Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3. Produto Misto - Parte 1. Terceiro Ano - Médio

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1 Mtril Tórico - Módulo: Vtors m R 2 R 3 Produto Misto - Prt 1 Trciro Ano - Médio Autor: Prof Anglo Pp Nto Rvisor: Prof Antonio Cminh M Nto

2 Nst primir prt d ul sor produto misto, studrmos dfinição lgums ds propridds ásics d dtrminnts Não tmos intnção d fzr qui um xposição complt sor tori dos dtrminnts Em vz disso, xiirmos lgums motivçõs gométrics coltrmos os rsultdos ncssários pr sgund prt d ul i1,, in : n i1 i in n1 n nn 1 Motivção pr o studo dos dtrminnts Podmos intrprtr os dtrminnts como um modo d dnotr orgnizdmnt xprssõs qu dpndm d soms produtos O mis importnt é prcr qu os dtrminnts dmitm intrprtçõs gométrics rlvnts, lgums ds quis srão studds nst n próxim prt d prsnt ul Ddos n 2 númros, podmos orgnizá-los n form d um tl com n linhs n coluns, qu grlmnt chmmos d mtriz qudrd: 11 1n n1 nn Pr cd lmnto i, o índic i indic linh o índic indic colun às quis ss lmnto prtnc Chmmos o númro nturl n d ordm d mtriz O dtrminnt d mtriz A é dnotdo por dt A ou pl utilizção d rrs vrticis, m vz d prêntss: 11 1n dt n1 nn S A é um mtriz d ordm n, dizmos qu dt A é um dtrminnt d ordm n S ordm d um dtrminnt é n 2, clculmos o dtrminnt usndo o sguint lgoritmo rcursivo 1, conhcido como dsnvolvimnto d Lplc 2 : (1) Dd um mtriz A, scolh-s fix-s um linh ou um colun dss mtriz Vmos, qui, supor qu foi scolhid linh (horizontl) i d A, isto é, 1 Dizmos qu um lgoritmo é rcursivo qundo cd novo psso utiliz os pssos ntriors Em nosso cso, pr clculr dtrminnts d mtrizs d ordm n, prcismos á sr clculr dtrminnts d mtrizs d ordm n 1 2 Pirr Simon, Mrquês d Lplc ( ), mtmático, strônomo físico frncês (2) Pr cd lmnto i, s C i = ( 1) i+ dt A i, ond A i é mtriz d ordm n 1, otid prtir d mtriz originl, rmovndo-s dl linh i colun (3) O dtrminnt d A é igul dt i1 C i1 + i2 C i2 + + in C in Exmplo 1 Pr clculr o dtrminnt d mtriz ( ) 11 12, plicmos o dsnvolvimnto d Lplc o longo d primir linh d A Assim fzndo, otmos: dt 11 C C 12 = 11 ( 1) ( 1) = Convidmos o litor vrificr qu o dsnvolvimnto d Lplc o longo d qulqur outr linh ou colun dss mtriz, fornc o msmo rsultdo Nss cso, é fácil lmrr o rsultdo finl: simplsmnt multiplicmos os lmntos d digonl principl, m sguid, sutrímos do rsultdo o produto dos lmntos d digonl scundári Exmplo 2 Clculmos o dtrminnt d mtriz d ordm d msm mnir A título d ilustrção, dst vz plicmos o dsnvolvimnto d Lplc o longo d trcir colun d A: dt 13 C C C 33 = 13 ( 1) ( 1) ( 1) mtmtic@omporgr

3 Excutndo os cálculos cim com o uxílio do rsultdo do xmplo ntrior, otmos dt 13 ( ) 23 ( ) + 33 ( ) = A últim som tm sis prcls, xtmnt o númro d prmutçõs d três otos Novmnt, é possívl vrificr-s qu o rsultdo é o msmo, indpndntmnt d linh ou colun scolhid Osrvção 3 O dsnvolvimnto d Lplc, prsntdo cim, rqur scolh d um linh ou colun Pr qu ss método fornç um vlor único, é ncssário qu o vlor do dtrminnt s indpndnt d scolh d linh ou colun d mtriz Os cálculos pr dtrminnts d ordm 2 ou 3 são rltivmnt simpls, por isso, dixmos crgo dos litors nos xmplos ntriors A dmonstrção dss propridd no cso grl é simpls, ms trlhos, pod sr fit com o uso do princípio d indução finit Vmos ssumir st fto qui, sm dmonstrção A prtir d um mtriz qudrd ( i ), podmos construir um mtriz A t = ( i ), d modo qu s linhs d A t, d primir à últim, são rspctivmnt iguis às coluns d A, d primir à últim ( vic-vrs) A mtriz A t é chmd mtriz trnspost d A Pl osrvção 3, concluímos qu dt(a t ) = dt(a) Osrvção 4 Not qu cd prcl d últim som qu xprss o dtrminnt no Exmplo 2 é do tipo 1σ(1) 2σ(2) 3σ(3), ond σ : {1, 2, 3} {1, 2, 3} é um função itiv, qu chmmos d um prmutção d três lmntos Existm sis prmutçõs d três lmntos, cd um dls corrspond um prcl d som citd cim S i, {1, 2, 3}, i < σ(i) > σ(), dizmos qu σ tm um invrsão S o númro d invrsõs d um prmutção σ é ε(σ), ntão o sinl d prcl qu corrspond σ n som qu dá o dtrminnt é ( 1) ε(σ) Por xmplo, primir prcl d últim som no Exmplo 2 é ; nl, tmos 1 < 2 σ(1) = 3 > 1 = σ(2); 1 < 3 σ(1) = 3 > 2 = σ(3); 2 < 3 σ(2) = 1 < 2 = σ(3) Assim, ss prmutção tm, o todo, dus invrsõs, logo, o sinl d prcl corrspondnt é positivo Já últim prcl é igul Nss cso, tmos 1 < 2 σ(1) = 2 > 1 = σ(2); 1 < 3 σ(1) = 2 < 3 = σ(3); 2 < 3 σ(2) = 1 < 3 = σ(3) Ao todo, ss prmutção tm um invrsão, logo, o sinl d prcl corrspondnt é ngtivo Osrvção 5 Um modo prático d s clculr um dtrminnt d ordm 3 é conhcido como rgr d Srrus, pois foi prsntdo m 1842 à cdmi d ciêncis d Pris plo mtmático frncês Pirr Frédéric Srrus ( ) El consist no sguint: pr s clculr o dtrminnt rptm-s s dus primirs coluns à dirit d trcir colun (m vrmlho, ixo): Os lmntos dss nov tl dvm, ntão, sr multiplicdos sguindo o squm mostrdo sguir: Os lmntos o longo d um msm linh chi dvm sr multiplicdos considrdos com sinl positivo, nqunto os lmntos o longo d um msm linh trcd dvm sr multiplicdos considrdos com sinl ngtivo Assim, otmos som , qu é xtmnt qul qu otivmos no Exmplo 2 Exmplo 6 Clcul o dtrminnt Solução Usndo rgr d Srrus, otmos = = Até st ponto, os dtrminnts são pns soms d produtos não prc clro m qu ls possm vir sr útis Comçmos contornr ss stdo d coiss com os próximos xmplos, os quis pontm lgums intrprtçõs gométrics dos dtrminnts d ordm 2 Esss propridds tmém vlm pr dtrminnts d ordns miors, ms sus dmonstrçõs são m grl mnos lmntrs qu no cso idimnsionl 2 mtmtic@omporgr

4 Exmplo 7 Sm,, c, d R constnts Considrmos função T : R 2 R 2, dd por T (x, y) = (x + y, cx + dy) Ns notçõs d Figur 1 ( conform discussão sguir), ss função trnsform o qudrdo Q d ldo 1 m um prllogrmo (possivlmnt ( ) dgnrdo) d ár igul dt(a), ond é mtriz corrspondnt ou ssocid à função T A principl propridd d função T é o qu chmmos d linridd: s u = (x, y), v = (z, w) são vtors m R 2 α R, ntão T (α u ) = T (αx, αy) = ((αx) + (αy), c(αx) + d(αy)) = α(x + y, cx + dy) = αt ( u ) T ( u + v ) = T ((x, y) + (z, w)) = T (x + z, y + w) = ((x + z) + (y + w), c(x + z) + d(y + w)) = (x + y, cx + dy) + (z + w, cz + dw) = T (x, y) + T (z, w) = T ( u ) + T ( v ) Um função T : R n R n qu stisfz s dus propridds: (1) T ( u + v ) = T ( u ) + T ( v ), (2) T (α u ) = αt ( u ), é chmd trnsformção linr Voltndo o cso n = 2, qulqur vtor u = (x, y) R 2 pod sr scrito como u = (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x 1 + y 2, ond 1 = (1, 0) 2 = (0, 1) são os vtors qu formm o qu chmmos d s cnônic do R 2 Ns notçõs d figur sguir, o qudrdo Q d ldo 1 é o conunto dos prs ordndos (x, y) R 2, com 0 x 1 0 y 1 Dss form, s (x, y) Q, ntão T (x, y) = T (x 1 + y 2 ) = xt ( 1 ) + yt ( 2 ) = xt (1, 0) + yt (0, 1) = x(, c) + y(, d), com 0 x 1 0 y 1 Portnto, s os vtors (, c) (, d) não form prllos, o conunto formdo pls imgns T (x, y), com (x, y) Q, é o prllogrmo dtrmindo por sss vtors Figur 1: função T trnsform o qudrdo m um prllogrmo Conform á vimos n ul sor produto vtoril, ár do prllogrmo T (Q) é igul o módulo do produto vtoril dos vtors T ( 1 ) T ( 2 ), vistos como vtors m R 3 Em símolos, ss ár é igul i k c 0 d 0 = d c = dt(a) No cso m qu dt(a) = 0, tmos d = c S 0 d 0, ntão = = t R, ou s, (, c) = (t, td) = t(, d) os vtors (, c) (, d) são prllos nst cso Por su vz, isto signific qu o prllogrmo dtrmindo por tis vtors é dgnrdo tm ár igul zro Os csos m qu = 0 ou d = 0 tmém forncm prllogrmos dgnrdos, com ár igul zro S l R, l > 0, o qudrdo Q l d ldo l pod sr otido prtir do qudrdo Q d ldo 1 multiplicndo-s os vtors 1 2 por l Rptindo o qu fizmos cim, podmos concluir qu ár do prllogrmo T (Q l ), imgm do qudrdo d ldo l pl trnsformção linr T, é igul dt(a) l 2 Osrvção 8 D um modo grl, é possívl mostrr qu um figur F, d ár, é trnsformd por um trnsformção linr T m um figur T (F ) d ár dt(a) Isso pod sr fito usndo-s o princípio d xustão Huristicmnt, primirmnt proxim-s F por um união d qudrdos Q, d intriors dois dois disuntos contidos m F ; ntão, com o uxílio d discussão ntrior, clcul-s A(T (Q )) = dt A A(Q ), tmos A(T (F )) = A(T (Q )) = = dt A A(Q ) = dt A A(Q ) = dt A A(F ) A(Q ) 3 mtmtic@omporgr

5 O próximo xmplo ud sclrcr o significdo gométrico do sinl do dtrminnt d um mtriz d ordm 2 Exmplo 9 A trnsformção linr T : R 2 R 2, dd por T (x, y) = (x, y) é um( rflxão) m torno do ixo x 1 0 A mtriz ssocid T é, qu tm dtrminnt igul Fzndo s sustituiçõs convnints, otmos (S T )(x, y) = S(T (x, y)) = S(x + y, cx + dy) = ( (x + y) + (cx + dy), c (x + y) + d (cx + dy)) = (( + c)x + ( + d)y, (c + d c)x + (c + d d)y) Logo, mtriz corrspondnt à compost S T é ( ) ( ) ( + c + d c + d c c + d = d c d ), (1) ond o símolo indic multiplicção ds mtrizs A B, nss ordm Rlmnt, multiplicção d mtrizs d ordm 2 é dd xtmnt pl xprssão cim, sndo ssim dfinid d modo corrspondr à composição ds trnsformçõs linrs corrspondnts Como composição d funçõs não é comuttiv, multiplicção d mtrizs, m grl, tmém não é comuttiv Por outro ldo, ssocitividd d composição d funçõs implic ssocitividd d multiplicção d mtrizs Tmém tmos o sguint fto importnt Figur 2: função T é um rflxão m rlção o ixo x El ltr orintção ds figurs Em grl, pod-s dmonstrr qu um trnsformção linr do plno no plno tm mtriz ssocid com dtrminnt ngtivo s, somnt s, l ltr orintção ds figurs Não dmonstrrmos ss firmção qui pois, ss ltur, não tmos squr como forncr um dfinição prcis d orintção Convidmos o litor vrificr, plo mnos m lguns csos prticulrs, qu rflxão m torno d um rt qu pss pl origm tm ângulo d inclinção θ, tm mtriz ssocid dd por ( ) cos 2θ sn 2θ A θ = sn 2θ cos 2θ Por xmplo, s θ = 0, otmos rflxão do Exmplo 9 V qu dt A θ = (cos 2 2θ + sn 2 2θ) = 1 Exmplo 10 Considrmos s trnsformçõs linrs T : R 2 R 2 S : R 2 R 2, dds rspctivmnt por T (x, y) = (x+y, cx+dy) S(x, y) = ( x+ y, c x+d y), com,, c, d,,, c, d R As mtrizs qu ( corrspondm T S são, rspctivmnt, B = ) ( ) c d A sguir, vmos otr mtriz qu corrspond à função compost S T : R 2 R 2, dd por (S T )(x, y) = S(T (x, y)) Proposição 11 S A B são dus mtrizs qudrds d ordm 2, ntão dt(a B) = dt(a) dt(b) N xprssão cim, A B é o produto ds mtrizs A B, como m (1) Como s mtrizs nvolvids n proposição ntrior são d ( ordm 2, ) l crtmnt ( pod ) sr ustificd pondo c d, B =, m sguid, clculndo sucssivmnt A B, dt(a B), dt(a) dt(b) Outr ustifictiv (mis limp ) é sguint: suponh qu F é um figur pln com ár igul Pl discussão ntrior, s T : R 2 R 2 é um trnsformção linr com mtriz ssocid B, figur T (F ) tm ár dt(b) figur S(T (F )) tm ár igul dt(a) dt(b) Por outro ldo, um vz qu S(T (F )) = (S T )(F ), ss figur tm ár igul dt(a B) Comprndo sss dois vlors, otmos dt(a B) = dt(a) dt(b), logo sss dois vlors divrgm no máximo plo sinl Agor, utilizndo rlção ntr orintção o sinl do dtrminnt, dd cim, vmos o sguint: s S T prsrvm orintção ds figurs, ntão S T tmém prsrv ss orintção S um dsss dus trnsformçõs ltr orintção outr prsrv, ntão compost ltr orintção Finlmnt, s ms ltrm orintção ds figurs, ntão compost prsrv orintção, pois st foi ltrd dus vzs (como imgm rfltid por dois splhos, qu dquir orintção d imgm originl) Como ss msm rgr d composição vl pr os sinis dos dtrminnts ds mtrizs corrspondnts, concluímos qu iguldd d Proposição 11 é válid 4 mtmtic@omporgr

6 Pr mtrizs qudrds d ordm qulqur, ss rsultdo é conhcido como Torm d Bint, m honr o mtmático frncês Jcqus Philipp Mri Bint ( ) 2 Algums propridds dos dtrminnts Nst sção, irmos coltr lgums propridds dos dtrminnts qu fcilitm o su cálculo qu srão usds n prt 2 dst ul D início, vl pn rforçr qu intrprtção gométric do dtrminnt como ár s stnd pr dimnsõs miors Por xmplo, um trnsformção linr T : R 3 R 3, qu tm mtriz ssocid A, trnsform um cuo d volum 1 m um prllogrmo (possivlmnt dgnrdo) d volum dt(a) Em dimnsõs miors do qu 3, o vlor soluto continu significr volum d msm mnir, ou s, é mdid d imgm pl trnsformção linr T : R n R n d um loco rgulr m dimnsão n Em prticulr, s , vrmos n prt 2 dst ul qu dt(a) é o volum do prllpípdo dtrmindo plos vtors ( 11, 21, 31 ), ( 12, 22, 32 ) ( 13, 23, 33 ); tmém vrmos qu há um significdo pr o sinl dss dtrminnt D um modo mis grl, vmos dotr sguint notção: 11 1n n1 nn = (C 1,, C n ), ond C 1,, C n são s n coluns d mtriz qudrd A Dss form, podmos vr o dtrminnt dt(a) como um função dt(c 1,, C n ), qu dpnd ds n coluns d mtriz A As principis propridds do dtrminnt podm sr nuncids usndo-s ss notção (1) O dtrminnt dt(a) é linr como função d cd um ds coluns d mtriz A, ou s, dt(c 1,, C + C,, C n) = = dt(c 1,, C,, C n) + dt(c 1,, C,, Cn) (2) dt(c 1,, αc,, C n) = α dt(c 1,, C,, C n) (3) Pr dtrminnts d ordm, ss rsultdo é imdito D fto: dt(c 1, C 2 + C 2) = = 11 ( ) 21 ( ) = ( ) + ( ) = = dt(c 1, C 2 ) + dt(c 1, C 2) Tmém, dmonstrção d iguldd dt(c 1 +C 1, C 2 ) = dt(c 1, C 2 ) + dt(c 1, C 2 ) é nálog à qu foi fit cim No cso grl, tmos dt(c 1,, C + C,, C n ) = n = i1 i + i in n1 n + n nn D cordo com Osrvção 3, podmos scrvr o dsnvolvimnto d Lplc m rlção à colun, otndo dt(c 1,, C + C,, C n ) = = ( 1 + 1)C ( n + n)c n = ( 1 C n C n ) + ( 1C nc n ) = dt(c 1,, C,, C n ) + dt(c 1,, C,, C n ) (Atnção: não dvmos confundir notção C, qu indic colun d mtriz do dtrminnt qu stmos clculndo, com C i = ( 1) i+ dt A i, ond A i é mtriz otid xcluindo-s d mtriz A linh i colun ) A propridd (3) pod sr dmonstrd d modo similr (2) S dus coluns (ou linhs) m um dtrminnt d ordm mior ou igul 2 são iguis, ntão ss dtrminnt é igul zro Novmnt, os csos m qu o dtrminnt tm ordm 2 ou 3 são rltivmnt simpls Por xmplo: = = 0 d c c f = d c c c c + f = 0 Em grl, ssumindo qu qulqur dtrminnt d ordm mnor do qu n qu tm dus coluns iguis é igul 5 mtmtic@omporgr

7 zro, tommos um dtrminnt d ordm n com dus coluns iguis Clculndo-o plo dsnvolvimnto d Lplc rltivo um colun qu não é um ds qu são sidmnt iguis, otmos um som do tipo 1 ( 1) 1+ dt(a 1 ) + + n ( 1) n+ dt(a n ), ond cd mtriz A i ind tm dus coluns iguis tm ordm n 1 Portnto, tods s prcls cim são nuls som tmém é nul (3) A troc d posição ntr dus coluns d um dtrminnt ltr o sinl dss dtrminnt D fto, propridd (2) grnt qu dt(c 1,, C i + C,, C + C i,, C n ) = 0, pois l tm dus coluns rptids Pl linridd, podmos scrvr 0 = dt(c 1,, C i + C,, C + C i,, C n ) = dt(c 1,, C i,, C i,, C n ) + dt(c 1,, C i,, C,, C n ) + dt(c 1,, C,, C i,, C n ) + dt(c 1,, C,, C,, C n ) = dt(c 1,, C i,, C,, C n ) + dt(c 1,, C,, C i,, C n ) plicçõs qu stão n prt 2 S você chr convnint, pod trlhr s dus prts concomitntmnt, comçndo com Sção 1 dst primir prt, pssndo à prt 2 voltndo à Sção 2 dst prt 1 qundo ncssário Isso pod dr mior dinmismo à su ul, pois os studnts irão vr d imdito plicçõs intrssnts d noção d dtrminnt A Osrvção 4 pod sr ignord m um primir litur, ou s você stivr trlhndo com um turm sm muit xpriênci com dtrminnts Cso você quir xplorr lgums conxõs ntr dtrminnts, Comintóri os rudimntos d Tori dos Grupos, pod dr mis ênfs à Osrvção 4 Sugstõs d Litur Complmntr 1 N M dos Sntos t l Vtors Mtrizs: Um Introdução à Álgr Linr Cngg Lrning, São Pulo, M R Spigl Anális Vtoril, Colção Schum, McGrw-Hill, São Pulo, 1972 Ds iguldds cim, sgu qu dt(c 1,, C i,, C,, C n ) = = dt(c 1,, C,, C i,, C n ) Dics pr o Profssor Três ncontros d 50 minutos cd são suficints pr corir o mtril dst ul S su turm nunc tv contto com noção d dtrminnt, srá ncssário plo mnos mis um ul O otivo d primir sção é dr o dtrminnt um significdo gométrico: o dtrminnt d um mtriz md o qunto trnsformção linr ssocid ss mtriz ltr s mdids ds figurs No cso d mtrizs d ordm 2, ss mdid é ár ds figurs Ds propridds dos dtrminnts listds n Sção 2, s dus primirs são s mis importnts: linridd m rlção cd colun o nulmnto do dtrminnt qu tm dus coluns iguis Funçõs m váris vriávis com sss dus propridds são chmds d funçõs multilinrs ltrnds O dtrminnt é o mmro mis fmoso dss fmíli d funçõs Nst ul, prsntção ds propridds dos dtrminnts tm como principl otivo dr suport às 6 mtmtic@omporgr