Definição clássica de probabilidade. Seja S finito e S, o número de elementos de S, por exemplo, quaisquer!,! 0 2 S. Então

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1 Dfiição clássica probabili Dfiição Sja S fiito S o úmro lmtos S por xmplo S {a b c S 3 Supoha P({) P({ 0 )para quaisr 0 2 S Etão P({) /S Dmostração Como S é do tipo S { 2 o S sgu S { [ { 2 [ [ { portato P({ )P({ )+P({ 2 )+ + P({ ) P({ [ { [ [ { )P(S) Assim P({ i )({ )/ /S para i 2 Costmt s E A tmpos P(A) A/S

2 ic a o probabili Dfiic a o probabili 5b Sprobabili tr s sa o rtirad alatoriamt um plos Dfiic a o Dfiic a o probabili Dfiic a o probabili brac Dfiic a o probabili Dfiic a o probabili probabili Dfiic a o 5 prt a 5b S tr s 5b rtirad alatoriamt um outr probabili dsa o sja Ssa o tr s rtirad alatoriamt umdu Dfiic a o sa o probabili Dfiic a o probabili 5b S tr s rtirad alatoriamt um cipit brac 5 prt a 5b S tr s sa o rtirad alatoriamt um brac 5 prt a sjam prt? 5b S tr s sa o rtirad alatoriamt um brac 5 5alatoriamt prt aoutr 5b S tr s sa o rtirad um brac prt probabili d sja outr du 5b S tr s sa o rtirad alatoriamt um probabili d sja 5b S tr s sa o rtirad alatoriamt um a a du brac 5 prt probabili d outr Eumr tod brac sja 55sja prt aa du brac prt probabili d outr du jamsoluc a o prt? sjamprobabili prt? brac 5alatoriamt prt a outr d sja du 5b S tr s sa o rtirad um 5b S tr s sa o rtirad alatoriamt u probabili d sja outr du sjam prt? probabili d sja outr du prt? probabili prt? d outr brac 5sja prt a du sjam Soluc a osjam Eumr tod Soluc a o Eumr tod prt a sjam prt? brac 5 sjam prt? sjam prt? probabili d sja du { outr 7 Soluc a o Eumr tod Soluc a o Eumr tod probabili d sja outr d Soluc a o Eumr tod sjam prt? Soluc a o Eumr tod Soluc a o Eumr tod { 7 { 7 prt vrmlh sjam prt? Soluc a o Eumr tod 7 { { 7 { 7 prt vrmlh prt Qurmos vrmlh { 7 Not S Soluc a o {{ 2Eumr 3 { 2 4 {9 0 tod prt vrmlh vrmlh { 7 prt prt prt vrmlh prt vrmlh Not SNot {{ 2 3 { 2 4 {9 0 Qurmos S {{ 2 3 { 2 4 {9 0 Qurmos vrmlh Not S2 22 vrmlh 3 { 2 4 prt {90 Qurmos {{ 2 Not S {{ 3 { 4 {9 0 Not SS{{ {{223 3 { { 24 4 Qurmos 7 Not 2 {9 0 Qurmos { { 2 {9 {2 Qurmos calcular o A 7 7 { Not P(A) S {{ 23 {{ 2 {2 7 22{2 alcular P(A) o A {{ {7 o calcular P(A) A {{ { { 0 2 prt vrmlh calcular P(A) o A {{ 7 8 {2 8 0 AA{{ Portato calcular P(A) o {{ 7 8 {2 8 { calcular P(A) o 8 {2 7 8 { 0 Portato calcular Portato Portato P(A) o A S {{ 8 {2 2 { Not 7{{ { 40 {9 0 Qurmos Portato calcular P(A) A {{ 7 8 {2 7 8 { 0 o Portato

3 5 Um total 3 sócios um club joga têis 28 jogam squh 8 jogam bolich Além disso 22 dos sócios jogam têis squh 2 jogam têis bolich 9 jogam squh bolich 4 jogam todos os três sports Quatos sócios ss club jogam plo mos um dos três sports? Solução Sja N o úmro sócios do club Vamos utilizar os cocitos probabili supodo um sócio do club sja slcioado alatoriamt S para r subcojuto C formado por sócios do club fizrmos com P(C) caractriz a probabili o sócio slcioado stja cotido m C tão P(C) úmro sócios m C N Agora sdo To úmro sócios jogam têis S o úmro sócios jogam squh B o úmro sócios jogam bolich tmos Proposição 44

4 5m O problma do paramto Supoha ca um dos N homs prsts m fsta atir su chapéu para o ctro sala Os chapéus são primiramt misturados tão ca homm slcioa alatoriamt um ls Qual é a probabili hum dos homs slcio o su próprio chapéu? Solução Primiro calculamos a probabili complmtar plo mos um homm slcioar o su próprio chapéu Chammos E i 2 N o vto m o i-ésimo homm slcioa su próprio chapéu Agora pla Proposição 44 P U Ei a probabili plo mos um dos homs (ir ) slcio o su próprio chapéu é por

5 (N - ) P(Eil Eiz Ei) N (r) Além disso como xistm trmos m P(Ei Ei2 E) tm-s ii <i2<i Portato a probabili hum dos homs slcio su próprio chapéu é é aproximamt igual a -' para N gra Em outr palavr para N gra a probabili hum dos homs slcio o su próprio chapéu é aproximamt 037 (quatos litors psaram icorrtamt ssa probabili tria a à mdi NF?)

6 *2 PROBABILIDADE COMO UMA FUNÇÃO CONT~NUA DE UM CONJUNTO Uma squêcia vtos {E r ) é chama squêcia crsct s é chama squêcia crsct s S {E r ) é squêcia crsct vtos tão fiimos um ovo vto rprstado por lim E como 03 lim E U Ei il Similarmt s {E 2 ) é squêcia crsct vtos fiimos lim E como lim E il Dmostramos agora a proposição a sguir: Proposição S {E r ) é squêcia crsct ou crsct vtos tão lim P(E) P( lir E) r

7 Proposição S {E r ) é squêcia crsct ou crsct vtos tão lim P(E) P( lir E) Dmostração Supoha primiro {E r ) sja squêcia crsct fia os vtos F r como Fl El - o usamos o fato U Ei E-i pois os vtos são crscts Co- locado m palavr F corrspo aos rsultados E ão stão m hum dos vtos E atriors i < É fácil vrificar F são vtos mutuamt xclusivos tais UFUE~ UFUE c0 00 il il il il paratodob

8 Assim 00 P(Fi) (plo Axioma 3) lim C P(Fi) -+m lir P(E) o prova o rsultado quado {E r ) é crsct r

9 S {E r ) é squêcia crsct tão {E: 2 ) é squêcia crsct; portato d quaçõs atriors P U E: ) -- lir P(EE) 00 Etrtato como U E: lim P(Ei) +m ou forma quivalt [l - P(E)] - lir P(E)

10 Cosir o xprimto laçar mo ifiit vzs Mostr a probabili uca ocorrr coroa é zro Supoha P(E ) 2 2 o E é o vto m os primiros laçamtos são coro \ Solução Qurmos \ calcular P(\ E ) laçamtos Como val E E 2 E 3 sgu P(\ E ) lim P(E ) lim \ 2 0 Exrcícios S Ross 8 a Ed p70-78: