Análise e Processamento de BioSinais. Mestrado Integrado Engenharia Biomédica. Faculdade de Ciências e Tecnologia. Universidade de Coimbra

Transcrição

1 Aális Procssamto d BioSiais Mstrado Itgrado Egharia Biomédica Faculdad d Ciêcias cologia Slid Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias ópicos: o Aális d Fourir para Siais Sistmas Liars Ivariats o mpo Itrodução Rsposta m Frquêcia dos SLI Siais Discrtos o mpo: Séris rasformada d Fourir Siais Cotíuos o mpo: Séris rasformada d Fourir Propridads das rasformadas d Fourir rasformadas d Fourir Ivrsa utilizado Epasõs m Fracçõs Parciais Slid Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

2 Itrodução: Um sial pod sr uma sobrposição (psada d siusóids complas S um sial dst tipo é aplicado a um SLI tão a saída do sistma é também uma sobrposição (psada d siusóids complas. Cada lmto siusoidal dssa sobrposição corrspod à rsposta do sistma uma siusóid compla. O pso associado a uma siusóid d dtrmiada frquêcia rprsta a cotribuição dssa siusóid para o sial fial. A rsposta d um SLI a uma trada siusoidal quival à caractrização do comportamto do sistma m trmos da sua rsposta m frquêcia. O studo d siais sistmas utilizado a rprstação siusoidal é dsigada Aális d Fourir (Josph Fourir Slid 3 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Rsposta m Frquêcia dos SLI: A rsposta m frquêcia d um SLI é obtida pla covolução da rsposta a impulso do sistma com uma trada corrspodt a uma siusóid compla. y ( [ ] h[ ] [ ] h[ ] Siusóid Compla Rsposta a impulso Simplificado o factor comum y [ ] h[ ] H ( H ( Ω h[ ] A saída é a siusóid compla da trada multiplicada plo úmro complo H ( Slid 4 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

3 Rsposta m Frquêcia dos SLI: H ( ão dpd do tmpo só dpd da O factor d scala Frquêcia, dsigado-s por Rsposta m Frquêcia do SLI. No caso d um sistma cotíuo o tmpo é possívl drivar rsultados idêticos y ω( t τ ωt ωτ ωt ( t h( τ dτ h( τ dτ H ( ω Sdo H ( ω h( τ ωτ dτ H arg H ( ω ( ω H ( ω { } Rsposta d Fas Rsposta m Amplitud O sistma altra a amplitud a fas da trada. Slid 5 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Rsposta m Frquêcia dos SLI: O sistma altra a amplitud da trada por arg { H ( ω } y H ( ω ωt+arg H ( ω ( t H ( ω ( { } a fas por Slid 6 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

4 Rsposta m Frquêcia dos SLI: Emplo: Circuito RC: Rsposta m Frquêcia A rsposta a impulso do sistma qu rlacioa a tsão aos trmiais do codsador com a tsão aplicada a fot é dada pla prssão h RC ( t t u( t RC H A rsposta m frquêcia é dtrmiada por τ RC ( ω u( τ RC RC ωτ ( ω+ τ RC ( ω+ RC τ dτ RC RC ( ω τ τ RC dτ + RC ( ( ω+ RC ω + RC Slid 7 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Rsposta m Frquêcia dos SLI: Emplo: Circuito RC: Rsposta m Frquêcia A rsposta m amplitud a rsposta d fas são: H ( RC ω arg{ H ( ω } arcta( ωrc ω + ( RC Slid 8 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

5 ψ ( t ψ [ ] Rsposta m Frquêcia dos SLI: t ( t ψ ω A siusóid compla pod sr cosidrada como uma fução própria d um SLI ao qual s associa um valor próprio pois ψ satisfaz a prssão λ H ω λψ ( t λψ [ ] ( H{ ψ ( t } λψ ( t H ω t ω ωt ( Podmos tão prssar os siais como uma soma psada d M siusóids complas M ωt ( t a M ωt y( t a H ( ω Slid 9 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Rprstaçõs d Fourir: Eistm quatro rprstaçõs d Fourir distitas, cada uma aplicávl para siais d difrts caractrísticas Rlação tr as caractrísticas tmporais dos Siais Rprstação d Fourir mais apropriada Sial Priódico Sial Não Priódico Cotíuo (t Discrto [] Séris d Fourir (FS Séris d Fourir Discrtas o mpo (DFS rasformada Fourir (F rasformada Fourir Discrta o mpo (DF Slid Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

6 Rprstaçõs d Fourir: Siais Priódicos: Séris d Fourir S o sial a rprstar for discrto um sial priódico com príodo N tão uma stimativa é [ ] A[ ] ˆ Ω A rprstação para um sial cotíuo com príodo é ( t A[ ] ˆ Notar qu é um ídic para a frquêcia tão frquêcia ω t Ω ˆ [ ] A[ ] ˆ( t A[ ] Harmóica d ordm d Ω / N ω / ω t ω t Harmóica d ordm d A[ ] Frquêcia fudamtal Frquêcia fudamtal dpd da Slid Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Rprstaçõs d Fourir: Siais Priódicos: Séris d Fourir S o sial é priódico com príodo N tão ( N + Só istm N siusóids complas distitas da forma As prssõs para as DFS srão N Ω NΩ Ω Ω Ω Ω ˆ[ ] A[ ] ˆ( t A[ ] ω t Ω Slid Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

7 Rprstaçõs d Fourir: Siais Priódicos Discrtos: Rprstação por Séris d Fourir A[ ] N Ω ˆ[ ] A[ ] ˆ( t A[ ] Para obtrmos os valors dos coficits qu fazm ω t [ ] ( t boas aproimaçõs para os rspctivos siais trmos qu miimizar os rros N N MSE [ ] ˆ [ ] MSE ( t ˆ ( t dt Slid 3 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Rprstaçõs d Fourir: Siais Não Priódicos: Rprstação por rasformada d Fourir Como o sial ão é priódico ão istm rstriçõs o príodo das siusóids utilizadas para rprstar os siais Para sts siais as rprstaçõs por trasformada d Fourir (F utilizam um cotíuo d frquêcias para as siusóids complas. ( ( ω ω t ˆ t dω Em qu ω / rprsta o cotúdo do sial à frquêcia Para o caso discrto a DF iclui frquêcias siusoidais dtro do itrvalo ˆ [ ] ( dω Em qu ( ( ( /( rprsta o cotúdo do sial à frquêcia ω Ω Slid 4 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

8 Rprstaçõs d Fourir: Emplos: Rprstaçõs d Fourir Adquadas [ ] ( u[ ] ( t cos( t + si( 3t t ( t cos( t u( t [ ] δ [ m] δ [ m] m DF FS F DFS Slid 5 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Rprstaçõs d Fourir: Cotíuo (t Discrto [] Sial Priódico Séris d Fourir (FS Séris d Fourir Discrtas o mpo Sial Não Priódico rasformada Fourir (F rasformada Fourir Discrta o mpo (DF (DFS Slid 6 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

9 Séri d Fourir Discrta o mpo-dfs: Siais Discrtos o mpo Priódicos: DFS A rprstação por Séris d Fourir para siais discrtos o tmpo para um sial [ ] com príodo N frquêcia fudamtal Ω / N é dado por N N N Ω [ ] [ ] com [ ] [ ] Ω Est par é dotado por [ ] DFS ; Ω [ ] Domíio do tmpo Domíio da Frquêcia Slid 7 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Séri d Fourir Discrta o mpo-dfs: Emplo: Cálculo da DSF: Por ispcção Dtrmiar os coficits da DFS do sial O príodo é N6 utilizado a igualdad d Eulr: [ ] Usado a prssão ( + φ ( + φ fazdo a sua pasão para a prssão [ ] cos( / 3+φ φ 3 φ 3 + N [ ] [ ] [ ] [ ] + [ ] + [ ] + [ ] + [ ] + [ 3] Ω 3 [ ] [ ] 3 Notar qu ist simtria Slid 8 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

10 Slid 9 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Séri d Fourir Discrta o mpo-dfs: Emplo: Cálculo da DSF: Por ispcção [ ] [ ] 3 o itrvalo outros ; 3 DFS φ φ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ( φ φ φ φ Slid Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Séri d Fourir Discrta o mpo-dfs: o Siais Discrtos o mpo Priódicos: Séris d Fourir Discrtas o mpo [ ] 3 o itrvalo outros φ φ φ φ

11 DSF: o Emplo: Aális Numérica d um ECG (lctrocardiograma Sial corrspodt ao batimto cardíaco para dois casos: batimto ormal taquicardia (arritmia Os spctros m amplitud corrspodts aos primiros 6 coficits da séri DFS Espctro das amplituds dos coficits para o batimto ormal Espctro das amplituds dos coficits para o batimto com taquicardia vtricular Slid Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Rprstaçõs d Fourir: Cotíuo (t Discrto [] Sial Priódico Séris d Fourir (FS Séris d Fourir Discrtas o mpo (DFS Sial Não Priódico rasformada Fourir (F rasformada Fourir Discrta o mpo (DF Slid Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

12 Séris d Fourir FS: Siais Priódicos Cotíuos o mpo Os siais priódicos cotíuos o tmpo são rprstados por séris d Fourir (FS Sa ( t Est par é dotado um sial d príodo frquêcia fudamtal ω ( t [ ] ω t com [ ] ( ω t t ( t FS ;ω [ ] dt Domíio do tmpo Domíio da Frquêcia Slid 3 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Séris d Fourir FS: Siais Priódicos Cotíuos o mpo A séri d Fourir (FS prssa por ( ωt ˆ t [ ] pod ão covrgir para todos os possívis siais. As codiçõs d covrgêcia tr valors d são garatidas fora das dscotiuidads s codiçõs (d Dirichlt: ( t ˆ ( t d ( t ( t satisfaz as É um sial limitado m um úmro fiito d máimos míimos um príodo m um úmro fiito d dscotiuidads Slid 4 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

13 Séris d Fourir FS: Emplo: Cálculo Dircto dos Coficits FS Cosidr o sial da figura. As codiçõs d priodicidad dst sial são t st itrvalo ( t logo virá t t ω t t dt dt [ ] ( dtrmiado ( + [ ] ( ( + t 4 ( 4+ Slid 5 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias, ω t dt Séris d Fourir FS: Emplo: Cálculo Dircto dos Coficits FS O spctro d amplitud o spctro d fas são: Slid 6 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

14 Séris d Fourir FS: Emplo: Coficits FS d Squêcia d Impulsos Cosidr o sial com 4 Como o sial tm simtria par podmos calcular um príodo simétrico m toro d zro ( t δ ( t l l 4 ( / [ ] δ ( t t dt 4 Qu mostra qu o spctro d amplitud dst sial é costat o su spctro d fas é zro. ( t [ ] ω t Notar qu a soma acima ão pod sr dtrmiada para st sial por ão obdcr às codiçõs d covrgêcia (d Dirichlt Slid 7 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias 4 ω t [ ] ( t dt Séris d Fourir FS: Emplo: Coficits FS por Ispcção Cosidr o sial Como bas a prssão Epadido o sial t+ ( t 3cos( t / + / 4 ( t [ ] ω t com tmos 4, ω ( t [ ] ( ( t t ( t 3 + comparado com 3 / 4 FS; 3 / 4 ( t [ ] para outros Notar: o sial tm a sua potêcia coctrada m duas frquêcias Slid 8 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias t t / ω, ω

15 Séris d Fourir FS: Emplo: Coficits FS por Ispcção Para o sial ( t 3cos( t / + / 4 o spctro d amplitud o spctro d fas são: Slid 9 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Séris d Fourir FS: Emplo: Ivrsa d uma FS Cosidr um sial d príodo cuos coficits da FS são prssos por [ ] (, ω Sdo d [] ( t [ ] ω t substituido a prssão os valors t ( t ( + ( t l l t lt ( + ( l cua prssão pod sr simplificada tdo m cota a prssão para o rsultado dos dois somatórios das séris gométricas. Slid 3 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

16 Séris d Fourir FS: Emplo: Ivrsa d uma FS do m cota qu o rsultado para as séris gométricas d somatório ifiito (mas subtraido o trmo corrspodt a l. t l ( t ( + ( l l ( + ( t + / t+ / ( / ( / lt rmo corrspodt a l Slid 3 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Séris d Fourir FS: Emplo: FS d uma oda quadrada Dtrmi a rprstação m Séris d Fourir (FS do sial da figura. [ ] ( t ω t dt As codiçõs d priodicidad dst sial são, ω / itgrado um príodo ωt ωt ωt [ ] ( ω t dt dt ω ω si( ω ( ω ω, Slid 3 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

17 Séris d Fourir FS: Emplo: FS d uma oda quadrada Para para, [ ] dt tdo m cota ω / si( ω si( / [ ], ω si ( ( u sic u [ ] ( sic u Slid 33 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Séris d Fourir FS: O coficits [], 5 5, para três odas quadradas com difrts rlaçõs (a s / /4. [ ] ( sic [ ] (b s / /6. Slid 34 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

18 Séris d Fourir FS: O coficits [], 5 5, para três odas quadradas com difrts rlaçõs (c s / /64. [ ] ( sic [ ] Slid 35 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Séris d Fourir FS: Em aális d Fourir a forma si sic ( u u é muito comum. ( u Fução Sic sic(u si(u/(u Nsta fução, com u o valor máimo é Slid 36 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

19 Séris d Fourir FS: ( t Um sial prsso por Séris d Fourir FS: forma pocial ( t [ ] cotíuo o tmpo priódico pod sr Séris d Fourir FS: forma trigoométrica para siais com B ω t [ ] ( ω t t Slid 37 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias dt ω ( t B[ ] + B[ ] cos( ω t + A[ ] ( ω t [ ] ( t [ ] ( t cos( ω tdt B dt si [ ] ( t si( ω tdt A Séris d Fourir FS: Nas séris d Fourir FS a forma trigoométrica ( t B[ ] + B[ ] cos( ω t + A[ ] ( ω t B [ ] ( t [ ] ( t cos( ω tdt B dt si A rlação tr coficits da vrsão pocial trigoométrica pod sr obtida pla igualdad d Eulr sdo as rlaçõs: B [ ] ( t si( ω tdt A [ ] [ ] B[ ] [ ] + [ ] [ ] ( [ ] [ ] A, Slid 38 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

20 Rprstaçõs d Fourir: Cotíuo (t Discrto [] Sial Priódico Séris d Fourir (FS Séris d Fourir Discrtas o mpo Sial Não Priódico rasformada Fourir (F rasformada Fourir Discrta o mpo (DF (DFS Slid 39 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias rasformada d Fourir Discrta o mpo DF: Siais Não Priódicos Discrtos o mpo Os siais priódicos discrtos o tmpo são rprstados pla rasformada d Fourir Discrta (DF através da combiação d siusóids complas. Sa um sial discrto ão priódico a sua rprstação por DF volv um somatório m todo o spctro d frquêcias d [ ] [ ] ( < Ω dω ( [ ] Est par é dotado DF [ ] ( Domíio do tmpo Domíio da Frquêcia Slid 4 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

21 DF: Siais Não Priódicos Discrtos o mpo A soma ifiita Covrg s [ ] ( [ ] tm uma duração fiita é um sial limitado Covrg para uma fução cotíua d s tm duração ifiita obdc ao critério do somatório Ω [ ] [ ] < Slid 4 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias DF: Emplo: DF d Squêcia Epocial Cosidr o sial DF Substituido obtmos [ ] α u[ ] ( [ ] cuo somatório covrg s. ( ( α S α é ral ( α Ω da qual s prtd dtrmiar a ( α u[ ] α α < α, α < α cosω + α si Ω arg ( { ( } Slid 4 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

22 DF: Emplo: DF d Squêcia Epocial Os spctros d amplitud fas são ( ( α cosω + ( α si Ω + α α cosω arg α si Ω { ( } arcta α cosω DF para o sial pocial [] (α u[]com α.5. Slid 43 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias DF: Emplo: DF d um Impulso Cosidr o sial qu quival ao par [ ] δ [ ] ( δ [ ] δ [ ] DF cuo spctro m frquêcia é dado por da qual s prtd dtrmiar a DF ( [ ] Slid 44 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

23 Rprstaçõs d Fourir: Cotíuo (t Discrto [] Sial Priódico Séris d Fourir (FS Séris d Fourir Discrtas o mpo Sial Não Priódico rasformada Fourir (F rasformada Fourir Discrta o mpo (DF (DFS Slid 45 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias rasformada d Fourir F: Siais Não Priódicos Cotíuos o mpo A trasformada d Fourir (F é utilizada para rprstar siais ão priódicos cotíuos o tmpo através d composição d siusóids complas. Sa um sial cotíuo ão priódico a sua rprstação por F volv um itgral m todo o itrvalo d frquêcias ( t ( t ( ω ω t dω Est par é dotado Domíio do tmpo F ( t ( ω ( ω ( t ωt dt Domíio da Frquêcia Slid 46 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

24 rasformada d Fourir F: Siais Não Priódicos Cotíuos o mpo Os itgrais ( t ( ω ω t dω ( ω ( t ( t podrão ão covrgir para todas as fuçõs. A covrgêcia potual é garatida fora d dscotiuidads com as sguits codiçõs para : É um sial absolutamt itgrávl ( t dt < ωt dt ( ω m um úmro fiito d máimos, míimos d dscotiuidads A dscotiuidad tm uma tsão fiita Slid 47 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias rasformada d Fourir F: Emplo: F d uma Epocial Ral Dtrmi a rprstação m rasformada d Fourir (F do sial da figura. at ( t u( t ( ω ( t ωt dt A F ão covrg para itgrávl para a > tmos at a pois o sial ão é absolutamt dt, a at ωt ( a+ ω t ( a ω t ( ω u( t dt dt + a+ ω a+ ω Slid 48 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

25 rasformada d Fourir F: Emplo: F d uma Epocial Ral Os spctros d amplitud fas dsta rasformada d Fourir (F do sial são: ( ω a + ω arg { ( ω } arcta( ω / a Slid 49 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias raformada d Fourir F: Emplo: F d um Pulso Rctagular Dtrmi a rprstação m rasformada d Fourir (F do sial da figura. ( t, < t <, t > ( ω ( t ωt dt ( ω ( t ( ω, ω si dt < A F é absolutamt itgrávl s ωt ωt ω para ω o itgral pod simplificar o rsultado é ( ω, ω dt Slid 5 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias ω ωt

26 rasformada d Fourir F: Emplo: F d um Pulso Rctagular O valor da F pod sr prssa m trmos da fução sic ( ω sic( ω /, ω As prssõs para os spctros d amplitud fas dsta rasformada d Fourir (F do sial são: ( ( ω si ω, ω ω arg { ( ω },si,si ( ω ( ω / ω > / ω < Slid 5 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias rasformada d Fourir F: Emplo: F d um Impulso Cosidr o sial qu quival ao par ( t δ ( t da qual s prtd dtrmiar a F ωt ( ω δ ( t dt ( ω ( t ωt dt δ ( t F cuo spctro cotém cotribuiçõs d pociais complas m todo o domíio d frquêcias d ω Slid 5 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

27 Rprstaçõs d Fourir Cotíuo (t Discrto [] Sial Priódico Séris d Fourir (FS Séris d Fourir Discrtas o mpo (DFS Sial Não Priódico rasformada Fourir (F rasformada Fourir Discrta o mpo (DF N [ ] [ ] N N Ω [ ] [ ] Ω Ambas priódicas d príodo N Ω / N [ ] ( Slid 53 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias É priódica d príodo ( [ ] dω Rprstaçõs d Fourir Cotíuo (t Discrto [] Sial Priódico Séris d Fourir (FS Séris d Fourir Discrtas o mpo (DFS Sial Não Priódico rasformada Fourir (F rasformada Fourir Discrta o mpo (DF ( t [ ] ω t ω t [ ] ( t dt Ambas priódicas d príodo ω / ( t ( ω ω t dω Slid 54 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias ωt dt ( ω ( t

28 Propridads Rprstaçõs Fourir: Priodicidad tr Domíios d Rprstaçõs d Fourir Em gral as rprstaçõs qu são cotiuas um domíio são ão priódicas o outro domíio Rprstaçõs qu são discrtas um dos domíios são priódicas o outro domíio Propridad Propridad Domíio mpo Cotíuo Discrto Priódico Não Priódico Domíio Frquêcia Não Priódico Priódico Discrto Cotíuo Slid 55 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Liaridad Simtria: As quatro rprstaçõs d Fourir (DFS, FS, DF, F satisfazm as propridads da liaridad qu podm sr dscritas por: z z z z F ( t a( t + by( t Z( ω a ( ω + by ( ω FS,ω ( t a( t + by( t Z[ ] a [ ] + by[ ] DF [ ] a[ ] + by[ ] Z( a ( + by ( DFS ;Ω [ ] a[ ] + by[ ] Z[ ] a [ ] + by[ ] Slid 56 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

29 Liaridad Simtria: Emplo: Liaridad as Séris d Fourir (FS Supoha um sial priódico. Utiliz a propridad da liaridad a FS d um pulso para dtrmiar os coficits da FS do sial. FS, ω ( t P[ ] si( p Cosidrado o sial composto por ( t 3 ( t + y( t z Cada um dsts siais pod sr dscrito por FS, ( t [ ] si( 4 FS, ( t Y[ ] si( y Slid 57 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Liaridad Simtria: Emplo: Liaridad as Séris d Fourir (FS FS, ( t [ ] si( 4 ( t Y[ ] si( y FS, Com bas a propridad da liaridad a FS do sial composto é FS, 3 ( t Z[ ] si( si( z + 4 Slid 58 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

30 Simtria: Part Ral & Imagiária Cosidrado qu o F aplicada mas aplicada ao cougado d um sial ωt ωt Supodo qu Etão ( ω ( t dt ( t ( t ( t ( dt é um Ral. t ( trmos ( ω t ω ( t ( ω ( ω o qu implica a trasformada é obtida plo complo - cougado simétrico: S o sial é ral tão a part ral do spctro é uma fução par a part imagiária do spctro é uma fução ímpar dt R { ( ω } R{ ( ω } Im{ ( ω } Im{ ( ω } Slid 59 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Simtria: Part Ral & Imagiária ( t Acos( ωt φ S o sial d trada é a rsposta a impulso uma fução ral h( t tão F H( ω é uma fução obtida plo complo - cougado. A ( ωt φ A ( ωt φ O sial d trada pod sr prsso por( t + ω Sabdo qu pla propridad da liaridad y y t ( t H( ω A ( ωt φ + arg{ H ( ω } A ωt φ arg H ( ω ( t H( ω + H ( ω ( { } Eplorado as propridads H ( ω H( ω arg { H( ω } arg{ H( ω } Simplificamos o sial d saída para y ( t H( ω Acos ( ωt φ + arg{ H( ω } Slid 6 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

31 Simtria: Part Ral & Imagiária Sdo o sial d saída dado por y ( t H( ω Acos ( ωt φ + arg{ H ( ω } tão vrificamos qu a uma rsposta a impulso ral modifica o sial d saída m qu A amplitud é modificada por A fas é modificada por arg H( ω { H( ω } Slid 6 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Simtria: Part Ral & Imagiária S No caso d o sial d trada sr discrto do tipo s a rsposta a impulso ( t Etão y for um sial imagiário puro t t a F virá Cocluido qu [ ] Acos( Ω φ h[ ] for ral [ ] H( Acos( Ω φ + arg{ H( Ω } ( ( ωt ( ω ( ω ( t dt ( t t dt ( ω ( ω Slid 6 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

32 Propridads d Simtria: Rprstação F FS DF DFS Siais com valors Rais Siais com valors Imagiários ( ω ( ω ( ω ( ω [ ] [ ] [ ] [ ] ( ( ( ( [ ] [ ] [ ] [ ] Slid 63 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Simtria: Fução Par Ímpar Supodo t t Etão logo A prssão para a F vm ( um sial ral simtria par ( ( t ( t ( t ( t ( t ( ωt ( ( ωt ω t ω t dt ( t dt ( t Fazdo uma mudaça d variávl ( t obtmos S o sial for ral par tão é ral. dt τ t ωτ τ dτ ( ω ( ( ω ( ω ( t ( ω ( ω ( ω S o sial for ral ímpar tão é um spctro só com part imagiária. Slid 64 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

33 Propridad da Covolução: Cosidr um sial d saída rsultado da covolução d dois siais ãopriódicos y Eprssado Obtmos y Poddo cocluir qu y ( t h( t ( t h( τ ( t τ dτ ( t τ pla F ivrsa ω( t τ ( ( t τ ( ( ( ( t h t t h τ ( ω H h ωτ ( τ dτ ( ω ( ω ( ω ωt dω ωt dω ω ωt ωτ F ( t h( t ( t Y( ω ( ω H( ω dω dτ É a F d y(t!! dω Slid 65 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Propridad da Covolução: Coclusão Importat A covolução d dois siais ão priódicos o domíio do tmpo quival a uma multiplicação das duas fuçõs spctro, o domíio da frquêcia. y F ( t h( t ( t Y( ω ( ω H( ω A aális do comportamto da saída d um sistma liar fica dss modo simplificada. Rsum-s à multiplicação da fução spctral da rsposta a impulso com a fução spctral do sial d trada Propridad smlhat ist para siais discrtos No caso d siais ão priódicos DF DF [ ] ( h[ ] H( Em qu a covolução srá y DF [ ] [ ] [ ] ( Ω h Y ( H( Slid 66 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

34 Propridad da Covolução: Emplo: Utilizado a Propridad Covolução Supoha o sial d trada: Aplicado sistma com rsposta a impulso: Dtrmi o sial da saída o domíio do tmpo Rsolvdo o domíio da frquêcia F ( t ( ω Como y y,, Sdo a rsposta tmporal ( t si ( h( t ( t t si y( t h( t ( t t ω < ω > h F ( t H ( ω,, F ( t h( t ( t Y( ω ( ω H( ω F ( t Y ( ω,, ω < ω > ( t ( t y si t ω < ω > Slid 67 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Propridad da Covolução: Filtragm A propridad da covolução ofrc uma boa rprstação para a oção d filtragm. Um sistma raliza uma filtragm um d trada sial o corrspodt sial d saída aprsta compots d frquêcia difrts. Cotíuo Discrto Passa-Baio Passa-Alto Passa-Bada Slid 68 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

35 Filtragm: A rsposta m amplitud, o domíio da frquêcia, d um filtro é ormalmt dscrita m dcibls (db. A utilização da uidad dcibl a rsposta é dscrita uma scala logarítmica, o qu prmit amiar os dtalhs da rsposta da bada d passagm da bada d rtção d frquêcias. Notar qu um amplificação uitária corrspod a zro db! A frquêcia d cort do filtro é dfiida para a frquêcia cua rsposta m amplitud corrspod a -3dB qu corrspod a uma amplitud da rsposta d Como log H ω ( ou log H( ( ω H( ω ( ω Y ( a frquêcia d cort corrspodt a -3dB corrspod a frquêcias da qual o filtro passa só mtad da potêcia do sial d trada Slid 69 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Filtragm: Emplo: Utilizado a Propridad Covolução O circuito da figura tm como sial d trada mas tm dois siais possívis d saída y R ( t y C ( t. A rsposta a impulso para a saída y C ( t é ( ( t ( RC h ( C t RC u t Sdo yr ( t ( t yc ( t a rsposta a impulso para a saída y R ( t é dada por t RC h t δ t u t R ( ( ( RC ( ( ( t As fuçõs corrspodts às rspostas m frquêcia d cada uma das saídas são RC H C ( ω H R ( ω ω RC + ωrc + RC + Os rspctivos gráficos m frquêcia para ambas as fuçõs, podm sr ilustrados m db. ω ω Slid 7 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

36 Filtragm: Emplo: Utilizado a Propridad Covolução H C ( ω ω RC + H R ( ω ωrc + ωrc ω RC + Slid 7 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Propridad da Covolução: Idtificação Rlação Etrada/Saída A propridad da covolução prmit stablcr uma razão tr a F (ou DF do sial d saída o sial d trada. ( ω ( ω Y Y H ( ω ( ( H Ω ( Emplo: Idtificação d um sistma t t Supodo um sistma cua saída é y( t u( t ao sial d trada ( t u( t dtrmiar a rsposta m frquêcia a impulso do sistma. ω + ( t t F u( t ( ω ( t ( F y t u t Y ( ω A rsposta m frquêcia é dada por H ( ω Y ( ω ω + + ( ω ω + ω + omado a F ivrsa, obtmos a rsposta a impulso ω + h t ( t δ ( t + u( t Slid 7 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

37 Propridad da Covolução: Siais Priódicos Siais Cotíuos Priódicos A covolução tr dois siais cotíuos com príodo é dada plo itgral d covolução qu dvrá sr priódico, d príodo. y t t z t z t d A rprstação mais apropriada para os três siais é a FS. Siais Discrtos Priódicos ( ( ( ( τ ( τ y FS ; ( t ( t z( t Y[ ] [ ] Z[ ] A covolução discrta d duas squêcias discrtas N- priódicas, z é dada plo somatório, qu é também uma squêcia N - priódica. y N [ ] [ ] z[ ] [ ] z[ ] A rprstação mais apropriada para os três siais é a DFS. τ [ ] [ ] y DFS ; N [ ] [ ] z[ ] Y[ ] N [ ] Z[ ] Slid 73 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Covolução: Siais Priódicos Emplo: Utilizado a Propridad Covolução Supoha qu o sial z( t cos( t + si( 4t é a rsposta a impulso d um sistma ao qual é aplicado o sial d trada abaio: Ambos os siais têm príodo a saída podrá sr dtrmiada com auda da propridad da covolução FS ; y( t ( t z( t Y[ ] [ ] Z[ ] ± Os coficits da FS para ambos os siais são ( Z[ ] Os coficits ( da FS para o / ± outro Y[ ] [ ] Z[ ] sial d saída são outros si [ ] ( aplicado a FS ivrsa y( t ( cos( t Slid 74 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

38 Propridads da Drivação: A drivação a itgração são opraçõs qu s aplicam as fuçõs cotíuas. No caso das rprstaçõs d Fourir são importats para siais cotíuos o tmpo ou fuçõs cotíuas a frquêcia (F DF. Drivada mporal Sdo a F d um sial cotíuo dada por d dt ( t ( ω ω t dω ω ( t t ( ω ω dω ( F t ω ( ω d dt Sdo ( t um sial priódico tão a sua FS é ( t [ ] d dt ( t [ ] d dt ω t ω t FS; ω ω ( t ω [ ] Slid 75 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Propridads da Drivação: Drivada a Frquêcia A drivação pod sr ralizada o domíio da frquêcia sdo a F um sial cotíuo dado por d dω ( ω ( t( t ( ω ( t ω t dt ωt dt d dω F ( t ( t ( ω A drivação a frquêcia quival à multiplicação por (-t do sial o domíio do tmpo. Slid 76 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

39 Propridads da Drivação: Emplo: rasformada d Fourir d um Pulso Gaussiao Dtrmi a F d um sial cotíuo dado por A drivada dsta fução é d dt g g t ( t t t ( t tg( t Plas propridads da drivação: d F F d g( t ωg( ω tg( t G( ω dt dω F tg( t ωg( ω F d tg( t G( ω dω d ωg ( ω G( ω dω Esta quação difrcial m G ω tm a msma forma fucioal qu por isso sr prssa por G ( ( ω c ω Slid 77 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Propridads da Drivação: Emplo: rasformada d Fourir d um Pulso Gaussiao Para dtrmiar a costat dsta forma fucioal podmos utilizar o calculo da F para ω Logo G c t ωt ( ω ( t dt ( dt ω podmos cocluir qu a trasformada d Fourir d um pulso Gaussiao é uma Gaussiaa. g t ( t t F ω Slid 78 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

40 Propridad do Dslocamto: Dslocamto o mpo S z( t ( t t é uma vrsão dslocada o tmpo d ( t tão podmos rlacioar as F dos dois siais. Z ωt ( ω z( t dt ( t t ωt dt O rsultado do dslocamto o tmpo do sial t por t quival a t multiplicar a F por ω. O amplitud do spctro fica ialtrada Z A fas é altrada m fução da frquêcia d forma liar τ t t ( ( ω ( τ τ + t Z dτ ωt ωτ ωt ( τ dτ ( ω ( ( ω ( ω ωt Z( ω ( ω arg{ Z( ω } ( ω ωt arg{ } Slid 79 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Propridad do Dslocamto: Emplo: Calculo da F d um sial Dslocado o mpo τ t t S z( t ( t é uma vrsão dslocada o tmpo d ( t tão podmos rlacioar as F dos dois siais. ( si ( ωt ω ω Z( ω ( ω ω F ωt ( t t ( ω Z ω ( ω si( ω ω Slid 8 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

41 Propridad do Dslocamto: Dslocamto a Frquêcia S Z ( ω ( ( ω γ é uma vrsão dslocada o spctro d ( ω tão podmos rlacioar as F dos dois siais. Usado a F ivrsa z ωt ( t ( ω ω ( ( ω γ Z d z ωt dω η ω γ ( η γ t γt ηt γt ( t + ( d ( d ( t η η η η O rsultado do dslocamto a frquêcia quival a multiplicar o sial o domíio do tmpo por uma siusóid compla cua frquêcia é igual ao dslocamto. γt F ( t ( ( ω γ Slid 8 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias IF- Epasão usado Fracçõs Parciais: Supodo qu a fução spctro poliómios do tipo s prssa como uma razão tr dois é possívl dtrmiar a F ivrsa a partir das parclas corrspodts às fracçõs parciais corrspodts. S M N tão podmos fazr a divisão do poliómio tomado st a forma Assumido qu as raízs do poliómio form tão pod sr dscrita por M b ( ω No caso d raízs ( ω M bm ( ω + L+ b ( ω ( ω N N M < N + b N + a ( ω + a ( ω + L+ a ( ω M N ( ω f ( ω ( ω N d,,, K, N ( ω distitas ~ B + A ( ω d N C ω d B A ( ω ( ω ( ω ( ω A( ω d ( ω Sdo C dtrmiado plo método dos rsíduos. Slid 8 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

42 IF- Epasão usado Fracçõs Parciais: Sdo ( ω N C ω d d,,, K, N assumido qu cada raiz tm a part ral gativa podmos utilizar as propridads da liaridad para obtr o par N dt F ( t C u( t ( ω N C ω d Slid 83 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias IF- Epasão usado Fracçõs Parciais: rasformada Discrta S a DF for dscrita por uma razão tr poliómios m Assumido qu as raízs do poliómio form tão Sdo ( ( pod sr dscrita por DF ( d u[ ] ( M bm + L+ b ω N ( N d ( ( + b B α N + α N + L+ α + A M < N A( ( N C d tão pla propridad da liaridad obtmos a trasformada ivrsa N [ ] C ( d u[ ] d,,, K, N Slid 84 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

43 Multiplicação Covolução Slid 85 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias Dualidad Slid 86 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

44 abla d Propridads ABELA Slid 87 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias abla d Propridads ABELA Slid 88 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias

45 Sumário o Rsposta m Frquêcia dos SLI o Siais Discrtos o mpo : Séris rasformada d Fourir o Siais Cotíuos o mpo: Séris rasformada d Fourir o Propridads das rasformadas d Fourir o rasformadas d Fourir Ivrsa utilizado Epasõs m Fracçõs Parciais Slid 89 Aális Procssamto d BioSiais MIEB Adaptado dos slids S&S d Jorg Dias