Aulas práticas: Introdução à álgebra geométrica

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1 Auls prátics: Introdução à álgr gométric Prolm Mostr qu ár A do prllogrmo d figur nx é dd por A= = αβ αβ y β α α β β A = αβ αβ α x α β = α + α, = β + β = = αβ + αβ = = ( αβ αβ)( ) = + = = 0 = = = 0 =

2 Prolm Considr álgr gométric do plno dois multivctors A B dst álgr, G grd pl s ortonormd {, } Ddos A = α + α + α + α B = β + β + β + β 0 0, dtrmin o multivctor M = AB = µ + µ + µ + µ 0 Prolm Mostr qu álgr mtricil Mt (, ) ds mtrizs ris é isomórfic à álgr gométric G Sugstão: Considr s corrspondêncis ,,, I m qu, como é hitul, s rprsnt o psudosclr unitário por I = = Not qu, no âmito dst isomorfismo, s tm A α α α α + α α I α + α 0 = α α α0 α M = ( α δ) ( α δ) ( β γ) ( β γ) α β I γ δ Not, ind, qu oprção d trnsposição mtricil T α β α γ γ δ = β δ

3 corrspond, n álgr gométric G, à oprção d rvrsão A A m qu A = α + α + α + α I A = α + α + α α I 0 0 Prolm 4 Considr álgr gométric G grd pl s ortonormd { }, considr o psudosclr I = = Mostr qu o produto gomético odc à tl multiplictiv I I I I Not qu qu álgr G é um álgr grdud com + + = Λ =, = Λ, = G G G G G Um multivctor gnérico d G é, com fito, som d um sclr (m ) com um vctor (m ) com um ivctor ou psudosclr (m + Λ ) A prt pr G d álgr é isomórfic o corpo dos complxos nqunto qu prt ímpr G é isomórfic os vctors no plno Not-s, porém, qu não s dv confundir I = com i =, psr d I = i = Com fito, tm-s ri= ir r = α+ α ri = Ir = α α

4 r ri I r = ri Y I r = x + y I = i z = x+ iy X R Plno dos vctors: = G Plno complxo: = G + Prolm 5 Considr álgr gométric A = + B = + I Vrifiqu qu () Sjm ( ) G grd pl s ortonormd { } A = A, B = 0 () Sjm =, = + r = 5 Dtrmin α β n dcomposição r = α + β Solução: α = β = (c) Sjm = 8 = + Vrifiqu qu = 6+ = 4 (d) Sjm =, = + r = 4 Vrifiqu qu o rflctir r m rlção o vctor s otém r = r =, o rflctir o rsultdo r m rlção o vctor 5, s otém r = r = + 4 4

5 Y I = X r = x + y = + + ( + ) = + r x y xy x y = ( ) ( ) ( ) = = = r r r r = r r = ( ) r = ( + ) = r r r r r 5

6 Prolm 6 Mostr qu composição d dus rflxõs, primiro m rlção o vctor m sguid m rlção o vctor, é quivlnt à rotção d um ângulo qu é o doro do ângulo ntr os vctors P P O P r r = r r = r ( ) ( ) ( ) r = r = r Em prticulr, s = =, tm-s = =, ( ) =, plo qu = =, = xp ( ) r r RrR R r R Iθ ond θ θ = cos, = Isin θ θ θ R= = xp I = cos I sin θ θ θ R = = xp I = cos + I sin RR = = = = = ri Ir rr R r 6

7 Prolm 7 Vrifiqu qu: (i) ( + 4i) = ( 4i) ; (ii) 4i ( i) i = i, ± i 5 π ln + i = ln + i + iπ k com k 4 ; (v) ( ) + =± + ; (iii) 4 4 =± ± i ; (iv) Prolm 8 Fç z k π k = xp i, com,,, n k = n Vrifiqu qu ( )( ) ( ) z z zn = n n Sugstão: Comc por notr qu s rízs d x = 0 são prcismnt os númros complxos n z Ms ntão = ( )( ) ( ) k ( ) = ( )( ) ( ) f x x z x z x z n x x z x z x z, tm-s 0 n Agor, dfinindo função n x f ( x) =, x x Ms, por outro ldo, n n x + x + x + + x =, x x Assim, m grl, é possívl scrvr n ( ) ( ) f x = + x+ x + + x f = n Infr-s, finlmnt, qu ( )( ) ( ) z z zn = n tl como s prtndi vrificr 7

8 Prolm 9 Mostr qu o corpo dos complxos não pod sr ordndo Sugstão: Em grl, stlcr um rlção d ordm num corpo F consist m dtrminr um suconjunto P F qu odç às propridds 0 P s F 0, ntão ou P ou P (ms não ms s possiilidds) + P P, quisqur qu sjm, P É hitul dsignr P por conjunto dos númros positivos por P { P} = o conjunto dos númros ngtivos A proposição P é quivlnt scrvr > O cso prticulr m qu P { 0} corrspond Ms ntão, num conjunto ordndo, os qudrdos dos sclrs não nulos são smpr positivos A som d qudrdos d sclrs é tmém smpr positiv, consquntmnt, não pod sr nul Porém, iguldd i + = 0 i + = 0 sndo válid m mostr qu não é vrddir proposição i + > 0 Infr-s, portnto, qu o corpo não pod sr ordndo Prolm 0 A álgr xtrior (ou álgr d Grssmnn) do spço é dsignd por Λ, com Λ = Λ Λ O suspço ortonormd do spço Λ é o spço dos ivctors Supondo qu { }, ntão um s do spço dos ivctors é,, é um s 8

9 {,, } Rprsnt grficmnt st s Clcul o produto intrno ( x x ) ( y y ) α = Sugstão: Not qu α = x y x y x y x y Dtrmin ár do triângulo cujos vértics são os pontos (, 4, 6), ( 5, 4, ) ( ) 0,0,0 Solução: Fçmos = 4 6 = 5 4 Então = 6( ) + 8( ) 6( ) = = 8 O suspço Λ é o spço dos lmntos d volum orintdos O produto xtrior c, m qu = + +, = + + c= c+ c+ c, é ddo plo prllpípdo orintdo com rsts, c, tndo-s 9

10 c= c c c Not-s qu (com c,, ) ( ) c= ( c) c= c = c = c = c = c ( ) ( ) x y x y x y β = x x x y y y = x y x y x y x y x y x y Dtrmin o volum do prllpípdo cujs rsts são = + 4, = + c = + Solução: c 7( ) =, c = 7 Prolm No âmito do spço ordinário tridimnsionl, mostr qu o produto intrno pod sr xprsso m trmos do produto xtrno do produto xtrior n form = ( ( )) dsd qu os vctors não sjm prllos 0

11 Sugstão: Comc por notr qu ( ) = ( ) m qu, n álgr gométric G, s tm = = Rcord qu o produto gométrico d dois vctors (, ) pod sr xprsso m trmos do produto intrno (, ) (, ) : = ( + ) = + = do produto xtrior ( ) c= B = Comntário: N dfinição do vctor c= é ncssári um métric pr dtrminr dircção prpndiculr o ivctor B = O ivctor B =, porém, é indpndnt d qulqur métric Prolm Dfin-s o dul d Hodg d um vctor como sndo o ivctor Λ tl qu ( )( ), = Anlogmnt, dfin-s o dul d Hodg d um ivctor A tl qu A Λ como sndo o vctor

12 = ( )( ), Λ B A B A B Num s ortonormd {,, } d, m qu α α α = + +, mostr qu = = ( ) + ( ) + ( ) Λ A α α α Mostr ind qu ( ) ( ) ( ) ( ) = = I = = I ond I = = é o psudosclr (ou trivctor) unitário d álgr gométric G A = = I Prolm Mostr qu, no spço n álgr G, s tm ( ) ( ) ( ) = = + d modo qu = cosθ = = sinθ

13 θ sinθ cosθ Sugstão: Not qu = = ( + )( ) tndo-s ( ) = um vz qu ( ) 0 0 Prolm 4 Mostr qu, pr c,,, s tm c = ( c c) c = c + c + c c c c 6 ( ) Sugstão: Not qu, fzndo B = c, s tm B= B+ B B= B = B+ B B= B = B B ( ) ( )

14 ( B) B ( ) = = B B B = = B B = = B = B Prolm 5 Considr álgr gométric i j, G grd pl s ortonormd {,, } Fçmos, pr =, = = ij i j I () Pr o ivctor B = + vrifiqu qu B = 0 ( ) B = + 0 () Sjm = B = Vrifiqu qu B= B= (c) Sjm = B = 7 + Vrifiqu qu = =