03/04/2014. Força central. 3 O problema das forças centrais TÓPICOS FUNDAMENTAIS DE FÍSICA. Redução a problema de um corpo. A importância do problema

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1 Força cntral 3 O problma das forças cntrais TÓPICOS FUNDAMENTAIS DE FÍSICA Uma força cntralé uma força (atrativa ou rpulsiva) cuja magnitud dpnd somnt da distância rdo objto à origm é dirigida ao longo da linha qu os un (vtor r). Com isso, o sistma tm simtria sférica. A importância do problma Rdução a problma d um corpo Conta-s qu Hally visitou Nwton m agosto d 1684 com um problma qu l, Robrt Hook Christophr Wrn não tinham consguido rsolvr: "Qual a forma da órbita d um planta atraído plo Sol por uma força cntral qu varia com o invrso do quadrado da distância?" Nwton rspondu imdiatamnt: "Uma lips." Dsconcrtado, Hally prguntou: "Como sab?", ao qu Nwton lh rspondu qu já havia rsolvido ss problma ants. Não ncontrando o papl com a prova, promtu rconstruí-la nviá-la a l. Em novmbro d 1684, Hally rcbu a prova sob o título D Motu Corporumin Gyrum ("Sobr o movimnto dos corpos m órbita"). Prcbndo a importância do rsultado do método mprgado, convncu Nwton a publicar suas dscobrtas, dando origm ao famoso Principia Mathmatica. Sistma d 2 massas puntiforms m 1 m 2, sujitas a uma força cntral drivada d Usando o concito d cntro d massa, a nrgia cinética fica As 3 coordnadas m Rsão cíclicas. A Lagrangana corrspond ao d uma partícula com massa rduzida μ. Movimnto é plano Equação d movimnto m r Problma com simtria sférica, ntão Outra EM: o movimnto é no plano prpndicular a L Vlocidad aral é constant (2ª Li d Kplr) Sndo f(r) drivávl do potncial V(r), 1

2 Enrgia consrvada Rstants 2 intgrais Da EM m r, A partir da consrvação da nrgia, com 4 constants: r 0, θ 0, l E( não r 0, θ 0, v r0 v θ0 ) Rdução a problma unidimnsional Enrgia Força do tipo gravitacional Força Podmos fazr Da msma forma, (força cntrífuga) E 1, E 2 : movimnto ilimitado, ponto d rtorno m r 1 E 3 : movimnto limitado, pontos d rtorno m r 1 r 2 E 4 : movimnto circular E<E 4 : vimaginária Força invrsamnt quártica Força do oscilador harmônico E<V : r 0 <r 1 movimnto limitado, pontos d rtorno m r 1 R 0 >r 1 movimnto ilimitado, pontos d rtorno m r 2 E>V : v imaginária S l=0, o movimnto é limitado harmônico. S l 0, o movimnto é limitado líptico, rsultado da combinação d dois movimntos harmônicos prpndiculars (figuras d Lissajous). 2

3 Equaçõs d órbita Equaçõs d órbita Sndo Assim, Esta intgral pod sr xprssa m funçõs trigonométricas p/ n=1, -2, -3 funçõs lípticas p/ n=5, 3, 0, -4, -5, -7 funçõs hiprgométricas p/ outros casos Condiçõs p/ órbitas fchadas Órbita circular p/ E(r 0 )=V (r 0 )máximo ou mínimo Condiçõs para qu qualqur força cntral produza um movimnto circular Condiçõs p/ órbitas fchadas S V (r 0 )é um mínimo, uma E(r 0 )lvmnt maior do qu V (r 0 )produz um movimnto ainda limitado, mbora não circular. (órbita stávl) S V (r 0 )é um máximo, uma E(r 0 )lvmnt maior do qu V (r 0 )produz um movimnto ilimitado. (órbita instávl) Tudo dpnd da sgunda drivada d V m (r 0 ). Estabilidad da órbita circular Para stabilidad da órbita, Torma d Brtrand Assim, S Para órbitas stávis pqunos dsvios da circularidad: movimnto harmônico m torno d Brtrand dmonstrou qu só há órbitas fchadas com dsvios maiors p/ 3

4 Validad no Univrso O problma d Kplr Todosos objtos clsts ligados conhcidos movm-s, plo mnos m 1ª aproximação, m órbitas fchadas. Como a Li d Hook não é ralista para todas as distâncias, conclui-s qu é gral a afirmação d qu a força gravitacional varia com o quadrado da distância. Para o potncial gravitacional, a intgral rsulta com solução ond é a xcntricidadda órbita Cé Naturza das órbita Qual a xcntricidad da órbita da Trra? Qual a xcntricidad da órbita da Trra? Calculando os ixos apsidais O ixo maior da lips dpnd só d E. Nos pontos apsidais r 1 r 2, v=0. D Esss pontos são as raízs da q. acima. Monopolos magnéticos No caso da intração d 2 dyons, ond αé intrprtado como o ângulo ntr r J, a intgral d Poincaré O movimnto não é plano, mas s dá sobr a suprfíci d um con! A órbita só srá fchada s sinαfor racional. 4

5 Movimnto kplriano As intgrais Vtor d Laplac-Rung-Lnz podm sr rsolvidas, mas sua invrsão para r(t) θ(t)é muito difícil. O rsultado mais important é sua 3ª Li: S há um vtor consrvado Problma d três corpos Para cada corpo, uma quação da forma O sistma d quaçõs acopladas não tm solução gral, apnas soluçõs particulars. Os pontos d Lagrang são pontos d mínimo ou d sla do potncial. 5

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