GGE RESPONDE IME MATEMÁTICA Determine os valores reais de x que satisfazem a inequação:

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1 . Determine os vores reis e x que stisfzem inequção: x IR e X og x og 9 x² x og x og Fzeno x og, temos: ( ) ( ) ( ) ² ² ² ² X X i) x x iii) x iv) x x² x x² x (x )² Resoveno X ii) x x x x X Conições e existêni : Sej x x x x x, Pr x : x x x X,pois x x x ; omo x, tem se : ² ² x x² x x x x x Pr x x, : x ( x) x x, x ² ² Seno ssim, soução é x ou x, já que s us stisfzems on x, já que s us stisfzems onições e existêni equção. ² ² Desrev o ugr geométrio o número ompexo z que tene à equção ssim: ou Segue que: x og ou x og x ou x 9 Fzeno interseção om, temos: x x ou x 9 Logo: S x IR : x ou x 9. Enontre s souções reis equção: em que z é re z e z são ompexos onjugos om prte imginári não nu e k é um número inteiro. Os: rg(z) é o rgumento o número ompexo z. : Sej z = IR, z = + i, z = i, om, IR e. Consierno z = x + i, om x, IR, temos: z z = (x ) + i Fzeno rg (z z ) =, temos, tg x z z = (x ) + ( ) i Fzeno rg (z z ) =, temos tgβ x z z = (x ) + ( + ) i Fzeno rg (z z ) =, temos tg x D reção rg (z z ) rg (z z ) rg (z z ) = Kπ Segue que: - - = K, K - = + K GGE RESPONDE IME - 5 MTEMÁTIC RESOLUÇÃO DS PROVS DO IME 5 NO SITE:

2 tg tg k tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg x x x x x x ( )( ) x x (x )(x ) x x x ² ² x² x ² x² x x ² x² x ² ² ² ² Logo, z é Re ou z perorre um irunferêni e entro (, o) e Rio igu ( )² ² z Portnto, o menor vor possíve pr x > 99 é: x 5. Um tetrero regur, om rests e omprimento igu, é orto por pnos preos entre si e um s ses, iviinoo em sóios e voumes iguis. Determine tur e um estes sóios em função e. : h h 6 H z Re h z. Sej n um número positivo uj representção eim é m e f função que tro posição os ígitos i, e i +, e form que f( k + k ) = k k +. Por exempo: f(56) = 56 f() = f() = f() = Determine o menor número mior que 99 que stisfç à equção x = 9x + 9f(x) + f(x)) : Como queremos o menor número mior que 99, suporemos que soução presente ígitos. Isto é: x = f(x) = Portnto: x 9x 9f(x) [f(x)] x [f(x)] 9 {x f(x)} [x f(x)] [x f(x)] 9 [x f(x)] Como x f(x) x f(x) 9 9 ( ) ( ) ( ) 9 ( ) 9 Como e são inteiros, 9 ( ) 9 - : 6 H h H 6 h h h H h 6 6 h H (h h) 6 GGE RESPONDE IME - 5 MTEMÁTIC RESOLUÇÃO DS PROVS DO IME 5 NO SITE:

3 6. Peo ponto P e oorens (-,) trçm-se s tngentes t e s à práo ² = x. ret t interept práo em e ret s interept práo em. Peos pontos e trçm-se pres às tngentes enontrno práo em outros pontos C e D, respetivmente. Cue o vor rzão /CD. ( ) x x t D O ponto (, ) e, por simetri O ponto ( ) Logo ( ) Equção ret r: P (-,) semos que r // t, ssim : (, ) r, mr Equção ret t: omo (-,) t, temos: = m t (x + ) = m tx + m t pontos e : x mtx mt x mt mt mt m t ( ) mt (m t ) 8m t 8m t mt mt ssim equção ret t é: x s ²=x C ( ) x x (x ) x Pr eterminr o ponto D e C resovemos o sistem: x x 6 6 ' ou ' ' (não poe ) Pe simetri figur equção ret é: x Pr eterminr e st resover o sistem: x x ( x' 8 x' 9 ssim CD ( ) CD 6 Logo ) x' ssim o ponto D ( 9, CD 6 ) e, por simetri o ponto C (9, ) GGE RESPONDE IME - 5 MTEMÁTIC RESOLUÇÃO DS PROVS DO IME 5 NO SITE:

4 . Num triânguo C isósees, om ânguos iguis em e C, o seu inentro I se enontr no ponto méio o segmento e ret que une o seu ortoentro H seu rientro G. O segmento e ret G é menor que o segmento e ret H. Os omprimentos os segmentos e ret HI e IG são iguis. Determine o perímetro e áre esse triânguo em função e. De oro om figur, temos: β β G rientro GGM Gx D semehnç entre os triânguos NH e PI temos: NH 6 x ( x)(6 x) NH x 5 x 5 x D semehnç entre os triânguos CMH e PI, temos: Q P N +x +x G I H CH x x(5 x) CH 5 x x x Segue que : ( x)(6 x) x(5 x) NC NH CH 5 x x ( x) (6 x) x(5 x) NC (5 x)( x) D semehnç entre os triânguos QG e PI, temos: X M β C QG x ( x)( x) QG x 5 x 5 x Note que áre(c) = áre(g). segue que NC QG NC QG Logo: ( x) (6 x) x(5 x) ( x)( x) (5 x)( x) 5 x ( x) (6 x) x(5 x) ( x) ( x) ( x x )(6 x) x(5 x x ) ( x x )( x) 6 x x x 6x x 5 x x 6 x x x x 6x 6x 9 x 6 x x () ( ) x x (não poe) x GGE RESPONDE IME - 5 MTEMÁTIC RESOLUÇÃO DS PROVS DO IME 5 NO SITE:

5 Com os novos os, temos: No triânguo M, temos: M M 5 5 () e 5 Perímetro (C) N P Q / G I H Áre (C) / M C D semehnç entre os triânguos PI e M, temos: 6 8. De qunts mneirs poemos eompor um eneágono onvexo em triânguos trçno sus igonis, e form que esss igonis não se ortem. triânguo Z possiiie Quriátero Z possiiies GGE RESPONDE IME - 5 MTEMÁTIC 5 5 RESOLUÇÃO DS PROVS DO IME 5 NO SITE:

6 Pentágono Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 5 5 Z Z Hexágono Z 6 Z Z5 Z Z Z Z Z Z Z5 Z 5 5 Heptágono 5 Z Z Z 6 Z Z Z5 Z Z Z Z Z Z Z5 Z Z 5 5 Z6 Z Otógono Z.Z Z Z Z6 Z Z Z5 5 Z5 Z Z 5 5 Z6 Z Z 6 Z Z Z Z Eneágono 8 Z.Z8 Z Z Z Z Z Z6 Z5 Z Z Z6 Z Z 6 Z Z Z Z8 Z Z 9 9 Respost : 9 possiiies GGE RESPONDE IME - 5 MTEMÁTIC 6 6 RESOLUÇÃO DS PROVS DO IME 5 NO SITE:

7 9. Sejm S = ++ e P =... Cue o eterminnte ixo unimente em função e S e P. - - ² ( )² ² ² ² ² ( )² ² ( )² ² ² ( )² ² ² ² ² ( )² ( )² ² ( )² ² ( )² -. Os oefiientes o,, o poinômio P(x)=x 5 + x + + x + são tis que i,, pr ) Quis são s possíveis rízes inteirs e P(x)? ) Quntos poinômios form im têm us rízes inteirs istints? ) soução inteir eve ser ivisor e. Como = ou =, s souções inteirs só poem ser {, }. No entnto, pr que + sej soução, eve-se ter oefiientes negtivos. Portnto, s únis souções inteirs possíveis são pens ou -. S={,-} ) Devemos ter e - omo rízes, portnto:... 6 i i i i Seno ssim, evemos esoher tntos oefiientes pres omo qunto ímpres. Como o oefiiente x 5 =. Pres: Ímpres: 6 + pr e ímpr: pres e ímpres:... 6 N k k k m h p m h gor, pe Fórmu e Euer: p i i p i Pr p = 6, m =, h = k6 k k k k k Seno ssim: N 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P5 OS: Demonstrção Fórmu e Euer Suponh que e um grupo e m muheres e n homens queremos esoher p pessos. Poemos esoher: mn muher e p hom ens : p m n muher e p hom ens : p m n muheres e p hom ens : p E, ssim, por inte. Portnto: m h p m n p i i p i GGE RESPONDE IME - 5 MTEMÁTIC RESOLUÇÃO DS PROVS DO IME 5 NO SITE: