CAPÍTULO 9 COORDENADAS POLARES

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1 Luiz Frncisco d Cruz Drtmnto d Mtmátic Uns/Buru CAPÍTULO 9 COORDENADAS POLARES O lno, tmbém chmdo d R, ond R RR {(,)/, R}, ou sj, o roduto crtsino d R or R, é o conjunto d todos os rs ordndos (,), R El é rrsntdo lo Sistm d Coordnds Crtsins Ortogonl, o qul é constituído or dois ios rndiculrs ntr si, cuj intrsção é o r ordndo O(0,0), chmdo d origm do sistm Esss ios são dnotdos or O O chmdos d ios coordndos, orintdos como mostr figur bio O (+) I II,) ( ) (0,0) O (+) III IV ( ) Todo onto,) do lno é rrsntdo como n figur cim, ond são s sus coordnds, rsctivmnt m rlção os ios O O Eist um corrsondênci biunívoc ntr rs ordndos d númros ris ontos do sistm d coordnds crtsins ortogonis No ntnto, ist outro sistm d coordnds cz d rrsntr o lno É o Sistm d Coordnds Polrs, o qul é constituído or ns um smi-io, chmdo d smi-io olr um onto d origm, chmdo ólo Todo onto P do lno é rrsntdo or um r ordndo (,), ond é à distânci do onto P o ólo é o ângulo formdo ntr o sgmnto P o smi-io olr O ângulo é mdido m rdinos rtir do io olr no sntido nti-horário Assim, 0 0 π,)

2 Luiz Frncisco d Cruz Drtmnto d Mtmátic Uns/Buru Emlo (1): Rrsntr no Sistm d Coordnds Polrs os sguints ontos do lno: ), π ) b) Q(5, π ) c) R(, π ) Q 5 π π π P R Podmos rlcionr o Sistm d Coordnds Crtsins Ortogonis com o Sistm d Coordnds Polrs Coincidindo origm O(0,0) do sistm crtsino com o ólo do sistm olr o smi-io olr com o smi-io ositivo do io O O O,) (, ) O No triângulo rtângulo tmos: + cos cos Pod-s sn sn dtrminr o ângulo ls rlçõs ntriors ou or rctg, obsrvndo os sinis ds coordnds r dfinir qul qudrnt rtnc o ângulo cos Portnto, s rlçõs +, são considrds s quçõs d sn trnsformção d coordnds ntr o sistm crtsino o sistm olr Emlo (): Trnsformr d coordnds crtsins r coordnds olrs os sguints ontos do lno: ) 5 5 P, b) Q(1, 1) Solução: Usndo s quçõs d trnsformção tmos:

3 Luiz Frncisco d Cruz Drtmnto d Mtmátic Uns/Buru 5 5 ) cos cos 5 sn sn cos sn 1 π Portnto, 5, π 6) 6 b) 1 + ( 1) cos cos sn sn 1 cos 1 sn 7π 4 Portnto, Q(, 7π 4) Emlo (): Trnsformr d coordnds olrs r coordnds crtsins os sguints ontos do lno: ) (, 4 ) P π b) Q(7, 5π 6) Solução: ) Usndo s quçõs d trnsformção tmos: cos cos sn sn 4π 4π 1 Portnto, 1, ) b) Anlogmnt r o onto Q: 7cos5π 6 7sn5π Portnto, 7 7 Q, 1 Equção Polr ds Cônics 11 Circunfrênci Sj um circunfrênci, rrsntd no sistm olr, d cntro C(, α) rio r Sj, ) um onto qulqur d circunfrênci, ) α -α C r Alicndo Li dos co-snos no triângulo CP, tmos: r + cos( α), qu é qução olr d circunfrênci

4 Luiz Frncisco d Cruz Drtmnto d Mtmátic Uns/Buru Alguns csos intrssnts são: ) circunfrênci qu contém o ólo Nst cso r, ) -α C r α r + r rcos( α) ( r cos( α) 0 r cos( α) r cos( α) Ds rlçõs ntriors vm qu: 0 é chmd d qução do ólo rcos( α) é qução d circunfrênci qu contém o ólo b) circunfrênci com cntro sobr o ólo Nst cso 0, ) r C r cos( α) r r Portnto, rssão r é qução d circunfrênci com cntro sobr o ólo 1 Elis Considr um lis d io mior horizontl A 1 A, io mnor B 1 B b, distânci focl F 1 F c cntro C(m,n) como n figur bio Sj, ) um onto qulqur d lis, n qul fzmos coincidir o ólo com o foco F 1 o io olr com o io mior d lis B 1, ) A 1 F 1 c F A B

5 Luiz Frncisco d Cruz Drtmnto d Mtmátic Uns/Buru Alicndo Li dos cossnos no triângulo F 1 F P vm qu: + 4c 4ccos D dfinição d lis tmos qu F P + F P 1 + Substituindo n rssão d li dos cossnos vm qu: ( ) + 4c 4ccos c 4ccos D rlção notávl d lis b + c c b Então: 4 c ( ccos) 14 b b ( ccos) b Portnto, ccos b, qu é qução ccos olr d lis D qução olr b, dividindo todos os trmos do sgundo ccos mmbro d rssão l constnt, vm qu b c cos Fzndo b, chmdo d râmtro d lis c é cntricidd Assim, qução olr d lis é mis comumnt dd or 1 cos 1 Hiérbol Considr um hiérbol d io rl horizontl A 1 A, io mnor B 1 B b, distânci focl F 1 F c cntro C(m,n) como n figur bio Fçmos coincidir o ólo com o foco F o io olr com o io rl d hiérbol Sj, ) um onto qulqur d hiérbol F 1 C c, ) 180 o - F Alicndo Li dos cossnos no triângulo F 1 F P vm qu: o + 4c 4ccos(180 ) D dfinição d hiérbol tmos qu

6 Luiz Frncisco d Cruz Drtmnto d Mtmátic Uns/Buru F1 P FP + Substituindo n rssão d li dos cossnos: ( + ) + 4c + 4ccos c + 4ccos c ( + c cos) D rlção notávl d hiérbol c + b c b 1 44 c ( + c cos) Portnto: b b, qu é ccos qução olr d hiérbol D qução olr b, dividindo todos os trmos do sgundo ccos mmbro d rssão l constnt, vm qu b c cos Fzndo b, chmdo d râmtro d hiérbol c é cntricidd Assim, qução olr d hiérbol é mis comumnt dd or 1 cos 14 Prábol Considr um rábol d io d simtri horizontl com vértic V, foco F RF Sj,) um onto qulqur d rábol Fçmos coincidir o ólo com o foco F o io olr com o io d simtri d rábol (d) R V Q, ) 180 o - - F No triângulo PQF vm qu: o cos(180 ) cos, 1 cos ond é o râmtro d rábol Portnto, qução olr d rábol é 1 cos OBS: Not qu, lis, hiérbol rábol têm s quçõs olrs smlhnts mnos d cntricidd c qu r lis ( 0 < < 1) r

7 Luiz Frncisco d Cruz Drtmnto d Mtmátic Uns/Buru hiérbol ( > 1) Outro fto imortnt é qu, sr d dotrmos os msmos símbolos A 1 A, B 1 B b F 1 F c r lis r hiérbol, ls tm significdos gométricos difrnts n dfinição d cd cônic, msmo orqu rlção notávl d lis é b c d hiérbol é + b Assim, o c + râmtro b, dotdo n qução olr d lis d hiérbol é difrnt não tm nd m comum com o râmtro d dfinição d rábol Emlo (4): Dtrmin qução grl d circunfrênci d qução olr 6 sn Solução: Ds dfiniçõs d coordnds olrs vm qu + sn sn Substituindo n qução 6 sn vm qu: Emlo (5): Dd lis d io mior horizontl qução olr, scrvr sus quçõs rmétrics qução rduzid 5 cos Solução: Ds dfiniçõs d coordnds olrs vm qu + cos cos Substituindo n qução 5 cos vm qu: 5 5 ( 5 ) ( ( 5 ) ( + ) ) Escrvndo n form rduzid vm qu: 16 ( ) ( 6) ( 6) (qução rduzid) Como lis é d io mior horizontl ntão: b b 8 cntro C (6,0) (m,n) Assim, sus quçõs rmétrics são: m+ bcos n+ sn cos 8 sn

8 Ercícios Proostos CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Luiz Frncisco d Cruz Drtmnto d Mtmátic Uns/Buru 1) Dtrmin qução grl d circunfrênci d cntro C(, π ), sbndo-s qu l ss lo onto 6, 11π 6) Rs: ) Qul é qução olr d lis d qução grl ? Rs: 1 1 cos ) Sj hiérbol d qução Dtrmin su qução olr 9 s coordnds olrs dos focos Rs:, F1(5,0) F(5, π ) 4 5cos 4) Dtrmin qução olr s coordnds olrs do vértic d rábol Rs: cos V( 5, ), ond 5 rcsn, do 1º qudrnt 5 5) Sj hiérbol d io vrticl cntro n origm, cuj qução olr é 4 Dtrmin su qução rduzid s quçõs rmétrics 5 7cos Rs: tg 5sc + 0cos 64 6) Dtrmin qução olr d lis Rs: + 16sn 5 cos 7) O foco d um rábol é o onto (4,) su dirtriz é rt Dtrmin su qução olr Rs: 1 cos