Funções Polinomiais e o Mundo Digital

Transcrição

1 Fuçõs Poliomiais o Mudo Digital Wadrly Moura Rzd Istituto d Matmática Estatística Uivrsidad Fdral Flumis 1 Itrodução Uma fução ral poliomial é uma fução f d IR m IR qu a cada úmro ral associa o 1 úmro ral f ( ) = a + a a1 + ao, od ai IR, i = 0,1,...,. Esta fução, d aturza simpls lmtar, tm um papl dstacado a matmática as ciêcias. Podmos obsrvar divrsas situaçõs do cotidiao ou da ciêcia m qu uma fução poliomial é bastat útil para modlar ou rsolvr um problma. Em gomtria, por mplo, a ára d um círculo é proporcioal ao quadrado do comprimto do su raio a ára do quadrado é igual ao quadrado do comprimto do su lado. Na disciplia d Física, você já dv tr ouvido falar d quação horária d um corpo m quda livr, rgia potcial lástica d uma mola, rgia ciética, tc. A fução poliomial do sgudo grau é bastat útil sss cottos! Outros mplos, a ára d coomia, d biologia ou m áras mais divrsas do cohcimto, podm sr visualizados m ttos d matmática aplicada ou msmo m um bom livro d Cálculo, como é o caso da rfrêcia (Hughs-Halltt t al, 1999), citada o fial dst artigo. Assim, dois fators cospiram a favor das fuçõs poliomiais: ou os fômos citíficos s caiam maravilhosamt m modlos dscritos por fuçõs poliomiais, ou ssas fuçõs satisfazm à codição do mor sforço do itlcto humao qu, para vcr problmas d aturza mais compla, td a ralizar uma simplificação dos modlos a srm utilizados. D um fato tmos crtza: a simplicidad dssas fuçõs é ralmt catadora! Ecatadora porqu é simpls A simplicidad dsss tipos d fuçõs dv-s a sua aturza algébrica. Para calcularmos o valor d uma fução poliomial prcisamos ralizar apas opraçõs algébricas lmtars: adição, multiplicação suas opraçõs ivrsas. Por mplo, para f ( ) = + 0., f (5) pod sr calculado, utilizado uma calculadora padrão, ralizado as sguits opraçõs: = = 4. Outro fato bm itrssat rlacioa-s à visibilidad qu st tipo d fução os ofrc. Uma vz cohcido (+1) valors d uma fução poliomial f d grau, a fução s rvla por complto; qur dizr, uma vz cohcidos f ( 1 ), f ( ),..., f ( + 1), para 1,,..., + 1 IR, podmos 3 calcular f (), para qualqur valor d IR. A fução dfiida por f ( ) = (fig.1) é, com fito, a úica fução poliomial d grau três qu assum os valors f ( 1) =, f ( 0) = 0, f ( 1) = 0 f ( ) = 1. Mais aida, uma vz cohcidos os quatros valors citados sabdo qu sta é uma fução poliomial d grau 3, podmos dtrmiar algbricamt qualqur outro valor d f para um úmro ral. 3 Fuçõs difrciávis aproimaçõs poliomiais Cotiuidad difrciabilidad são virtuds d fuçõs rais qu stão itimamt rlacioadas tr si. S, grosso modo, o gráfico d uma fução ral f : IR IR cotíua é uma curva cotíua, isto é, aqula qu ao dshá-la ão tiramos o lápis do papl algoria d Eulr ( ), a curva qu dscrv o gráfico d uma fução difrciávl dv tr outra

2 propridad gométrica bm itrssat: além d sr cotíua la dv sr suav! Qur dizr: o gráfico d uma fução difrciávl é uma curva cotíua sm cúspids (bicos), com formato arrdodado ou com parts rtas uidas d forma imprcptívl às suas formas arrdodadas. Obsrv, por mplo, qu a fução f ( ) = 1 ão é difrciávl m atamt três potos do su domíio: 1 = -1, = 0 3 = 1 (fig.). Por outro lado, a fução poliomial ilustrada a figura 1, assim como qualqur outra fução poliomial, é difrciávl. A fução pocial, a fução logarítmica, as fuçõs trigoométricas so cosso, bm cohcidas do sio scudário, também são mplos d fuçõs difrciávis. Vjamos a qustão da difrciabiliadad mais d prto! Figura 1 3 gráfico d f ( ) = Figura gráfico d uma fução cotíua qu ão é difrciávl O gráfico d uma fução difrciávl pod, localmt, sr aproimado por uma rta. Obsrv qu ao ampliarmos o gráfico d uma fução difrciávl uma squêcia d vzs, st fica similar a uma rta (vja a squêcia d zoom ilustrada a fig. 3). E isso é muito bom! Tal fato quival a dizr qu podmos aproimar localmt uma fução difrciávl por uma fução poliomial d grau um. Assim, podrmos calcular valors aproimados d uma fução difrciávl m uma vizihaça d um poto do su domíio por mio d uma fução poliomial d grau um. Uma dmostração dst rsultado pod sr cotrado m divrsos livros d Cálculo (cofira, por mplo, Guidorizzi, 001, p ). Figura 3 - squêcia d zoom dado o gráfico d uma fução difrciávl ralizado com softwar GoGbra Ora, diat do qu discutimos o parágrafo atrior, surg uma qustão qu ão qur calar: srá qu podmos aproimar uma fução difrciávl por uma fução poliomial d grau dois? Brook Taylor ( ), um dos mlhors aluos d Nwto ( ) tiha qu sr bom aluo para prcbr isso, prcbu qu s uma fução ral é -vzs difrciávl, tão podmos aproimar sta fução por uma fução poliomial d grau a vizihaça d um poto do

3 su domíio. Na vrdad, como Taylor também obsrvou, quato maior o grau do poliômio, mlhor sria a aproimação ralizada. Isso tora a família d fuçõs poliomiais uma class d fuçõs aida mais spcial. A fução pocial, as fuçõs trigoométricas so cosso, assim como a fução poliomial, são d uma class mais do qu spcial: las são ifiitamt difrciávis. Assim, todas las podm sr aproimadas localmt por uma fução poliomial d grau od o rro comtido srá tato mor quato maior for o grau do poliômio (poliômio d Taylor, ss é o om) utilizado. Para a fução pocial f ( ) =, o poliômio d Taylor d grau associado é: 3 1 j P ( ) = = j j! =! 3! 0.! Figura 4 rprstação gráfica das sis primiras fuçõs poliomiais qu aproimam a fução pocial f ( ) = a vizihaça d = 0 Em codiçõs idais (fazdo crscr idfiidamt, ) tm-s a sguit idtidad: ! = j = para qualqur ral. j = 0 j! 3!! Qur dizr, para qualqur úmro ral, a squêcia d somas parciais, S 1 = 1, S = 1 +, 3 3 S 3 = ,..., S = irá covrgir para. Nss stido,! 3!! 3!! pod-s rprstar a fução pocial por uma fução poliomial d grau ifiito! Assim como a fução pocial, as fuçõs trigoométricas so cosso também podm sr rprstadas por uma séri d Taylor (ss é o om técico dado ao osso poliômio d Taylor d grau ifiito): j 4 6 ( 1) cos = j = j = 0 ( j)!! 4! 6! j ( 1) s = j + 1 = j = 0 ( j + 1)! 3! 5! 7! Portato, como vimos para as fuçõs dstacadas atriormt, as séris d Taylor covrgm potualmt para o valor da fução m todos os potos do su domíio. No tato, um litor prspicaz otará qu ao scolhrmos um poliômio d Taylor d grau para uma fução dada, podmos obtr rros d aproimação maiors m potos do domíio da fução distats da origm.

4 D fato. Cosidr, por mplo, f ( ) = P ( ) = 1+ +!. Como já obsrvamos, P é uma boa aproimação para a fução f m uma vizihaça d = 0. Not, trtato, qu f ( ) = é um úmro bm mor qu 1, qu, por sua vz, é mor qu P ( ) = 41. Em vrdad, quado td a, P ( ) td a +, quato, por outro lado, sabmos qu os valors da fução pocial f td a zro (vja figura 4). A difrça tr os valors d P () f() ficam cada vz maiors, à mdida qu td a. 4 O mudo digital as fuçõs poliomiais Na socidad cotmporâa o procsso d digitalização pad-s a vlocidads crscts, a poto d muitos autors afirmarm qu vivmos m um mudo digital, o qual s istaura a vida digital. No mudo digital tudo é fiito tudo é discrto. O procssador d um computador só raliza as quatro opraçõs básicas: adição, subtração, multiplicação divisão. Assim, toda qualqur fução lmtar dvrá sr implmtada m um computador a partir dssas opraçõs. Nss stido, a idéia d aproimar fuçõs lmtars por fuçõs poliomiais é um camiho bm razoávl. Ora, para valors d próimos da origm sabmos qu os poliômios d Taylor, qu podm sr calculados Figura 5 poliômios a calculadora usado as quatro opraçõs básicas, os forcm uma boa aproimação. O poliômio d Taylor d grau, ( ) 1 P = + +, os dá, por mplo, uma aproimação d, para todo o itrvalo [-0.1, 0.1], com plo mos duas casas dcimais corrtas. Já o poliômio d Taylor d grau 4, ( ) 1 P = , os forc uma aproimação d, para todo o itrvalo [-0.1, ], com plo mos sis casas dcimais corrtas. Como o computador calcula tão os valors (aproimados) d para valors distats d? Assuma, por mplo, =. Utilizado as propridads d potêcias m IR, obsrv qu: 5 5/ 5/ 4 5/8 5/16 5/3 = ( ) = (( ) ) = ((( ) ) ) = (((( ) ) ) ) = ((((( ) ) ) ) ) = (((((( ) ) ) ) ) ) = 5/ 64 = ((((((( ) ) ) ) ) ) ) A igualdad 5/64 = ((((((( ) ) ) ) ) ) ) obtida, prmit-os calcular tomado como 5/64 rfrêcia o valor d. Por outro lado, sab-s qu 5/64 = prtc ao itrvalo 5/64 [-0.1, 0.1], qu, st itrvalo, podmos aproimar por P (5/ 64) ou por P 4 (5/ 64). Assim, ((((((( (5/ 64)) ) ) ) ) ) ) P = ou ((((((( P (5/ 64)) ) ) ) ) ) ) = Not qu sts valors cotram-s bm próimos d, qu é igual a O valor obtido por mio d P 4, coform ra d s sprar, é bm mlhor do qu o obtido com P. Usado P 4 o squma d sucssivos "lvar ao quadrado" ( isso o computador comprd) obtém-s uma aproimação d com uma casa dcimal corrta (após a vírgula). 4

5 Uma forma d mlhorar a prcisão da aproimação sria cosidrar um itrvalo d l l comprimto mor. Mullr (1997) sugr o itrvalo, m vz d [-0.1, 0.1]. Para l calcular para valors distats d, faz-s iicialmt uma rdução d scala: r =, 56 l l d modo qu r (ot qu l 0, ). O valor d é calculado tão por r + l 56r l r r r 56 ( ) ( ) = = = = 1 + r P ( r).! 3! (cf. Mullr, 1997, p.181) Obsrv agora qu, usado a fórmula d Mullr com P, obtém-s , uma aproimação com duas casas dcimais após a vírgula corrtas, com P 4, obtém-s , uma aproimação com ov casas dcimais após a vírgula corrtas, quado comparados ao valor d qu é igual a Figura 6 o itrvalo [-0.1,0.1] o itrvalo sugrido por Mullr. Esta técica pod sr utilizada com outras aproimaçõs poliomiais ou msmo para outras fuçõs lmtars. A toria do cálculo d aproimaçõs das fuçõs lmtars, dpddo do tipo d prcisão (fia ou múltipla) usa técicas mais avaçadas (míimos quadrados) outros tipos d poliômios (Chbyshv, por mplo). Esta tarfa árdua d rprstar oprar os úmros é ralizada tão por mio d algoritmos cada vz mais sofisticados dsvolvidos plo trlaçamto d cohcimtos tato da Aritmética Computacioal quato da Aális Numérica. As rfrêcias (Mullr, 1997) (Kor, 00) rtratam com dtalhs sts trlaçamtos. D fudamtal importâcia para as rprstaçõs das fuçõs difrciávis, as fuçõs poliomiais podm sr algoritmizávis por mio apas das opraçõs aritméticas lmtars. E sss dois igrdits fazm dos rprstats dsta família d fuçõs lmtos ssciais os cálculos ralizados itramt os procdimtos computacioais. As fuçõs poliomiais, d forma simpls catadora, dão, d fato, susttação à vida digital. 5 Rfrêcias Guidorizzi, H.L. Um Curso d Cálculo. 5ª d. Vol.1. Rio d Jairo: LTC Livros Técicos Citíficos S.A., 001. Hughs-Halltt, D., Glaso, A. M., Lock, P. F., Flath, D. E. t al. Cálculo Aplicaçõs. São Paulo: Editora Edgard Blüchr, Kor. I. Computr arithmtic algorithms. d d. Natick: Massachustts, A K Ptrs Ltd, 00. Mullr, J.M. Elmtary fuctios : algorithms ad implmtatio. Bosto: Birkhausr, 1997.