UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

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1 PR UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

2 Prof Mc ARMANDO PAULO DA SILVA Prof Mc JOSÉ DONIZETTI DE LIMA INTEGRAIS IMPRÓPRIAS A TRANSFORMADA DE LAPLACE g ()d = lim R R g()d o limit it Qudo o limit it diz- qu itgrl imprópri covrg; co cotrário, diz- itgrl imprópri divrg DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE Sj f ( ) dfiid m Lplc d f(), digd por L { } < j um vriávl rl rbitrári A Trformd d { f ( ) } L ou F(), é: f ( ) = F( ) = f( ) d pr todo o vlor d qu torm covrgt itgrl PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE Dfiição: f ( ) : () f() é dfiido pr todo < ; () é cotíu por prt m todo itrvlo fchdo b, b > ; (3) f() é d ordm pocil α Torm : (Liridd) S f ( ) E α f ( ) tão pr du cott quiqur c c, cf( ) cf( ) L {c f( ) cf( )} = cl{ f( )} cl{ f( )} Torm : S f ( ) Torm 3: S f ( ) Torm 4: S f ( ) Torm 5: S f ( ), tão, pr qulqur cott, L { f( )} = F( ) ( >α ), tão, pr qulqur itiro poitivo, d L { f( )} = ( ) [ F( ) ] d f ( ) lim it, tão: L f ( ) = F ( t ) dt, tão L f () t dt = F( ) Torm 6: S f ( ) é priódic com príodo ω, ito é, f ( ω) = f( ), tão L { f( )} = ω f( ) d ω

3 Prof Mc ARMANDO PAULO DA SILVA Prof Mc JOSÉ DONIZETTI DE LIMA TÁBUA DE TRANSFORMADAS ( ) F( ) = L f( ) f { } ( > ) ( > ) 3 ( =,,,3,) ( )! ( > ) 3 4 π ( > ) 5 π ( > ) 6 / ( =,,3) ( )(3)(5)( ) π / ( > ) 7 ( > ) 8 ( > ) 9 co ( > ) h ( > ) coh ( > ) ( ) ( > ) 3 co ( ) ( > ) 4 ( =,,) ( )! ( ) ( > ) 5 b ( b) ( > b) 6 b co b ( b) ( > b) 7 co 3 ( ) ( > ) 3

4 Prof Mc ARMANDO PAULO DA SILVA Prof Mc JOSÉ DONIZETTI DE LIMA TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE Dfiição: Um trformd ivr d Lplc d um fução F(), digd por L - { F ( )}, é outr fução f () qu goz d propridd L{ f ( )} = F( ) Torm : (Torm d Uicidd) S L{ f ( )} L{ g ( )} f () g() ão mb cotíu m <, tão f ( ) g( ) Um dd fução F() pod tr vári, um ó ou hum trformd ivr d Lplc O Torm, trtto, grt qu F() tm um trformd ivr d Lplc cotíu, f (), tão f () é úic trformd ivr, cotíu, d F() Dqui por dit, covciormo qu L { F ( )} rprtrá úic trformd ivr cotíu, qudo it Torm : (Liridd) S trformd ivr d Lplc d du fuçõ F ( ) ( ) itm, tão, pr quiqur cott c F c L - - { c F ( ) c F ( )} = c L { F ( )} MÉTODO DO COMPLEMENTO DO QUADRADO c L - { F ( )} Todo poliômio qudrático m pod r poto ob form ( k) h Em prticulr, od: b b b b c = c = c = ( k) h 4 b b k = h = c 4 MÉTODO DAS FRAÇÕES PARCIAIS m O método dvolv como gu A cd ftor d b () d form ( ), corrpod um om d m frçõ d form: A A ( ) Am ( ) m A cd ftor d b () d form ( b c) p, corrpod um om d p frçõ, d form: B C b c B C ( b c) ( b c) p B p C p Aqui, A, B C ( i =,,, m; j, k =,,, p)ão cott dtrmir i j k Em guid, igul- frção ( )/ b( ) à om d frçõ obtid como cim Elimido domidor idtificdo coficit d potêci igui d, chgrmo um cojuto d quçõ lir icógit A,B C Rolvido itm, tão dtrmido o coficit i j k 4

5 Prof Mc ARMANDO PAULO DA SILVA Prof Mc JOSÉ DONIZETTI DE LIMA Covoluçõ: Sjm f ( ) g ( ) A covolução d f ( ) g( ) é: f ( ) * g( ) = f( t) g( t) dt () Torm : f ( )* g( ) = g( )* f( ) Dmotr o Torm Solução: Fzdo ubtituição τ = t o mmbro dirito d f ( ) * g( ) = f( t) g( t) dt = Torm (Torm d Covolução) = f ( ) * g( ) = f( t) g( t) dt, tmo: f ( τ ) g( τ) dτ = g( τ ) f( τ ) d τ = g ( )* f( ) S L{ f ( )} = F( ) L { g( )} = G( ), tão: L{ f ( )* g( )} = L{ f( )}* L { g( )} = F( )* G( ) Pr fito d plicção, é covit primir o Torm, como g() τ f( τ) dτ - L { F ( )* G ( )} = g ( )* f( ) () À vz, é mi fácil clculr Torm, como g ( )* f( ) do qu f ( )* g( ) Ecrv- tão, utilizdo o - L { F ( )* G ( )} = g ( )* f( ) Fução Dgru Uitário A fução dgru uitário é dfiid por: < u ( ) = Como coqüêci imdit d dfiição, tmo, pr qulqur úmro c, u ( c) = < c c 5

6 Prof Mc ARMANDO PAULO DA SILVA Prof Mc JOSÉ DONIZETTI DE LIMA Obrvção: u( c) = O gráfico d u ( c) é ddo por: c < u( c) = c < c c figur c Torm 3: L {( u c)} = Dd um fução f ( ) dfiid pr, fução: < c u ( c) f( c) = f ( - c) c rprt um trlção d f ( ) d c uidd dirção poitiv do io Por mplo, f ( ) é dfiid grficmt pl figur guir, tão u ( c)* f( c) é grficmt rprtd pl figur 3 Torm 4: S f ( ), F () = L { f()}, tão L{ u ( c)* f( c)} = c F ( ) Rciprocmt, - L c c < { F( )} = u( c)* f( c)} = f ( c) c 6

7 Prof Mc ARMANDO PAULO DA SILVA Prof Mc JOSÉ DONIZETTI DE LIMA TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE DERIVADAS Emprg- o método d trformd d Lplc pr rolvr problm d vlor iicil ddo por um qução difrcil lir d ordm com coficit cott b d y d Jutmt com codiçõ iicii d y d b b b y g( ) () d dy = ( ) y ) = c, y '() = c,, y ( ) = c () ( O rultdo bio é cil Torm : Dotmo L{ y ( )} por Y() S y() u ( ) primir drivd ão cotíu pr d y ão d ordm pocil α E α, tão: d d y L = d Y ( ) y() y'() y () y ( ) ( ) ( ) ( ) () (3) Aplicdo (), podmo crvr (3) como d y d L = Y ( ) c c c c (4) Em prticulr, pr = =, obtmo: { y'( )} = Y ( ) c (5) L L { y''( )} = Y( ) c c (6) SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE VALOR INICIAL Pr rolvr o problm d vlor iicil ddo por () (), primiro tomm- trformd d Lplc d mbo o mmbro d qução difrcil (), obtdo- um qução lgébric m Y() Rolv- m guid t qução, m rlção Y(), tom- trformd ivr d Lplc, obtdo y() = L { Y ( )} 7