EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ª ORDEM

Transcrição

1 Caítulo II EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ª ORDEM

2 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm Caítulo II Até agora já conhcmos uma séri d quaçõs difrnciais linars d rimira ordm Dfinirmos considrarmos agora quaçõs difrnciais linars d sgunda ordm Equaçõs Linars Homogénas Uma quação difrncial d sgunda ordm é chamada linar s od sr scrita na forma + ( ) + q( ) r( ) não linar s não od sr scrita nsta forma O traço caractrístico dsta quação consist no facto d sr linar na função dsconhcida nas suas drivadas, nquanto qu q, bm como r à dirita odm sr quaisqur funçõs dadas d S o rimiro trmo for, digamos, f ( ), tmos qu dividir or f ( ) ara obtr a forma adrão, com como o rimiro trmo, o qu é quívl S r ( ) - isto é, ( ) considrado ntão + ( ) + q( ) r( ) r ara todo o torna-s simlsmnt + ( ) + q( ) é chamada homogéna S ( ) r ntão é chamada não homogéna Isto é similar ao qu vimos antriormnt As funçõs q são chamadas os coficints das quaçõs Um mlo d uma quação difrncial linar não homogéna é homogéna é ( ) + 6 linars são ( + ) sin Um mlo d uma quação linar Emlos d quaçõs difrnciais não + Suormos qu varia num intrvalo abrto I, todas as suosiçõs afirmaçõs s rfrm a I, qu não ncssita d sr scificado m cada caso (Rcordmos qu I od comrndr todo o io dos ) Uma solução d uma quação difrncial linar ou não linar d sgunda ordm num intrvalo abrto a < < b é uma função h( ) qu tm drivadas h ( ) h ( ) satisfaz aqula quação difrncial ara todo o no intrvalo I ; isto é, a quação torna-s uma idntidad s substituirmos a função dsconhcida as suas drivadas or h las suas corrsondnts drivadas 9

3 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm Equaçõs Homogénas: Princíio d Surosição ou Linaridad Emlo - são soluçõs da quação difrncial linar homogéna ara todo o orqu ara obtém-s ( ) similarmnt ara Podmos ir até um ouco mais além Pod multilicar-s or difrnts constants, digamos, -3 8 ou quaisqur outros númros dois tomar a soma vrificar qu sta é outra solução da nossa quação homogéna orqu ( ) ( ) ( ) Est mlo ilustra o facto trmamnt imortant d qu d uma quação linar homogéna + ( ) + q( ), odmos obtr smr novas soluçõs d soluçõs conhcidas or multilicação d constants or adição É vidnt qu isto é d grand vantagm orqu dst modo od obtr-s mais soluçõs d soluçõs dadas No caso acima ara ( ) ( + c c ( ) obtém-s uma solução da forma c, c constants arbitrárias) Chamamos a isto uma combinação linar d Utilizando st concito, odmos agora formular o rsultado sugrido lo nosso mlo, frquntmnt dnominado d rincíio da surosição ou rincíio da linaridad Torma Para uma quação difrncial linar homogéna + ( ) + q( ) qualqur combinação linar d duas soluçõs num intrvalo abrto I é novamnt uma solução da quação antrior m I Em articular, ara uma tal quação, somas múltios constants das soluçõs são novamnt soluçõs Torma fundamntal Dmonstração Sjam la substituição d c + c m I Então, soluçõs d + ( ) + q( ) q as suas drivadas m + ( ) + ( ) c +, tc, obtém-s c c + c usando a rgra já familiar ( ) + + q + Então tm-s ( c + c ) + ( c + c ) + q( c c ) ( c + c ) + q( c + c ) c ( + + q ) + c ( + + ) c + c + q 3

4 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm, uma vz qu na última linha, ( ) orqu são soluçõs, or assim m I s assumir Isto mostra-nos qu é uma solução d + ( ) + q( ) Atnção! - Rlmbrmos smr st imortant torma mas não squçamos qu não s vrifica ara quaçõs linars não homogénas ou quaçõs não linars como o mlo a sguir dmonstra Emlo A substituição mostra qu as funçõs + cos + sin são soluçõs da quação difrncial linar não homogéna +, mas as funçõs sguints ( + cos ) ( cos ) + ( + sin ) difrncial +, não são soluçõs dsta quação Emlo A substituição mostra qu as funçõs são soluçõs da quação difrncial não linar, mas as sguints funçõs + não são soluçõs dsta quação difrncial Problma d Valor Inicial Solução Gral Bas Para uma quação difrncial d rimira ordm, uma solução gral nvolvia uma constant arbitrária c, num roblma d valor inicial utilizava-s uma condição inicial ( ) ara ncontrar uma solução articular na qual c assumia um valor dtrminado A idia d uma solução gral ra ncontrar todas as condiçõs ossívis, ara quaçõs linars, éramos bm sucdidos, orqu não istiam soluçõs singulars Vamos stndr agora sta idia a quaçõs d sgunda ordm: ara + + q, uma quaçõs linars homogénas d sgunda ordm ( ) ( ) solução gral srá da forma c + c, uma combinação linar d duas soluçõs nvolvndo duas constants arbitrárias c, c Um roblma d valor inicial consist K, agora na quação + ( ) + q( ) duas condiçõs iniciais ( ) ( ) K, stablcndo valors K K da solução da sua drivada dcliv da curva ara o msmo valor dado no intrvalo abrto considrado Usarmos ( ) K, ( ) K ara obtr d c + c uma solução articular d 3

5 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm ( ) + q( ) +, na qual c c assumm valors dfinidos Ilustrmos isto com um mlo simls qu nos ajudará também a vr a ncssidad d imor uma condição m m c + c Emlo Rsolva o roblma d valor inicial, ( ) 5, ( ) 3 O rimiro asso da rsolução consist no sguint: vimos tommos c são soluçõs já o c + c º asso: da condição inicial, uma vz qu c c, obtmos ( ) c + c 5, ( ) c 3 c Assim, c 4, A rsosta srá ntão dada substituindo na condição gral c + c os valors obtidos, isto é, tm-s 4 + Nota: S no mlo acima tivssmos assumido ( c + c l) l, obtndo assim c + cl, a nossa solução não tria sido suficintmnt gral ara satisfazr as duas condiçõs iniciais rsolvr o roblma Vjamos orquê: são roorcionais, ram, l, nquanto qu os antriors não o Esta é a qustão rincial, motivando as dfiniçõs sguints, bm como a sua imortância m rlação aos roblmas d valor inicial Dfinição (Solução Gral Bas Solução Particular) Uma solução gral d uma quação + ( ) + ( ) q num intrvalo abrto I é uma solução c + c com soluçõs não roorcionais d ( ) + q( ) + m I c, c constants arbitrárias são ntão m I chamados uma bas ou sistma fundamntal d + ( ) + q( ) Uma solução aticular d + ( ) + ( ) q m I é obtida s tomarmos valors scíficos ara c c m c + c são chamados roorcionais m I s k ou l s vrificam ara todo o m I, ond k l são númros Na vrdad, odmos também formular a nossa dfinição d bas m trmos d indndência linar Dizmos qu duas funçõs ( ) ( ) são 3

6 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm linarmnt indndnts num intrvalo ond são dfinidas s k ( ) + k ( ) m I imlica k, k, dizmos qu las são linarmnt dndnts m I s a quação também s vrifica ara algumas constants k, k não ambas nulas Então, s k ou k, odmos dividir rsolvr, obtndo k ou k k k Assim, são roorcionais, nquanto qu no caso d indndência linar, não o são Tm-s assim o sguint: uma bas d soluçõs d + ( ) + q( ) num intrvalo I é um ar, d soluçõs linarmnt + + q m I indndnts d ( ) ( ) Emlo - no mlo antrior formam uma bas da quação difrncial ara todo o Assim uma solução gral é obtida no mlo antrior constitui uma solução articular da quação c + c A rsosta Na rática, utiliza-s normalmnt uma solução gral ara ncontrar soluçõs articulars, através da imosição d duas condiçõs iniciais, orqu é a solução articular qu dscrv o comortamnto único d um dtrminado sistma físico ou outro Para já fimos o sguint: s os coficints q d ( ) + q( ) r( ) + a função r são contínuas m algum intrvalo I, ntão ( ) + q( ) r( ) + tm uma solução gral m I, da qual s obtém a solução + + q r K, d qualqur roblma d valor inicial ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) K m I, qu é única + ( ) + q( ) r( ) singulars isto é, soluçõs não obtidas d uma solução gral não tm soluçõs Equaçõs Homogénas com Coficints Constants Vrmos aqui como rsolvr quaçõs linars homogénas + a + b cujos coficints a b são constants Estas quaçõs têm alicaçõs imortants, scialmnt no qu diz rsito a vibraçõs mcânicas léctricas Para rsolvr + a + b, lmbrmos qu uma quação difrncial linar d rimira ordm 33

7 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm + k com k como coficint constant tm uma função onncial como solução, b a k, o qu nos dá a idia d tntar como solução d + a + função λ Substituindo λ as drivadas λ λ λ na λ quação + a + b λ, obtém-s ( λ λ ) + a + b Assim, λ é uma solução d + a + b, s λ é uma solução da quação quadrática λ + aλ + b Esta quação é chamada a quação caractrística ou quação auiliar d + a + b λ ( a a 4b ) soluçõs d + a + b ( a a 4b ) As suas raízs são ( a a 4b ) + A drivação mostra qu as funçõs λ, λ λ são Dirctamnt d ( a a 4b ) + λ λ vmos qu, dndndo do sinal do discriminant a 4b, obtém-s: Caso I raízs rais s a 4b > Caso II uma raíz dula ral s a 4b Caso III raízs conjugadas comlas s a 4b < Caso I Duas raízs rais distintas λ λ Nst caso, λ constitum uma bas d soluçõs d + a + b λ num qualqur intrvalo - orqu não é constant A corrsondnt solução gral é λ λ c + c Emlo Podmos agora rsolvr d uma forma sistmática A quação caractrística é λ As suas raízs são λ λ Assim, uma bas é, como antriormnt, tm-s a solução gral c + c 34

8 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm Caso II Raíz ral dula λ a Quando o discriminant 4b ( a a 4b ) a, ntão ( a a 4b ) + λ, λ rmit anas obtr uma raíz λ λ λ a, ( a ) obtndo-s inicialmnt somnt uma solução Para ncontrar uma sgunda solução, ncssária ara uma bas, utiliza-s o método d rdução d ordm Isto é, dfin-s u as suas drivadas u + u m + a + b u + u + u ( u + u ) + Obtém-s ( u + u + u ) + + a bu Agruando os trmos, tm-s u + ( u + a )+ ( + a + ) + b u A rssão no último arntss é nula, uma vz qu uma solução d + a + b A rssão no rimiro arntss é nula, a também, uma vz qu a a Ficamos assim com u Assim u Através d duas intgraçõs, u c + c Para ncontrar uma sgunda solução indndnt u, od simlsmnt tornar-s u Então Uma vz qu stas soluçõs não são roorcionais, formam uma bas O rsultado é qu, no caso d uma raíz dula d λ + aλ + b uma bas d soluçõs d + a + b m qualqur intrvalo é c + c a gral é ( ) a, a é A corrsondnt solução Emlo Rsolva A quação caractrística tm a raíz dula λ 4 Assim uma bas é 4 4 a c + c 4 corrsondnt solução gral é ( ) Caso III Raízs comlas Função Eonncial Comla Para quaçõs difrnciais linars homogénas com coficints constants + a + b discutirmos o caso m qu a quação caractrística λ + aλ + b 35

9 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm tm raízs λ a a + 4b, λ a a 4b qu são comlas As duas quaçõs antriors ( λ λ ) mostram qu isso acontc s o discriminant a 4b é ngativo Nst caso, é rático rtirar da raíz i 4 dbaio da raíz, scrvndo λ a + iω, λ a iω ond ω b a Podmos 4 λ vr qu λ são agora soluçõs comlas d + a + b No caso III, uma bas d soluçõs rais d + a + b m qualqur intrvalo é a a cosω, sinω Por difrnciação substituição odmos vr qu acima constitum soluçõs da quação difrncial tanω não é constant, ois ω, ortanto não são roorcionais A corrsondnt a solução gral é ( Acosω + Bsinω) Emlo Encontr uma solução gral da quação + A quação caractrística λ λ + tm as raízs comlas conjugadas λ + + 3i, λ 3i Tm-s assim a bas cos3, sin 3 a corrsondnt solução gral ( Acos 3 + Bsin 3) Função Eonncial Comla Vamos simlsmnt vr agora como odmos comrovar qu odm sr soluçõs no caso III Mostrarmos qu isso driva da função onncial comla A função onncial comla z s it s or ( cos t + i sin t) z d uma variávl comla z s + it é dfinida + Para z ral igual a s, sta rssão torna-s a familiar função onncial ral s d Anális orqu ntão cos t cos sin t sin z tm roridads bastant smlhants às da função onncial z + z z z ral; m articular, od mostrar-s qu é difrnciávl qu satisfaz z s it s Isto od sr suficint ara motivar a dfinição ( cos t + i sin t) + Nsta 36

10 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm rssão, tomamos agora z λ com λ a + iω Tm-s assim z s + it λ a + iω z s it s Então d ( cos t + i sin t) + vm ( a ) + iω ( a ) ( cosω + i sinω) Similarmnt, uma vz qu sin ( α ) sin α, tm-s ara λ, com λ a iω, ( a ) iω ( a ) ( cosω i sinω) Adicionando as duas fórmulas dividindo a soma or, ncontramos à dirita, como s viu atrás, a sinω Do torma fundamntal ara a quação homogéna qu vimos antriormnt sgu-s qu são novamnt soluçõs, o qu é uma solução gral d + a + b a confirma qu ( Acosω + B sinω) no caso d raízs comlas Lmbramos qu ara s, it cos t + isin t é a chamada fórmula d Eulr Emlo Rsolva o roblma d valor inicial + + 5, ( ), ( ) 5 A quação caractrística λ + λ + 5 tm as raízs comlas ± 5 ± i Tm-s assim ( ) ( Acos + Bsin ) A rimira condição dá ( ) A A drivada da solução gral é ( ) ( Acos Bsin Asin + B cos ), a sgunda condição inicial rmit obtr, uma vz qu B Então B 3 sin, ( ) A + B + 5 a rsosta é ( cos + 3sin ) Emlo Uma solução gral da quação + ω, ω constant, é Acos ω + Bsinω Para ω tm-s o msmo rsultado qu obtríamos antriormnt ara +, isto é, c cos + c sin É intrssant qu m alicaçõs m sistmas mcânicos ou circuitos léctricos os três casos atrás corrsondm a três formas difrnts d movimntos ou fluos d corrnt, rsctivamnt 37

11 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm D sguida arsnta-s um rsumo dos três casos: Caso Raízs d λ + aλ + b Bas d + a + b Solução gral d + a + b I Distintas rais λ, λ λ λ, λ λ c + c II Ral dula λ a a, a a ( c + c ) III Comlas conjugadas a cosω a ( A cosω + B sin ω) a sinω Problmas d Valor Frontira As alicaçõs conduzm-nos or vzs a condiçõs do tio ( P ) k, ( P ) k Estas são conhcidas or condiçõs frontira, uma vz qu s rfrm aos ontos trminais P, P - ontos frontira P, P - d um intrvalo I no qual a quação + a + b é considrada A quação + a + b as condiçõs ( P ) k, ( P ) k m conjunto constitum o qu é conhcido or roblma d valor frontira Rfr-s a sguir um mlo tíico: π Emlo Rsolva o roblma d valor frontira +, ( ) 3, ( ) 3 Uma bas é cos, sin A corrsondnt solução gral é ( ) c c sin A condição d frontira squrda dá ( ) c 3 cos + condição d frontira dirita vm ( ) c π + c 3 Da π cos cosπ c 3, ortanto sta quação mantém-s vmos qu não gra qualqur condição ara c Assim uma solução do roblma é 3cos + c sin c continua a sr arbitrário Isto é uma surrsa A razão, é claro, é qu sin é nulo m zro π Pod concluir-s qu a solução d um roblma d valor frontira é único s somnt s nnhuma solução d + a + b satisfazr ( P ) ( P ) 38

12 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm Equação d Eulr-Cauch As quaçõs d coficint constant são rsolvidas sm intgração, como vimos Similarmnt, as quaçõs d Eulr-Cauch + a + b odm sr também rsolvidas uramnt or maniulaçõs algébricas Na vrdad, substituindo m as suas drivadas na quação difrncial + a + b, tm-s m m m ( ) + am + b m m obtém-s as quaçõs auiliars + ( a ) m + b Omitindo m, qu não é nulo s, m Caso I Raízs rais distintas S as raízs m, m ( ) m m d m + ( a ) m + b são rais distintas, ntão ( ) constitum uma bas d soluçõs da quação difrncial + a + b ara todo o ara o qual stas funçõs são dfinidas A m m corrsondnt solução gral é c + c ( c, c arbitrários) Emlo Rsolva a quação d Eulr-Cauch,5, A quação auiliar é m 3,5m, As raízs são m, 5 m 4 Assim 4 uma bas d soluçõs rais ara todo o ositivo é, a corrsondnt solução gral ara todo o é c + 4 c Caso II Raízs dulas S m + ( a ) m + b tm uma raíz dula m ( a) solução ( a ), tm-s uma rimira uma sgunda solução lo método d rdução d ordm Assim, substituindo u as suas drivadas m + a + b ( u + u + u ) + a( u + u ) + bu, obtém-s O ordnamnto dos trmos dá 39

13 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm ( + a ) + u( + a + ) b u + u A última rssão é nula ois é uma solução d + a + b D ( ) ( a ) ( a ) ( a ) a + a + a ( a ) tm-s na última rssão Isto rduz a rssão u + u ( + a ) + u( + a + b ) a ( u + u ) ( ), sarando as variávis intgrando tm-s, ara >, ln u ln, Dividindo or u, u u, u ln Assim ln, qu não é roorcional a Então no caso d uma raíz dula d m + ( a ) m + b + a + b ara todo o ositivo é m a arbitrários, uma bas d m, m ln ( ), obtndo-s a solução gral ( ) ( a c + c ) ln com com c, c Emlo Rsolva A quação auiliar tm a raíz dula m Então uma bas d soluçõs rais ara todo o ositivo é ( c c ) + ln, ln, a corrsondnt solução gral é Caso III Raízs comlas conjugadas S as raízs m m d + ( a ) m + b m são comlas las são também conjugadas, digamos m µ + iν, m µ iν Nst caso, uma bas d soluçõs d µ µ + a + b ara todo o ositivo é cos( ln ), sin( ln ) ν ν Na vrdad stas funçõs não são roorcionais, são soluçõs d + a + b or difrnciação substituição A corrsondnt solução gral µ é [ Acos( ν ln ) + Bsin( ν ln ) ] Outra qustão tm a vr com o facto d como s concluiu qu acima odriam sr soluçõs Para rsondr a isso vjamos o k ln k ln sguint: a fórmula ( ) k vrifica-s assim ara k ral até k iν z s it s, juntamnt com ( cos t + isin t) + (com s ) vm 4

14 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm iν iν ln cos( ν ln ) + isin( ν ln ), iν iν ln cos( ν ln ) i sin( ν ln ) multiliqu-s or Agora µ adicion-s subtraia-s Tm-s i, rsctivamnt Dividindo or or i ( ln ) µ sin ν µ, tm-s cos( ln ), ν Emlo Rsolva A quação auiliar + ( a ) m + b são m 3 ± i, ± m é m + 6m + 3 As raízs dsta quação µ Através d [ Acos( ν ln ) + Bsin( ν ln ) ] 3 rsosta é [ Acos( ln ) + Bsin( ln ) ], a Toria da Eistência da Solução Única Wronskiano Vrmos uma toria gral ara quaçõs linars homogénas ( ) + q( ) + com coficints arbitrários variávis q contínuos Isto tm a vr com a istência d uma solução gral c + c d ( ) + q( ) + bm como com roblmas d valor inicial qu consistm na quação antrior m duas condiçõs iniciais ( ) K, ( ) K, com, K K dados O sguint Torma da Eistência da Solução Única ara roblmas d valor inicial é imortant: Torma S ( ) ( ) q são funçõs contínuas num qualqur intrvalo I rtnc a I, ntão o roblma d valor inicial + ( ) + q( ), ( ) K, ( ) K tm uma única solução ( ) no intrvalo I Não vamos aqui dmonstrar st torma ois sria uma dmonstração longa 4

15 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm Indndência Linar d Soluçõs Wronskiano O torma acima tm imlicaçõs imortants d soluçõs grais c + c d ( ) + q( ) + Como sabmos, stas são constituidas or uma bas dizm-s linarmnt indndnts no intrvalo I s ( ) + k ( ) k m I imlicar k, k dizmos qu são linarmnt dndnts m I s sta quação também s mantivr ara k, k não simultanamnt nulos Nst caso, somnt nst caso, são roorcionais m I, isto é, k ou l Para sta discussão o critério d indndência dndência linar d soluçõs licitado srvirá d auílio Est critério utiliza o chamado dtrminant wronskiano, ou, mais brvmnt, o wronskiano, d duas soluçõs d, + ( ) + q( ), dfinido or W ( ) Torma Suonha-s qu + ( ) + q( ) tm coficints ( ) q ( ) contínuos num intrvalo abrto I Então duas soluçõs d ( ) + q( ) + m I são linarmnt dndnts m I s somnt s o su wronskiano W for nulo ara algum m I Para além disso, s W ara, ntão W m I ; assim s ist um m I ara o qual W, ntão, são linarmnt indndnts m I Dmonstração S são linarmnt dndnts m I m k l vrifica-s m I, obtndo-s ara k k k k k, W (, ) W ( k ) similarmnt ara l Da msma forma, assum-s qu ( ), W, ara algum m I mostra-s qu, são linarmnt dndnts Considr-s o sistma d ( ) + k ( ) ( ) + k ( ) k quaçõs linars ara k, k dsconhcidos Agora st k sistma é homogéno o su dtrminant é actamnt o wronskiano 4

16 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm W [ ( ) ( )],, qu é nulo or admissão d hióts Assim o sistma tm uma solução k, k ond k k não são ambos nulos Usando sts númros k, k, introduzimos a função ( ) k ( ) k ( ) + ( ) é uma solução d + ( ) + q( ) Plo torma fundamntal a função m I Do sistma d quaçõs linars atrás vmos qu satisfaz as condiçõs iniciais ( ), ( ) outra solução d + ( ) + q( ) Agora qu satisfaça as msmas condiçõs iniciais é * Uma vz qu q são contínuas, o torma antrior alica-s garant a solução única, isto é, *, ou, scrvndo, + k k m I Uma vz qu k k não são ambos nulos, isto significa dndência linar d, m I Prov-s a última afirmação do torma S W num m I, tm-s dndência linar d, m I la última art da dmonstração, assim W la rimira art da dmonstração Então W num m I não od acontcr no caso d dndência linar, d modo qu W m imlica indndência linar Emlo Mostr qu cosω, sinω formam uma bas d soluçõs d + ω, ω, m qualqur intrvalo A substituição mostra qu são soluçõs a indndência linar sgu-s do torma, ω ω ω cos sin W cos, sin cos + sin ω sinω ω cosω uma vz qu ( ω ) ω( ω ω ) ω Uma Solução Gral d + ( ) + q( ) Inclui Todas as Soluçõs Provarmos isto m duas taas, mostrando rimiro qu a solução gral ist smr: Torma S os coficints ( ) ( ) tm uma solução gral m I ntão + ( ) + q( ) q são contínuos num intrvalo abrto I, 43

17 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm Dmonstração Plo núltimo torma, a quação + ( ) + q( ) tm uma solução ( ) m I satisfazndo as condiçõs iniciais ( ), ( ) uma solução ( ) m I satisfazndo as condiçõs iniciais ( ), ( ) Daqui vmos qu o wronskiano W (, ) tm m o valor Então, são linarmnt indndnts m I, lo último torma; formam uma bas s soluçõs m I, c + c com c, c arbitrários é uma d + ( ) + q( ) m I solução gral d + ( ) + q( ) é tão gral D sguida rova-s qu uma solução gral d + ( ) + q( ) como od sr, nomadamnt, inclui todas as soluçõs d + ( ) + q( ) Torma Suonha-s qu + ( ) + q( ) tm coficints ( ) q ( ) contínuos num intrvalo abrto I Então toda a solução Y ( ) + ( ) + q( ) m I é da forma ( ) C ( ) C ( ) Y + formam uma bas d soluçõs d + ( ) + q( ) constants adquadas Assim + ( ) + q( ) d ond, m I C, C são não tm soluçõs singulars isto é, soluçõs não obtnívis a artir d uma solução gral Dmonstração Plo torma acima, a nossa quação tm uma solução gral ( ) c ( ) + c ( ) qu ( ) Y ( ) m I Tmos qu ncontrar valors adquados d c, c tais m I Escolh-s um dtrminado m I mostra-s rimiro, ou, qu odmos ncontrar c, c tais qu ( ) Y ( ), ( ) Y ( ) scrvndo, c ( ) + c ( ) Y ( ) c ( ) + c ( ) Y ( ) D facto, st é um sistma d quaçõs linars com c c dsconhcidos O su dtrminant é o wronskiano d m Uma vz qu ( ) c ( ) c ( ) + é uma solução gral, são linarmnt indndnts m I ortanto o su wronskiano é difrnt d zro Assim o sistma tm uma única solução c C, c C qu od sr obtido la rgra d Cramr Utilizando stas constants * obtém-s d ( ) c ( ) c ( ) a solução articular ( ) C ( ) + C ( ) + 44

18 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm Uma vz qu C, C são soluçõs d c ( ) c ( ) Y ( ) + * * ( ) + c ( ) Y ( ) daqui vmos qu ( ) Y ( ), ( ) Y ( ) c Dst torma do torma d solução única conclui-s qu m I, a dmonstração stá comlta * Y dvm sr iguais Rdução d Ordm: Como Obtr Uma Sgunda Solução? Na tntativa d ncontrar uma bas d soluçõs, od frquntmnt ncontrar-s uma solução or obsrvação ou or algum método Os casos qu já vimos ara quaçõs d coficints constants quaçõs d Eulr-Cauch foram anas casos articulars d um método gral, o método d rdução d ordm alicávl a qualqur quação Sja uma solução d + ( ) + q( ) num intrvalo I Substitua-s u as suas drivadas u + u u + u + u ordnm-s os trmos, obtndo m + ( ) + q( ) ( + ) + u( + + ) q u + u Uma vz qu ( ) + q( ) + rssão qu rsta or dfinindo é solução d, a rssão do último arntss é nula Dividindo a u U Então u U tm-s U + + U Sarando as variávis intgrando, scolhndo a constant d intgração d forma qu sja nula - uma vz qu não é ncssária qualqur constant arbitrária - obtém-s U d ln ln d tirando os onts vm U U u Assim a sgunda solução rtndida é u Ud Uma vz qu u Ud não od sr constant, vmos qu formam uma bas + tm como rimira solução Encontr Emlo - ( ) outra solução indndnt 45

19 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm Dfin-s u usa-s U d, é crucial qu s scrva rimiro a quação na forma adrão, + orqu U drivada com bas nst rssuosto Então ( ) U + d foi d d ln Assim u Ud Assim, u ( + ) + Equaçõs Não Homogénas Comçamos agora a tratar d quaçõs não homogénas + ( ) + q( ) r( ) ond r( ) Ants d considrarmos os métodos d rsolução, lormos rimiro o qu ralmnt é ncssário ara assarmos da corrsondnt quação homogéna + + q ara a quação não homogéna A chav qu rlaciona as ( ) ( ) duas nos rmit rsolvr a quação não homogéna é o sguint torma: Torma A difrnça d duas soluçõs d + ( ) + q( ) r( ) abrto I é uma solução d + ( ) + q( ) num intrvalo A soma d uma solução d + ( ) + q( ) r( ) m I uma solução d + ( ) + q( ) uma solução d + ( ) + q( ) r( ) m I m I é Esta situação sugr os sguints concitos: Solução Gral Solução Particular Uma solução gral da quação não homogéna + ( ) + q( ) r( ) num ond intrvalo I é uma solução da forma ( ) ( ) ( ) ( ) c ( ) c ( ) h + h + é uma solução gral da quação homogéna + ( ) + q( ) m I ( ) ( ) + q( ) r( ) é qualqur solução d + m I não contndo constants arbitrárias Uma solução articular d + ( ) + q( ) r( ) m I é uma solução obtida d 46

20 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm ( ) h ( ) + ( ) m h ( ) S os coficints d + ( ) + q( ) r( ) ( ) contínuas m I, ntão + ( ) + q( ) r( ) orqu h ( ) ist m I, a istência d ( ) atribuindo valors scíficos às constants arbitrárias c c r são funçõs tm uma solução gral m I srá mostrada quando falarmos no método d variação d arâmtros Um roblma d valor inicial ara ( ) + q( ) r( ) + tm uma única solução m I Na vrdad, s são dadas as condiçõs iniciais ( ) K, ( ) K foi dtrminado, ist, lo m I torma, uma solução única da quação homogéna + ( ) + q( ) satisfazndo ~ ( ) K ( ), ~ ( ) K ( ) + solução d + ( ) + q( ) r( ) ~ é a única m I satisfazndo as condiçõs iniciais dadas Para além disso, justificando a trminologia, dmonstramos agora qu uma solução gral d + ( ) + q( ) r( ) inclui todas as soluçõs; ntão a situação é a msma qu ara a quação homogéna: Torma Suonha-s qu os coficints r ( ) m + ( ) + q( ) r( ) são contínuos num intrvalo abrto I Então toda a solução d + ( ) + q( ) r( ) m I é obtida atribuindo valors adquados às constants arbitrárias numa solução gral ( ) ( ) ( ) d + ( ) + q( ) r( ) h + m I Conclusão Para rsolvr a quação não homogéna + ( ) + q( ) r( ) ou um roblma d valor inicial ara a quação antrior, tmos qu rsolvr a quação + + q ncontrar qualqur solução articular d homogéna ( ) ( ) ( ) + q( ) + + Emlo Rsolva o roblma d valor inicial 4 3, ( ), ( ) 3 A quação caractrística λ 4λ + 3 tm as raízs 3 Isto rmit obtr como solução gral da quação homogéna a quação 3 h c + c Uma vz qu 47

21 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm tm drivadas múltilas d, tnta-s como solução articular C Então, C Por substituição vm 4 C 4( C ) + 3C 4C C Assim, 4 C + 8C + 3C, homogéna é C, uma solução gral da quação não 3 3 h + c + c + Por difrnciação, 3 ( ) c + 3c das condiçõs iniciais, vm ( ) c + c ( ) c c Tm-s qu satisfaz as condiçõs iniciais é 3, 3 c 4, c 3 Portanto, a solução articular Solução or Coficints Indtrminados Uma solução gral d uma quação linar não homogéna é uma soma da forma h + ond h é uma solução gral da quação homogéna corrsondnt é qualqur solução articular da quação não homogéna Já vimos isto Assim falta discutir métodos Eist um método muito simls, scial, d intrss rático, qu discutirmos agora É chamado o método dos coficints indtrminados alica-s a quaçõs + a + b r( ) com coficints constants mmbros diritos r ( ) sciais, nomadamnt, funçõs onnciais, olinómios, cossnos, snos, ou somas ou rodutos d tais funçõs Est tio d funçõs r ( ) têm drivadas similars à rória função r ( ), o qu nos dá a idia chav: scolh-s ara uma forma arcida à d r ( ) nvolvndo coficints dsconhcidos a srm dtrminados or substituição da scolha ara m + a + b r( ) Sgum-s as rgras do método: (A) Rgra Básica S r ( ) m + a + b r( ) é uma das funçõs na rimira coluna da tabla abaio, scolh-s a função corrsondnt na sgunda coluna 48

22 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm dtrmina-s os sus coficints indtrminados or substituição d drivadas m + a + b r( ) das suas (B) Rgra da Modificação S um trmo scolhido ara é, or acaso, uma solução da quação homogéna corrsondnt ara + a + b r( ), ntão multilica-s ssa scolha d or - ou or s sta solução corrsond a uma raíz dula da quação caractrística da quação homogéna (C) Rgra da Soma S r ( ) é uma soma das funçõs listadas na tabla abaio rimira coluna ntão scolh-s ara a soma d funçõs nas linhas corrsondnts da sgunda coluna A rgra básica diz-nos o qu fazr m gral A rgra da modificação visa rsolvr as dificuldads qu ocorrm no caso indicado Tmos smr qu rsolvr a quação homogéna rimiro A rgra da soma é utilizada s rararmos qu a soma d duas soluçõs d + a + b r( ) d + a + b r( ) com r r r r, rsctivamnt, é uma solução com r r + r Método dos Coficints Indtrminados Trmo m r ( ) Escolha ara k γ C γ ( n,, ) n n n n + k n K + K + + K K k cos ω k sin ω K cos ω + M sinω k a cos ω k a sin ω a ( K cos ω + M sinω) O método corrig-s a si msmo no sntido d qu uma scolha falsa d ou uma com trmos a mnos lvará a uma contradição, indicando normalmnt a corrcção 49

23 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm ncssária, uma scolha com dmasiados trmos dará origm a um rsultado corrcto, com os coficints suérfluos acabando or s tornarm nulos Emlo (rgra A) Rsolva a quação não homogéna A tabla sugr a scolha K + K + K Então K Por substituição K + Equacionando os coficints d 4 K + K + K 8 obtém-s ( ) m ambos os lados, tm-s 4 8, K, 4K, K + 4K Assim, K, K, K Então, uma solução gral d é + Acos + Bsin + h Emlo (rgra B) Rsolva 3 + A quação caractrística λ 3λ + tm as raízs Assim h c + c Normalmnt, a nossa scolha sria C Mas odmos vr qu é uma solução da quação homogéna corsondndo a uma raíz nomadamnt, Assim a rgra (B) sugr C Ncssitamos C( + ) Por substituição obtém-s C ( ) C( + ) + C, C( + ) + 3 Os trmos são anulados, rstando c + c C Então C Uma solução gral é Emlo (rgra B rgra C) Rsolva o roblma d valor inicial + ( ) D +, ( ), ( ) A quação caractrística tm a raíz dula h c + c λ Assim ( ) Dtrmina-s uma solução articular Pla tabla, o trmo indica uma scolha d solução articular K + K Uma vz qu é uma raíz dula da quação caractrística ( λ ), la rgra (B) o trmo d a solução articular C (m vz d C ) Tm-s K + K + C Substituindo isto m 5

24 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm ( D ) + + simlificando a rssão, obtmos + C + K K + K Então + uma solução gral d + ( D ) + + ( c + c ) + + C, K, K é h + Para ntrarmos com as condiçõs iniciais, rcisamos + também d ( c + c + c ) + + Assim ( ) c + c ; ( ) c + +, c, c ; A rsosta é assim Método d Variação d Parâmtros O último método qu vimos é simls tm imortants alicaçõs m Engnharia, mas alica-s anas a quaçõs d coficints constants com mmbros diritos r ( ) sciais O método qu studarmos d sguida, o chamado método d variação d arâmtros, qu é comltamnt gral; isto é, alica-s a quaçõs ( ) + q( ) r( ) + com funçõs variávis arbitrárias, q r qu são contínuas num intrvalo I O método rmit obtr uma solução articular + ( ) + q( ) r( ) m I na forma ( ) d d d r r + W ond, W formam uma bas d soluçõs da quação homogéna + ( ) + q( ) corrsondndo a + ( ) + q( ) r( ) W é o wronskiano d, Na rática, st método é muito mais comlicado o qu o antrior, dvido às intgraçõs Vjamos rimiro um mlo ao qual o método antrior não s alica Emlo Rsolva a quação difrncial + sc 5

25 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm Uma bas d soluçõs da quação homogéna m qualqur intrvalo é sin cos cos, Obtém-s o wronskiano W ( cos, sin ) cos cos sin sin cos r r ( sin ) sin Assim d ( ) d + d W, scolhndo as W constants d intgração d modo a srm nulas, obtém-s a solução articular cos sin sc d + sin cos sc d, isto é cos sin d + cos + sin cos d cos tan d + sin cos ln sc + sin cos ntão cos ln cos + sin cos ln cos ( cos ln cos ) + sin cos ln cos + sin + sin cos ln cos + sin, obtido da quação dada Obtém-s a solução gral + c cos + c sin + cos ln cos + sin ( c + cos ) cos + ( c ) sin ln + h Elanação do Método A continuidad d q imlica qu a quação homogéna + ( ) + q( ) tm uma solução gral ( ) c ( ) c ( ) h + m I O método d variação d arâmtros imlica substituir as constants c c - aqui considradas como arâmtros m h - or funçõs u ( ) ( ) função rsultant ( ) u( ) ( ) v( ) ( ) + v a srm dtrminadas d modo a qu a é uma solução articular d + ( ) + q( ) r( ) m I Difrnciando ( ) u( ) ( ) v( ) ( ) obtmos u + u + v + v + Agora ( ) u( ) ( ) + v( ) ( ) contém satisfaça + ( ) + q( ) r( ) duas soluçõs u v, mas o rquisito d qu imõ anas uma condição m u v Assim arc lausívl qu ossamos imor uma sgunda condição arbitrária Na vrdad, vrmos qu odmos dtrminar u v tais qu satisfaça + ( ) + q( ) u v satisfaçam como sgunda condição a rlação u + v Isto rduz a rssão ara à forma u + v Difrnciando sta função tm-s u + u" + v + v" 5

26 Caítulo II Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm, u + v u + u" + Substituindo ( ) u( ) ( ) v( ) ( ) " + + v + v m + ( ) + q( ) r( ) ordnando os trmos qu contém v, Uma vz obtmos rontamnt u ( + + q ) + v( + + q ) + u + v r qu são soluçõs da quação homogéna + ( ) + q( ), isto rduz-s a u + v r Já tinhamos chgado a u + v Tmos assim um sistma linar d duas quaçõs algébricas ara as funçõs dsconhcidas u v A solução é obtida através da rgra d Cramr ou como s sgu: multilica-s a rimira quação or a sgunda or adiciona-s ara obtr ( ) r ond W é o wronskiano ( W ) u d, Agora multilica-s a rimira quação or a sgunda or adiciona-s ara obtr ( ) r, assim v W r A divisão or W - s, formam v uma bas W - origina r v d W r u, W r r v Por intgração u W d, W Ests intgrais istm orqu r ( ) é contínua Substituindo-os m ( ) u( ) ( ) + v( ) ( ) obtmos ( ) d + comlta a drivação r r d Isto W W Atnção! Ants d alicar ( ) d + na forma adrão + ( ) + q( ) dividir or f ( ) s tivrmos f ( ) " r r d, a quação dv star W W com " como rimiro trmo Tmos qu 53