PARTE 1 EQUAÇÃO GERAL DE UMA RETA. Considere uma reta r que passe pelos pontos P(x 1,y 1 ) e Q(x 2,y 2 )

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1 Dprtmto d Mtmátic, Físic, Químic Eghri d Alimtos Projto Clcul! Pro s : Rosimr Fchi Plá Vd Domigos Viir Cdro - Drivds PARTE EQUAÇÃO GERAL DE UMA RETA Cosidr um rt r qu pss plos potos P, Q, Q P α α Podmos scrvr qução d rutilizdo o poto P tmém podri sr utilizdo o poto Q o su coicit gulr qu é ddo por m tg, ssim r : m E Ecotr qução d rt qu pss plos potos A0, B,7 Dvmos scolhr um dos potos pr scrvr qução, st cso o poto scolhido srá o poto A Os dois potos são cssários pr s clculr o coicit gulr m : A B 7 B A 7 m ou m A B 0 B A 0 Assim tmos: A0, m r : 0 Os: A prtir do vlor do coicit gulr podmos idtiicr posição d rt o plo, ou sj; º cso: m 0 tg cso m 0 tg r r α α A rt prst um modlo crsct A rt prst um modlo dcrsct

2 cso tg m º cso 90 tg m A rté prll o io A rt é prll o io EXERCICIOS: I Ecotr qução d rt qu pss plos potos A-, B, c A, B-,- A, -, d A,- B, IIEcotr um orm simpliicd d prssão h h usdo s sguits uçõs: d c IIISimpliiqu: 9 8 c 8 d 9 9 g h i h h h REGRAS DE DERIVAÇÃO Sjm g uçõs drivávis, tão: g g r α r

3 IR k k k g g g 9 8 g g g g 8 8 8

4 EXERCICIOS: IVClcul s drivds ds sguits uçõs utilizdo rgrs d drivção: 0 7 u u u t t t t t t t 07 7 c t t 09 t h 9 0 g 8 0 h z z z 7z z z z z 9z v g v v 7 h 7 h r r r 7r 8 k v v v v 9 m 7 0 t z z z z z RESPOSTAS: I II 7 c, rt prll o io d h d h h h c h h h h III s d s h, rt prll o io h h s 0, 0 c s s 0 g s, 0 0 h s h s i s h 0 IV u 8u

5 t t t t t t t z z 70 9z 9z z 0z 8z 8z 7 8r r r v v 8 8 v v 9v z 0 PARTE COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES: Sjm s uçõs : A B g : B C Chm-s ução compost d g ução h : A C m qu imgm é otid: Aplic-s ução, otdo-s Aplic-s, ução g, otdo-s g Idic-s h g go pr todo A A B go C g Os: go só st diid qudo CD = Dg go og N composição go, diz-s qu g é ução tr qu é ução itr Emplos: Sjm g, ssim : g g g

6 N ução, s izrmos u trmos u como ução tr u como ução itr Dtro d ução potci tm ução N ução, s izrmos u trmos u como ução tr u como ução itr Dtro d riz tmos um ução N ução s, s izrmos u trmos s u como ução tr u como ução itr s Dtro d ução so tmos ução EXERCÍCIOS: 0Pr cd um ds sguits uçõs, dtrmi g, g : g g c s g d g 0Dtrmi ução tr itr g, sdo qu h= g: h h c h d h h l h tgl g h cos h h cos i h RESPOSTAS: 0 g 8 ; g ; 8 8 g ; g ; c g s ; g s ; s s d g ; g ; 0 c g g l g d g g tg g l

7 7 g i g cos g h cos g DERIVADA DAS FUNÇÕES COMPOSTAS REGRA DA CADEIA g g g E Etr : g u g u Itr : u u Assim: E Etr : g u u g u Itr : u u Assim: EXERCÍCIOS: Clcul drivd ds uçõs:

8 8 RESPOSTAS: PARTE POTENCIAÇÃO A potcição é o rsultdo d multiplicção sucssiv d um umro por l msmo, ou sj, od IN vzs * s pot Os: 0, 0 : : 0 Todo úmro positivo lvdo qulqur pot pr ou ímpr rsult um úmro positivo E: ou 8 Todo úmro gtivo lvdo um pot pr rsult um úmro positivo E: Todo úmro gtivo lvdo um pot ímpr rsult um úmro gtivo E: 8

9 9 Todo úmro dirt d zro lvdo um pot gtivo é igul um rção, m qu o umrdor é smpr uidd, o domidor é o msmo úmro lvdo um pot qu é o simétrico msmo úmro d sil trocdo do pot iicil E: ou Propridds d Potcição: 9 : 0, 8 : : : : 0, : : m m m m m m RADICIAÇÃO: Um riz d mis é qu um oprção ivrs à potcição, sdo ssim, l é utilizd pr rprstr, d mir dirt, um potêci com pot rcioário Assim: m m : E Os IR Pr IR : : E Propridds d Rdicição: 0 : : : p p p p p p FUNÇÃO EXPONENCIAL rdicl ídic rdicdo

10 0 : IR IR,, 0 Propridds: S é crsct S 0 é dcrsct 0 S 0 t t LOGARITMO: Diição: S, IR, 0 0 tão log od: : s do logritmo : logritmdo c : logritmo Propridds Imdits: S 0 0, tmos: log 0 log log log log c c log 0 log log log log Os: log 0 log : logritmos dcimis log l : logritmos turis ou prios Propridds Oprtóris: S 0 0 c 0, tmos: log c log log c log log log c c log log Mudç d s: log log log l l l log log

11 log log c, 0, 0 c 0 logc log l l FUNÇÃO LOGARÍTMICA : IR * IR, log, 0 Propridds : S 0 : IR IR *, g : IR IR *, g log As uçõs g são ivrss: Os: S log : Im IR S : é crsct S 0 : é dcrsct O zro ou riz d ocorr m = EQUAÇÕES EXPONENCIAIS: S 0 0 : log 7 log 7 8 log8 EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS: S 0 0 g 0, tão log log g g log log s 0 Pr qução tr solução dvrmos tr,logo : EXERCÍCIOS: 8 como, st é solução d qução 0Clcul o vlor d: c z 7 8

12 0Clcul o vlor ds prssõs umérics: c 0 0 d 0 0Qul o vlor d prssão qudo 0 0 0Rsolv s sguits quçõs: 8 c d 7 9 0Clcul: log 7 log c log 8 7 0Clcul : log log 07Dtrmi prssão P sdo qu : log P log log log P log log 08Rsolv qução: log log log c log7 log9 d log log log RESPOSTAS: 0 9 c z c d 0 = c d = =

13 0 - c = = - = c = 8 d = DERIVADAS DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS FUNÇÃO EXPONENCIAL: l 0 l Cso prticulr: l Rgr d cdi: l 0 l l l 8 FUNÇÃO LOGARÍTMICA: l 0 log ou log l log Cso prticulr: l l Rgr d cdi: l 0 log l0 l0 l0 log 8 8 l EXERCÍCIOS: I Oth drivd ds uçõs:

14 0 08 l 0 l 09 l l 0 l log 8 0 l l 9 0 l l 0 07 l l l RESPOSTAS: 0 ' 08 ' ' 8l 0 ' l 09 ' l 0 ' 0 ' 0 ' 7 ' l 0 ' l / ' 8 l0 ' 0 ' l ' 9 ' 0 ' ' 0 l 0 ' 07 ' ' 0 PARTE TRIGONOMETRIA Rlçõs trigoométrics o trigulo rtâgulo

15 c B A C c s cos c tg Âgulos otávis: 80 0 = rd 0 0 = rd s cos tg Rlçõs udmtis: s cos s tg cos cos cot g s tg sc cos cossc s 0 = rd 0 0 = rd Ciclo trigoométrico: Aio tmos rprstção d cd ução trigoométric o ciclo sor o plo crtsio A projção do poto P o io é igul o cos cossc P cotg tg A projção do poto P o io é igul o s

16 Trçdo um rt tgt o ciclo o poto,0 uido o ctro trmidd do rco prologdo-s ss rio itrsção dst rt tgt é igul tg Trçdo um rt tgt o ciclo o poto 0, uido o ctro trmidd do rco prologdo-s ss rio itrsção dst rt tgt é igul cot g Trçdo um rt tgt o ciclo o poto P, itrsção dst rt com o io é igul cossc itrsção com o io é igul sc Rlçõs dcorrts: sc = tg + cossc = cotg + Trsormçõs cos- = cos s- = - s c s + = s cos + s cos d cos + = cos cos s s s = s cos cos = cos s EXERCICIOS: 0Emi o triâgulo rtâgulo d igur clcul o vlor ds rzõs: 9 B s A cos A ctg A d s B cos B tg B A 0No trigulo rtâgulo d igur, tmos qu cos A, clcul s A tg A: A

17 7 0 No trigulo rtâgulo d igur, tmos qu tga, clcul s A : A 0Mostr qu cos tgcossc 0 Mostr qu cot g cos sc s cos sc 0 Mostr qu s tg 07 Mostr qu tg tg s sc s tg 08 Mostr qu s tg cot g cos sc 09 Mostr qu s cos sc cos sc 0 Mostr qu tg tg sc Mostr qu Mostr qu cos s cos cos Rsposts: 0 c d DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO SENO: s cos Rgr d cdi : s[] cos[]

18 8 s[ ] cos[ ] FUNÇÃO COSSENO: cos s Rgr d cdi : cos[] -s[] cos[ ] -s[ ] FUNÇÃO TANGENTE: tg sc Rgr d cdi : tg[] tg[ s] sc [] sc [ s]cos FUNÇÃO COTANGENTE: cot g cos sc Rgr d cdi: cotg[] cos sc [] cotg[ - ] cos sc [ - ] FUNÇÃO SECANTE: sc sc tg Rgr d cdi: sc[] sc[]tg[] sc[ - ] sc[ - ]tg[ - ] FUNÇÃO COSSECANTE: cos sc cos sc cot g Rgr d cdi : cossc[] cossc[]cotg[] cos sc[ ] cos sc[ ]cotg[ ] EXERCÍCIOS: Oth drivd ds uçõs: 0 cos 08 s cos cos

19 9 0 s 09 s s cos 0 cossc 0 cos 7 0 cos tg s s 8 lcos 0 sc cos sc tg 9 s cos 0 tg tg sc 0 tg 8 07 cossc cot g s RESPOSTAS: 0 ' s 08 ' cos s ' s cos s 0 ' s cos 09 ' ' [ s 8cos ] 0 cos ' cossc cot g 0 cos s ' s 7 ' 0 ' sctg cossc ' cos 8 ' 8 tg 0 ' sc cossc ' sc 9 ' s s cos cos sc 0 ' ' 0 ' sc tg tg sc tg 07 ' cossc cossc cot g ' s cos DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS FUNÇÃO ARCO - SENO: rc s -

20 0 Rgr d cdi: rcs[] rc s[ ] -[] - FUNÇÃO ARCO - COSSENO: rccos Rgr d cdi: rc cos[] - -[] rccos[ ] - -[ ] FUNÇÃO ARCO - TANGENTE: rctg Rgr d cdi: rc tg[] [] rc tg[ s] [ s] cos FUNÇÃO ARCO - COTANGENTE: rccot g Rgr d cdi: rcco tg[] [] rcco tg[ - ] [ - ] FUNÇÃO ARCO - SECANTE: rcsc Rgr d cdi:

21 rc sc[] rc sc[ - ] [ ] - - FUNÇÃO ARCO - COSSECANTE: rccos sc Rgr d cdi : rccos sc[] rccos sc[ ] [ ] EXERCICIOS: Oth drivd ds uçõs: 0 rcs 0 rctgl rcs t 0 rcs 07 rc cot gtg l rctg 0 rccos 08 rc sc s rctg 0 rcs 09 rccossc s rcs t 0 rccos 0 rccos rc sc RESPOSTAS: 0 ' 0 ' ' t t 9 0 ' rcs 07 ' ' rctg 0 ' 08 ' s s s ' 0 ' 09 ' '

22 0 ' 0 ' t ' 0 t PARTE EXERCÍCIOS DE REVISÃO Oth drivd ds uçõs: 0 08 l l[ rc cos ] rcs l 7 tg 0 rctg 8 cos rccos tg s 0 cos 0 cos 07 s l RESPOSTAS: - 0 ' 08 ' 0 ' ' ' 0 ' ' - rccos ' ' - - l l - - ' 7 ' sc tg rctg ' 8 ' s ' 9 7 sc rccos ' coss ss - 0 ' ' 0 ' cos s cos 9 l 07 ' ' [ cos s ] l

23 PARTE APLICAÇÕES ÁREAS: Rtâgulo Qudrdo Prllogrmo Altur h Altur L Altur h Bs Bs L Bs A h A h L A h Trigulo Losgo Circurêci Altur h r Digol d Bs Digol D h A VOLUMES: Dd A A r C r volums d prllpípdos, cilidros: V A h ár d s multiplicd pl ltur volum d sr: V r volums d cos pirâmids: V Ah EXERCICIOS: 0Dtrmi o comprimto d um circurêci cujo diâmtro é cm 0Clcul mdid do rio d um circurêci cujo comprimto é,9 cm 0Um rod d iciclt tm diâmtro d 0 cm Qul é distâci prcorrid pl iciclt dpois qu rod du 00 volts? 0Um trro tm orm d um trpézio d ss 0 m m, ltur m Nss trro, costruiu-s um pisci rtgulr d 8 m por m No rstt do trro orm colocds pdrs miirs Qul oi ár od s colocou pdr? 0Um chp d mtl circulr, com m d rio icou post o sol Em cosquêci soru diltção d % dimsão do rio Qul ár dss chp pós diltção?

24 0Dtrmi ár do trro plo io: cm cm cm cm cm 8cm 07Qutos ctímtros qudrdos d lumíio são cssários pr zr um rrul cujs dimsõs stão igur? cm cm 08Um idústri prcis ricr 0000 cis d são com 0 cm d comprimto, 0 cm d lrgur cm d ltur Dsprzdo s s, clculr proimdmt, qutos mtros qudrdos d pplão srão cssários pr ricção 09Três cuos d chumo, com rsts d cm, 8cm 0 cm, rspctivmt, são udidos m um só pç cúic Qul o volum d pç cúic otid? 0Um co plástico tm 70 cm d comprimto O rio mior tm 0 cm o rio mor cm Qul o volum do plástico usdo pr zr ss co? Um tqu côico tm m d proudidd su topo circulr tm m d diâmtro Qul é o su volum Mimo m litros, qu ss tqu pod cotr d liquido? O volum d sr é cm Clcul o rio ár d supríci séric Cosidr um lrj como um sr, compost d gomos tmt iguis S lrj tm 8 cm d diâmtro, qul o volum d cd gomo? RESPOSTAS:

25 0,9cm 0, m 0978 cm 07cm 009 m 007, cm 09, km 07 8 cm 780 l m r cm A cm, cm DERIVADAS SUCESSIVAS Fução Primitiv Fução Drivd d Primir drivd d d d Sgud drivd d d d d Trcir drivd d d d d N-ésim drivd d d E Sdo pr otr trcir drivd d, dvmos clculr s drivds d ordm triors st, ou sj: EXERCÍCIOS: 0 Ecotr ds sguits uçõs: c cossc 0 S 0 S 7,cotr z g z,cotr g 0 RESPOSTAS: 0 8 c cossc cos sc 0 0

26 DERIVADAS IMPLÍCITAS Fução plicit: Fução implícit: ; 0 E A ução é um ução diid implicitmt, ou sj = implicitmt Pr drivr tis uçõs dvmos drivr mos os ldos d iguldd m rlção vriávl, tmos: Como =, usrmos rgr d cdi drivd d ução : 8 8 Isoldo drivd : EXERCICIOS: d 0 Clculr ds sguits uçõs: d, d g s tg h c s d 0 S, cotr, d RESPOSTAS: ' d ' g ' s cos - ' ' cos h - ' c ' cos ' cos

27 7 0 7 APLICAÇÕES DA DERIVADA - TAXA DE VARIAÇÃO d : drivd = rzão = t d vrição d 0 o vzmto d ólo pl ruptur d um tqu s splh, águ, m orm circulr, cujo rio crsc à rzão d 0, m/s Com qu vlocidd ár tigid strá crscdo, qudo su rio or 0m? 0Supoh qu z qu, o istt m qu = =, dcrsc um t d cm/s crsc um t d cm/s Qul t d vrição d z ss istt? Z é crsct ou dcrsct 0Um grd lão sérico d orrch stá sdo chio d gás t d 8 m /mi costt Clcul com qu vlocidd o rio r do lão crsc qudo r = 0Um cuo s pd d modo qu su rst vri à rzão d, cm/sg Achr t d vrição d su volum o istt m qu rst md 0 cm 0Um ppgio d ppl stá vodo um ltur d 0 m O groto stá mpido o ppgio d tl modo qu st s mov horizotlmt t d m/sg S lih stá sticd, qu t dv o groto dr lih qudo o comprimto d cord solt 0 m? 0Um scd d m stá poid m um prd A s d scd stá sdo mpurrd o stido cotrrio o d prd, um t costt d m/mi Qul vlocidd com qul o topo d scd s mov pr io, qudo s d scd stá m d prd? 07S o rio d um cilidro é 0 cm, qul t d vrição do volum m rlção ltur, qudo stá or 00 cm? 08Um tqu m orm d co com o vértic pr io md m d ltur tm o topo um diâmtro d m Bomi-s águ t d m /mi Ach t com qu o ívl d águ so qudo ltur tm m d proudidd 09Dois crros prtm d um cruzmto o msmo momto Um vij pr o ort 80 km/h outro vij pr o lst 0 km/h A qu t umt distci tr os dois crros hors pós prtid 0Supoh qu, Brrir do Iro, um técico s posicio com um quipmto 000m d s d lçmto d um ogut S o ogut suir vrticlmt um vlocidd d 00 m/s, qudo stivr 00 m d ltur, com qu vlocidd o âgulo d lvção do quipmto strá vrido qul istt pr mtr o ogut vist? RESPOSTAS 0 0 m / s 0 9/ m/sg km/h 0-9 cm/s z é dcrsct 0 -/ m/mi 00, rd/s 00,m/mi cm 0 70 m / sg 08,7 m/mi

4.21 EXERCÍCIOS pg. 176

4.21 EXERCÍCIOS pg. 176 78 EXERCÍCIOS pg 7 Nos rcícios d clculr s drivds sucssivs t ordm idicd, 5 7 IV V 7 c d c, 5, 8 IV V VI 8 8 ( 7) ( 8), ( ) ( ) '' ( ) ( ) ( ) ( ) 79 5, 5 8 IV, 8 7, IV 8 l, 9 s, 7 8 cos IV V VI VII 5 s

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