Apontamentos de Análise de Sinais

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1 LICECIATURA E EGEHARIA DE SISTEAS DE TELECOUICAÇÕES E ELECTRÓICA Aptamts d Aális d Siais ódul 7 Prf. Jsé Amaral Vrsã. -5- Scçã d Cmuicaçõs Prcssamt d Sial ISEL-CEDET, Gabit C da@isl.pt

2 Ídic OBJECTIVOS.... SÉRIE DE FOURIER... SÉRIE DE FOURIER DE SIAIS DISCRETOS PERIÓDICOS... EXEPLO.... TRASFORADA DE FOURIER. TRASFORADA DE FOURIER DE SIAIS DISCRETOS ÃO PERIÓDICOS... EXEPLO... EXEPLO... TRASFORADA DE FOURIER DE SIAIS DISCRETOS PERIÓDICOS...4 EXEPLO TEOREA DE PARSEVAL...5 EXERCÍCIO EXEPLO...6 EXEPLO...7 ATLAB EXEPLO...8 EXEPLO... EXERCÍCIO EXEPLO... EXEPLO... EXEPLO...4 EXEPLO EXEPLO ATLAB EXEPLO...6 EXEPLO...6 EXEPLO...7 EXERCÍCIO EXEPLO...8 APÊDICE : SÉRIE DE FOURIER DE SIAIS DISCRETOS PERIÓDICOS...9 APÊDICE : TRASFORADA DE FOURIER DE SIAIS DISCRETOS ÃO PERIÓDICOS... FICHA DE AVALIAÇÃO 7... GRUPO C... EXERCÍCIO... EXERCÍCIO... GRUPO B... EXERCÍCIO...

3 ódul 7 Espctr d siais discrts TÓPICOS Séri d Furir d siais discrts priódics Trasfrmada d Furir d siais discrts ã priódics Trasfrmada d Furir d siais discrts priódics Trma d Parsval Aprsta-s st ódul a aális d Furir d siais discrts priódics ã priódics. Apêdic é dduzida a Séri d Furir d siais discrts priódics Apêdic é dduzida a Trasfrmada d Furir d siais ctíus ã priódics. Os ccits rlvats sã aprstads m dstaqu iíci d ódul, sguid-s um cut d xrcícis d aplicaçã, m qu s dá êfas spcial à utilizaçã d atlab. ã xistid m atlab um úcl d cálcul ddicad, à smlhaça d xistt para siais ctíus, a dduçã d xprssõs aalíticas da TF d siais discrts xig um mair sfrç aalític pssal. ódul 8, madamt após dsvlvimt d ccit d amstragm d siais ctíus, aprstar-s-ã as técicas uméricas altrativas a dvida aális cmparativa. Obctivs fim dst módul alu dvrá :. Sabr calcular a SF d siais discrts priódics.. Sabr calcular a TF d siais discrts ã priódics.. Sabr calcular a TF d siais discrts priódics.

4 . Séri d Furir, priódic d príd, pd sr rprstad cmpltamt através d uma Séri d Furir SF Qualqur sial discrt x [ ] Séri d Furir d siais discrts priódics cm x [] C C x[ ] Tal cm para cas ctíu, a rprstaçã d sial discrt priódic x [ ] através da sua SF é dsigada pr spctr d sial. t qu para a dscriçã tmpral d um sial discrt priódic d príd apas sã cssáris valrs d sial, á qu, pr dfiiçã, x [ ] x[ ]. Também para a dscriçã spctral d sial sã cssáris apas cmpts spctrais, cm é vidt a xprssã x [ ] C, dad qu as xpciais cmplxas discrtas d frquêcias ± sã idêticas. O spctr d sial é cmpltamt rprstad itrval [, ], u [, ], crrspdd as cmpts próximas d às baixas frquêcias as cmpts próximas d às altas frquêcias. Exmpl. A figura 7. mstra um príd d sial discrt x[ ] cs[ ] cs[ 4], cm, u sa 4 rspctiv spctr, rprstad m fuçã d. t as riscas m 4, rspitats a cada um ds c-ss. A figura 7. mstra um príd d sial discrt [] cs[ ] cs[ 4 ]. cs[ ] x 5, cm, u sa 4 rspctiv spctr, rprstad m fuçã d. t as riscas m, 4, 5, rspitats a cada um ds c-ss Figura Figura 7. Prf. Jsé Amaral 7 - Vrsã. -5-

5 . Trasfrmada d Furir Trasfrmada d Furir d siais discrts ã priódics A trasfrmada d Furir TF d um sial discrt ã priódic, x [ ], também dsigada pr trasfrmada d Furir dircta para siais discrts, é rprstada pr X, sd dada pr A rlaçã X [ ] x [ ] X d x é dsigada pr trasfrmada d Furir ivrsa para siais discrts. O par d quaçõs é dsigad cm par d trasfrmadas d Furir para siais discrts Tal cm para cas ctíu, a TF d um sial discrt ã priódic é uma fuçã ctíua da frquêcia agular. t qu para cas discrt a trasfrmada é priódica d. Exmpl. A figura 7. mstra sial x[ ] u[ ], rspctiv spctr d amplitud X. t qu ± crrspd às máximas frquêcias qu cmpõm s spctr d sial. Exmpl. A figura 7.4 mstra sial discrt x [ ] u[ 5] u[ 5], su spctr d amplitud X s5 s Figura Figura 7.4 Prf. Jsé Amaral 7 - Vrsã. -5-

6 A TF d um sial discrt, x [ ] pr C δ X, priódic d príd, é dada, cm, sd s cficits C prprciais às amstras da TF d sial d duraçã fiita, x [ ], idêtic, um príd, a sial priódic m aális C Trasfrmada d Furir d siais discrts priódics X Exmpl.4 A figura 7.5 mstra s gráfics da TF da vrsã priódica d sial discrt x [ ] u[ 5] u[ 5], squcialmt, para príds, 4 6, cstituída pr impulss d Dirac lcalizads as frquêcias múltiplas da frquêcia fudamtal, a qu s sbrpôs a TF da vrsã d rgia, vista xmpl., ficad assim clara a rlaçã X X δ T A cmparaçã cm a figura 7.6, m qu s mstra s cficits da SF para cas 4, ilustra a rlaçã X C. t qu um sial discrt priódic, d príd, é cmpltamt dscrit através d uma squêcia, tmp, d valrs umérics, td uma rprstaçã atural a frquêcia através d um sial discrt, crrspdt as cficits da sua SF, também crrspdt a uma squêcia d valrs umérics. A TF dss msm sial é um sial ctíu dscrit pl smatóri d impulss d Dirac situads s múltipls da frquêcia fudamtal d sial. Embra tratamt d siais, priódics u ã, através da msma frramta frmal, TF, prmita qu s dduzam rlaçõs tórica imprtats, cm s frisu quad faláms da TF d siais ctíus, fact d rcurs à SF prmitir qu s dscrva, maipul, um sial através d valrs umérics tra sta trasfrmaçã xtrmamt útil, pr prmitir um tratamt cmputacial ficit. Cm s vrá Figura Figura 7.6 próxim ódul, st fact lvará à dfiiçã d uma trasfrmada, dsigada pr DFT Discrt Furir Trasfrm, cua utilizaçã s gralizará a td tip d siais. Prf. Jsé Amaral 7-4 Vrsã. -5-

7 . Trma d Parsval, pd sr calculada tat dmíi d tmp cm dmíi da frquêcia, sd A rgia d um sial discrt ã priódic, x [ ] E D md muit smlhat a cas ctíu, pdms drivar para s siais discrts as xprssõs qu s prmitm calcular a rgia u a ptêcia d sial, dmíi da frquêcia. [] x X d Tal cm para cas ctíu, a fuçã rgia. X é dsigada pr dsidad spctral d A ptêcia média d um sial discrt priódic, d príd, pd sr calculada tat dmíi d tmp cm dmíi da frquêcia, sd P x[] C Prf. Jsé Amaral 7-5 Vrsã. -5-

8 Exrcíci 7. Exmpl Calcul s cficits da SF d sial cua vluçã tmpral s mstra a figura 7.7, qu pd sr dscrit aaliticamt pr x cs [ ] - Os cficits da SF d um sial discrt priódic, d príd, sã dads pr C x[ ] prst cas cs cs[ ] Figura 7.7 lg [ ] C x cs Pdms vrificar rsultad prcdd à rcstruçã d sial a partir ds cficits da SF. Rsulta assim [ ] x C C cs Prf. Jsé Amaral 7-6 Vrsã. -5-

9 Prf. Jsé Amaral 7-7 Vrsã Figura 7.8 Exmpl Calcul s cficits da SF d puls rctagular discrt d duraçã pridicidad, cua vluçã tmpral s mstra a figura 7.8 Os cficits da SF d um sial discrt priódic, d príd, sã dads pr [ ] x C cas prst C Td m atçã qu para uma prgrssã gmétrica r r u r u u Pdms scrvr C s s s s

10 atlab 7. Exmpl Rcrra a atlab para rslvr Exmpl d Exrcíci 7.. Dad sial x cs 4 [ ] cs[ ] Rcrrd à biblitca d cálcul simbólic, tms wgpi/; *pi/wg; syms w xsym'cs*w'; Pdms rprstar sial g:.:; xgsubsx,w,wg; xgdublsubsxg,,g; figur;pltg,xg; grid ; axis[ - ]; g:-; xgsubsx,w,wg; xgdublsubsxg,,g; figur; hld stmg,xg,'filld'; grid ; hld ff, cm s mstra a figura 7.9. Atdd à dfiiçã d SF d um sial discrt [ ] C x xbsym'xp-**w*'; C/*symsumx*xb,,,- CsimplifysubsC,w,wg C /4-/4*xp-i**pi Obtms assim a xprssã ds cficits da SF Figura Figura 7. C 4 Pdms rprstar graficamt módul ds cficits Figura 7. g:-; CgdublsubsC,,g; figur;stmg,abscg,'filld'; grid ; axis[ - ];, cm s mstra a figura 7., m qu a scala hriztal pd sr itrprtada cm crrspdd a ídic d cficit u à frquêcia rmalizada [, ]. É cmum, fazr a rprstaçã itrval [ ] figur; stmg-/,fftshiftabscg,'filld'; grid ; axis[-/ / - ]; Trad mais clara a simtria qu caractriza a rprstaçã d Furir d siais rais, vidciad a xistêcia das riscas spctrais m ±. Rcrd qu as xpciais cmplxas Prf. Jsé Amaral 7-8 Vrsã. -5-

11 discrtas sã priódicas d, u sa, s cficits da SF sã priódics d. S prtdêssms prcdr à rcstruçã d sial, pdríams fazr xbrsym'xp**w*'; xrsimplifysymsumc*xbr,,-/,/- xr cs*w t qu as xprssõs aalíticas sã irrlvats, dsd qu, aturalmt, rprstm cvitmt as squêcias. O xmpl qu acabáms d vr rsum-s à rprstaçã da squêcia priódica, d príd 4 x [ ] [,,,] 4 m SF, d d rsultam s cficits dads pla quaçã d aális C x[ ] qu cstitum também ls uma squêcia priódica d príd 4 C [,,,] 4, a partir da qual s pd rcstruir sial td m cta a quaçã d síts x [ ] C A ms qu haa itrss m chcr as xprssõs aalíticas, prcss d aális síts m SF d um sial discrt priódic dispsa cmpltamt rcurs à biblitca simbólica d atlab. Assim, prfrcialmt, pdms fazr a dfiiçã das cstats básicas wpi/8; *pi/w;, a dfiiçã ds valrs d sial :-; xcs*w x figur; stm,x,'filld'; grid ; :.:; xcs*w; figur; hld ; plt,x,':'; grid ; axis[ - ]; hld ff, cálcul ds cficits da SF :-; xbxp-*'*w*; C/*x*xb C -. -.i. -.i.i figur;stm,absc,'filld'; grid ; axis[ - ]; figur; stm-/,fftshiftabsc,'filld'; grid ; axis[-/ / - ];,, s dsarms, a síts d sial a partir ds cficits da SF xbrxp*'*w*; xrc*xbr xr..i..i -..i -..i t qu m rsultad d prcss d cálcul ds rrs d rprstaçã, as quatidads, mbra sd rais prst cas, aprstam rsídus imagiáris dsprzávis cua xistêcia é cssári tr m cta prcss d rprstaçã gráfica. Prf. Jsé Amaral 7-9 Vrsã. -5-

12 Exmpl Rcrra a atlab para rslvr Exmpl d Exrcíci 7.. Rcrrd à biblitca simbólica d atlab syms w xbsym'xp-**w*'; C/*symsumxb,,-,; CsimplifyC C -xp-i**w*-xpi**w*//-xpi**w Obtms a xprssã C, qu sria cssári simplificar maualmt para chgar à frma ctrada através da rsluçã aalítica C s s Rcrrd a cálcul uméric, pr xmpl para 4, tms 4; ; w*pi/; - -/:/-; xrctpuls,*; -/:/-; xbxp-*'*w*; C/*x*xb; Qu s prmit btr s gráfics d sial ds cficits da SF figur; stm,x,'filld'; axis[-/ / - ]; grid figur; stm,ralc,'filld'; axis[-/ /.*miralc.*maxralc]; grid cm s mstra a figura 7. S dsássms rcstruir sial a partir ds cficits da SF, pdríams fazr -*:*; xbrxp*'*w*; xrc*xbr; figur; axis[-* * - ]; hld ; stm,ralxr,'.','r'; grid ; hld ff; d d rsulta gráfic qu s mstra a figura 7. para 4 príds d sial. t cm, mbra sd btid a partir d um príd x [], sial rcstruíd é irtmt priódic, dad qu é csguid a partir ds siais d bas, qu sã siais priódics Figura Figura 7. Prf. Jsé Amaral 7 - Vrsã. -5-

13 Figura 7.4 A figura 7.4 mstra s cficits C d puls rctagular discrt priódic d duraçã príd 4, sd, d cima para baix,,,. A figura 7.5 mstra s cficits C d puls rctagular discrt priódic d duraçã 5 príd, sd, d cima para baix,, 6, 8. t cm, dad qu crsct implica cada vz mais pqu, as riscas d spctr stã cada vz mais próximas. Cmpar a figura 5. m qu s mstram as altraçõs sfridas pl spctr d um trm d pulss rctagulars, ctíu, m rsultad d aumt d príd, T. À part a qustã d spctr d um sial discrt priódic sr uma fuçã priódica, d príd m fuçã d u d príd m fuçã d, s cmprtamts dscrits sã m tud smlhats: à mdida qu príd crsc, spctr d sial ã altra a sua frma vlvt, tdd para um spctr ctíu. Prf. Jsé Amaral 7 - Vrsã. -5-

14 Figura 5.5 Prf. Jsé Amaral 7 - Vrsã. -5-

15 Prf. Jsé Amaral 7 - Vrsã. -5- Exrcíci 7. Exmpl Calcul a TF d puls rctagular discrt d duraçã. A TF d um sial discrt é dada pr [ ] x X cas prst X Td m atçã qu para uma prgrssã gmétrica r r u r u u Pdms scrvr s s X Exmpl Calcul a TF d impuls uitári discrt, [ ] δ. A partir da dfiiçã [ ] [ ] δ x X

16 Prf. Jsé Amaral 7-4 Vrsã. -5- Exmpl Calcul a TF ivrsa d spctr δ X. Calculad, pr dfiiçã, a trasfrmada ivrsa um príd rsulta [] δ δ d d x Tms prtat par d Furir [ ] δ δ Exmpl 4 Calcul a TF ivrsa d spctr 4 cs X. Pr dfiiçã [] d d d x 4 cs t qu [ ] sic s s d d δ Pl qu [ ] [ ] [ ] [ ] δ δ δ d x

17 t qu pd ccluir qu [] x[] i x i x i i [] δ[ i] i d qu é uma rlaçã xtrmamt prática cálcul d trasfrmadas ivrsa d siais discrts. Exmpl 5 Dtrmi a TF discrta d sial x [ ] dscrit a figura 7.7. Pr dfiiçã x[] Figura 7.6 X x[ ] x [ ] 4 cs Prf. Jsé Amaral 7-5 Vrsã. -5-

18 atlab 7. Exmpl Rcrra a atlab para rslvr Exmpl d Exrcíci 7.. Rcrrd à biblitca simbólica d atlab syms w xbsym'xp-*w*'; Xsimplifysymsumxb,,-, X /-xpi*w*-xp-i*w* xpi*w* Obtms a xprssã X, qu sria cssári simplificar maualmt para chgar à frma ctrada através da rsluçã aalítica X s s Pdms facilmt btr gráfic d X para divrss d wglispac-*pi,*pi,; XgsubsX,, XgdublsubsXg,w,wg; figur;pltwg,ralxg; grid axis[-pi pi.*miralxg.*maxralxg]; A figura 7.7 mstra a vluçã d X para,. Cmpar cm a figura 7.4. t cm a vluçã das gradzas rprstadas é smlhat. a vrdad, basta pr xmpl cmparar as xprssõs ds cficits da SF d puls rctagular discrt priódic cm a xprssã da TF d puls rctagular discrt, para vrificar qu C X Exmpl Rcrra a atlab para rslvr Exmpl 4 d Exrcíci 7.. Rcrrd à biblitca simbólica d atlab syms w xbsym'xp*w*'; Xsym'4*cs*w'; xfsimplifyitx*xb,w,-pi,pi//pi xf 7*^-*sipi*//^-4/pi Figura 7.7 Prf. Jsé Amaral 7-6 Vrsã. -5-

19 Obtms assim a xprssã 7 s x[] 4 Sd, x é smpr ul xcpt s pts m qu dmiadr s aula, u sa, para,. Pdms calcular s valrs qu sial assum sts istats s, [ ] g-5:5; xfdublsubsxf,,g; fidisifxf isaxf; if lgth> fr i:lgth xfidubllimitxf,,gi; d d xf xf , rprstar graficamt sial stmg,xf,'filld' grid axis[-5,5,-,4];, btd assim a figura 7.8. t qu prcss d cálcul da TF ivrsa pd sr simplificad s spcificar-ms prviamt dmíi syms w xbsym'xp*w*'; Xsym'4*cs*w'; g-5:5; xbsubsxb,,g; xfsimplifyitx*xb,w,-pi,pi //pi xf [,,,,,,,,,, ] stmg,dublxf,'filld' axis[-5,5,-,4]; grid Exmpl Rcrra a atlab para rslvr Exmpl 5 d Exrcíci 7.. Rcrrd à biblitca simbólica d atlab syms w x[ ]; -5:5; xbsubssym'xp-*w*'; Xsimplifyxb*x' X 4*cs*w Pdms rprstar graficamt X Wg-pi:.:pi; XgdublsubsX,w,wg; pltwg,xg,'liwidth',; grid ; axis[-pi,pi,-,8]; Figura , btd gráfic qu s mstra a figura 7.9. Pdms vrificar rsultad calculad a TF ivrsa xbsubssym'xp*w*'; xfsimplifyitx*xb,w,-pi,pi//pi xf [,,,,,,,,,, ] Figura 7.9 Prf. Jsé Amaral 7-7 Vrsã. -5-

20 Exrcíci 7. Exmpl Calcul a TF d puls rctagular discrt, x [ ], d duraçã pridicidad, cua vluçã tmpral s mstra a figura 7.. Simplifiqu a xprssã para Cmcms pr csidrar um puls rctagular discrt, x [], d duraçã, cu cmprtamt é cicidt, um príd, cm sial x [ ]. Vims qu a x é dada pr TF d [ ] X s s Assim sd, rsulta d imdiat Figura 7. C X s s s s Cmpar a xprssã cm a btida xmpl.9. A TF d x [ ] é tã s X Cδ δ s Particularmt para rsulta X s δ s s δ s Rcrrd a rlaçõs trigmétricas triviais é fácil dmstrar qu s δ s s s, d d rsulta cs X cs δ Prf. Jsé Amaral 7-8 Vrsã. -5-

21 Apêdic : Séri d Furir d siais discrts priódics cas ds siais ctíus priódics cut rtrmad cmplt qu fi sclhid para dfiir spaç d rprstaçã ds siais fi cut ω { t y t },, ±, ±, K D md a miimizar rr quadrátic médi d rprstaçã um itrval crrspdt a um príd d sial, sd assim m td dmíi d sial dad qu sial é priódic, dmstru-s qu s cficits qu psam cada um ds siais bas dvm sr C T ω t x t T Para rprstaçã d um qualqur sial discrt, x [ ] dt, vams também utilizar as fuçõs xpciais, cas, cut d fuçõs xpciais discrtas { y [ ] } qu, d md muit smlhat a qu fi vist para cas ctíu, s pd dmstrar cstituírm um cut rtrmad cmplt. Há agra, tat, uma difrça imprtat m rlaçã a cas ctíu. Cm tms agra uma variávl discrta, qu apas assum valrs itirs, rsulta qu Sd, ccluíms qu só xistm xpciais cut fiit d siais d bas { y [ ] },,, K, cm cmprtamts distits. Ou sa, dfi cmpltamt spaç d rprstaçã d qualqur sial discrt priódic d príd. Assim sd, a rprstaçã d um sial discrt priódic sb a frma d uma cmbiaçã liar d xpciais cmplxas discrtas rsulta x [ ] C Também d md muit smlhat a qu fi vist para cas ctíu, pl qu dispsams aqui a sua aprstaçã, pd dmstrar-s qu s cficits qu miimizam rr quadrátic x dscrit pr pts dvm sr médi d rprstaçã d um sial [ ] C x[] A aalgia cm a xprssã para cas ctíu é vidt. S rcrdarms qu príd d sial é agra dsigad pr, a úica difrça tr as duas xprssõs csist a substituiçã d itgral pl smatóri, qu dcrr aturalmt uma vz qu stams agra a lidar cm siais discrts. Prf. Jsé Amaral 7-9 Vrsã. -5-

22 Apêdic : Trasfrmada d Furir d siais discrts ã priódics Csidrms, à smlhaça d qu fi fit para cas ctíu, um sial d rgia discrt, x [], cu cmprtamt é igual, um príd, a um dad sial discrt priódic x [ ]. S fizrms crscr príd idfiidamt, limit, cm a tdr para ifiit, s dis siais srã idêtics lim x [ ] x t Sd a rprstaçã m SF d x [ ] cm x [ ] C C [ ] x, pdms, a partir dstas xprssõs, sguid um prcss m tud smlhat a cas ctíu, fazr tdr para ifiit, btd assim a rprstaçã d sial d rgia. Para a rprstaçã dircta a cclusã é imdiata. Rcrd qu para um sial ctíu btivms X ω x t ωt dt Para sial discrt, sguid s msms passs da dduçã, chgams à xprssã X [ ] x, cua aalgia cm a situaçã ctíua é imdiata, à part, aturalmt, smatóri qu substitui itgral, dad qu stams agra a lidar cm um sial discrt. Para a rprstaçã ivrsa, qu cas ctíu rsultu ω t x t X ω dω, btms [] X d x, cua aalgia cm cas ctíu, à part s limits d itgraçã, também é imdiata. Os limits d itgraçã sã fácis d cmprdr. Rcrd qu a SF d um sial discrt priódic é, m, priódica d. Ora lim lim Ectráms assim, à smlhaça d cas ctíu, um par d trasfrmaçõs qu s prmit rprstar um sial discrt ã priódic qur dmíi d tmp qur dmíi da frquêcia. À smlhaça d cas ctíu a fuçã X é chamada fuçã d dsidad x. spctral d sial [ ] Prf. Jsé Amaral 7 - Vrsã. -5-

23 Ficha d Avaliaçã 7 : m: Turma: Data limit d trga 9-5- Grup C A ficha dv sr clcada, até à data limit, rcipit aprpriad xistt ut a Gabit C CEDET Exrcíci Rprst módul, argumt, a part ral, a part imagiária ds cficits da SF d sial discrt priódic x u u 6 [ ] [ ] [ ] Rpita a alía para sial [ ] u[ 5 ] u[ ] x Cmt cmparativamt s rsultads das alías atrirs cm bas as prpridads da TF, vistas ódul 6. Exrcíci Csidr sial discrt x[ ] u[ ] Rprst graficamt sial. Dtrmi a xprssã aalítica da TF d sial rprst-a graficamt itrval [, ] itrval [, ]. Cmt s rsultads. 4 Rpita as alías para x[ ] u[ ] 5 Cmt cmparativamt s rsultads das alías. Grup B Exrcíci Csidr sial ctíu priódic x t cs ωt. cs4ωt. cs6ωt. cs9ωt cm ω T, T 8. Rprst graficamt sial x t para t [ T, T ]. Csidr agra sial sial discrt priódic x[ ] cs[ ]. cs[ 4]. cs[ 6]. cs[ 9] cm, 8. Rprst graficamt sial x [ ] para [, ], sbrpst a sial x t. Rprst graficamt módul ds cficits da SF d sial x [ ], para [, ]. Cmt s rsultads. 4 Rprst sial ctíu, x, cstruíd cm bas s cficits da SF btids m x t / / C t t, sbrpd- a gráfic btid m, para t [ T, T ] 5 Obsrv gráfic atrir para t [ T 4, T 4]. Cmt. 6 a Rpita as alías a 5 csidrad T 4 4. Cmt Prf. Jsé Amaral 7 - Vrsã. -5-