (discrnívis), é qundo o máximo cntrl d figur d difrção d um ds imgns coincid com o primiro mínimo d difrção d outr imgm. Assim, o limit d rsolução ngulr é ddo por: θr rc sn. Dst form, s os dois objtos O P stivrm sprdos por um distânci ngulr mior qu θ R s imgns strão rsolvids; s st ângulo for mnor qu st limit d rsolução, s imgns strão sobrposts d form qu não podmos fzr distinção ntr um ou outr imgm. st cso s imgns não são rslovids. 0. snθ As figur bixo, à squrd, mostr um situção ond s fonts s ncontrm m um distânci ngulr igul o ângulo d rsolução ngulr, nqunto qu à dirit distânci ngulr é mior qu st limit. BIBLIOGRAFIA. Fowls G.R., Introduction to Modrn Optics. Jnkins F., Whit H., Fundmntls of Optics 3. McKlvy J.P., Grotch H., Físic, vol.4 4. Crwford F.S., Onds - Curso d Físic d Brkly, vol. 3