MAT2453 Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia I P2 2014

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1 MAT45 Cálculo Difrncial Intgral para Engnharia I P 04 Vrsão A Enviado para

2 -A- --- Qustão (Valor:.0 pontos). Dado o gráfico d f () = - + abaio, dtrmin a ára comprndida ntr os gráficos d f g() = - +, para O ~ ~. -S - + I - I + U i. A clrq. I?tos:-l...wtQ<::iQ ri J ~ ~ _ o [~(~)-~ ()) d + r z= \ ~ [.}- D~-\, XJd~ ~ ~z [-,.(!.d-l-.d.x- - )0 - _ ~ ~ ~ ) I+-( _ ":to (."'- XZ ') q 4. ô " i - \ -t + (- ~ + 5-4) - ~- ~ ~ - \) - ~ ~ (~(.()- Ç(J<I}<

3 -A- Qustão (Valor:.5 pontos). Mostr qu arct~~()::;, para todo > O..l\ {U.L-lsM fh.') :oar,jqn () ' du' lj~ C damiv oujj vcuq) wt,~, faca CQda. J<. >o y>sso ~llccli o I, V M.?a.ill o-- fu Y çcio f '0 IV\ -I..tu c&o [o I X J ob~~: - L ] o I L [ -*00 ~ ~ ~) -.f(~) = R' (-L~ 'X..-o Co~,..(> ( ') = \ «) \.I~f ~ ~!O)-=< ~ -t\:x-) {J.l cd.~ \5X ~ «.! I Ou ~JQ) \~ (.) ;Z.. V- '/ o

4 MAT Gabarito a Prova -A- Qustão (Valor:.5 pontos). Considr a lips d quação 5 + y = todos os triângulos rtângulos construídos com um dos vértics m (5, 0), um sobr a lips o trcito sobr o io O, como 9 na figura abaio. Justifiqu a istência, dntr sss triângulos, d um com ára máima dtrmin as mdidas d sua bas sua altura. y Solução. Dnotando por (, 0) as coordnadas do vértic móvl sobr o io O, tmos qu a bas do triângulo md b = 5, com 5 5. A altura h do triângulo é, para cada dscrita acima, o númro y 0 tal qu 5 + y 9 h = 5 5. Dst modo a ára do triângulo, m trmos d, é dada por A() = bh = 0 (5 ) 5, com 5 5. =, ou sja, A função A() ating valor máimo mínimo, pois é contínua stá dfinida num intrvalo fchado. Os candidatos a ponto d máimo ou mínimo são os trmos do intrvalo [ 5, 5] os pontos críticos m su intrior, os quais são as soluçõs d A () = 0. Assim, 0 = A () = 0 = 0 [ 5 [ ] ] (5 ) 5 Logo, A () = 0, com ] 5, 5[ s somnt s = 5. Para vrificar qu st ponto crítico é um ponto d máimo local podmos utilizar o tst da sgunda drivada (muito trabalho!) ou analisar o sinal d A () numa vizinhança d = 5 o qu, nst caso, é bm mais simpls: s 5 < < 5 tmos A () > 0, s 5 < < 5 tmos A () < 0. Portanto = 5 é máimo local, com A( ) 5 = Como A( 5) = A(5) = 0, tmos qu = 5 é máimo global. Nss caso as dimnsõs do triângulo são b = 5 h =.

5 -A- (4,0) Qustão 4. Esboc, no spaço abaio, o gráfico da função f() =, dtrminando: i) o domínio d f its prtinnts; D f = R\{0, } a) = [ ] = b) + = [+ ] = + c) 0 d) 0 + ) f) + 0 = L H 0 = [0 0] = 0 [ = ] = [ = + ] = = L H 0 = 0 = ii) os intrvalos d crscimnto dcrscimnto d f ; ( ( ) f () = ( ) + ) = ( ) ( ) ր ց ց ց ր f f = 5 é um ponto d máimo local = + 5 é um ponto d mínimo local d f. Tmos qu f( 5 ) < f( + 5 ) >. iii) concavidads pontos d inflão, sabndo-s qu f () = + ( ) ; f + + f 0 f não admit ponto d inflão.

6 iv) assíntotas, s istirm. a) Tmos qu + f() = ( f() ) + + = [ ] = = m. ( ) = L H + + = + + = 0 = n. Portanto, y = + 0 é uma assíntota oblíqua (para + ). f() b) Analogamnt, tmos qu = = = m. ( ) ( f() ) = 0 = n. Portanto, y = + 0 é uma assíntota oblíqua (para ). c) Como 0 d) Como ) Como + =, ntão = 0 é uma assíntota vrtical. =, ntão = é uma assíntota vrtical. = +, ntão = é uma assíntota vrtical. f) Como istm assíntotas oblíquas, não istm assíntotas horizontais. + + v) Portanto, o gráfico d f é: y

7 MAT45 Cálculo Difrncial Intgral para Engnharia I P 04 Vrsão B Enviado para

8 Qustão (Valor:.0 pontos). Dado o gráfico d f() = - + abaio, dtrmin a ára comprndida ntr os gráficos d f g( ) = - +, para Os:; s:;. -B- -fc.)-(~~f() "" -l-.~+x. = XCX.-()C~-.) <O &-t'~g.q OQ -f - ' do do t'~ g o i z..

9 MAT Gabarito a Prova -B- Qustão (Valor:.5 pontos). Considr a lips d quação 6 + y = todos os triângulos rtângulos construídos com um dos vértics m (4, 0), um sobr a lips o trcito sobr o io O, como 9 na figura abaio. Justifiqu a istência, dntr sss triângulos, d um com ára máima dtrmin as mdidas d sua bas sua altura. y Solução. Dnotando por (, 0) as coordnadas do vértic móvl sobr o io O, tmos qu a bas do triângulo md b = 4, com 4 4. A altura h do triângulo é, para cada dscrito acima, o númro y 0 tal qu 6 + y 9 h = 4 6. Dst modo a ára do triângulo, m trmos d, é dada por A() = bh = 8 (4 ) 6, com 4 4. =, ou sja, A função A() ating valor máimo mínimo, pois é contínua stá dfinida num intrvalo fchado. Os candidatos a ponto d máimo ou mínimo são os trmos do intrvalo [ 4, 4] os pontos críticos m su intrior, os quais são as soluçõs d A () = 0. Assim, 0 = A () = 8 = 8 [ 6 [ ] ] (4 ) 6 Logo, A () = 0, com ] 4, 4[ s somnt s =. Para vrificar qu st ponto crítico é um ponto d máimo local podmos utilizar o tst da sgunda drivada (muito trabalho!) ou analisar o sinal d A () numa vizinhança d = o qu, nst caso, é bm mais simpls: s 4 < < tmos A () > 0, s < < 4 tmos A () < 0. Portanto = é máimo local, com A( ) = 9 máimo global. Nss caso as dimnsõs do triângulo são b = 6 h =. Como A( 4) = A(4) = 0, tmos qu = é.

10 -B- (4,0) Qustão 4. Esboc, no spaço abaio, o gráfico da função f() = +, dtrminando: i) o domínio d f its prtinnts; D f = R\{, 0} a) b) + + = [ ] = + = [+ ] = + c) 0 + = [0 0] = 0 d) [ ) + = f) + + = = + L H 0 + ] = [ + ] = = L H = + ii) os intrvalos d crscimnto dcrscimnto d f ; ( (+) f () = (+) ) + = (+) (+) ր ց ց ց ր f f = 5 é um ponto d máimo local = + 5 é um ponto d mínimo local d f. Tmos qu f( 5 ) < f( + 5 ) >. iii) concavidads pontos d inflão, sabndo-s qu f () = + (+) ; f f 0 f não admit ponto d inflão.

11 iv) assíntotas, s istirm. a) Tmos qu + f() = ( f() ) = L H = [ ] = = m. ( ) = 0 = n. Portanto, y = + 0 é uma assíntota oblíqua (para + ). = + + f() b) Analogamnt, tmos qu = + = = m. ( ) ( f() ) + = 0 = n. Portanto, y = + 0 é uma assíntota oblíqua (para ). c) Como = +, ntão = 0 é uma assíntota vrtical. d) Como + =, ntão = é uma assíntota vrtical. ) Como + + = +, ntão = é uma assíntota vrtical. f) Como istm assíntotas oblíquas, não istm assíntotas horizontais. + + v) Portanto, o gráfico d f é: y