03. Sejam z = n 2 (cos 45 + i sem 45 ) e w = n(cos 15 + isen15 ), em. igual a. Solução: n = 4 Assim: 04. Se arg z, então um valor para arg(-2iz) é

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1 . Sjam z = (cos + i sm ) w = (cos + is ), m. Dsja-s trocar uma moda d ctavos, usado-s apas modas d, ctavos. Etão, o úmro d difrts mairas m qu a moda d ctavos pod sr trocada é igual a a) b) c) d) ) mairas LTERNTIV D. Dois atiradors acrtam o alvo uma vz a cada três disparos. S os dois atiradors disparam simultaamt, tão a probabilidad do alvo sr atigido plo mos uma vz é igual a a) b) c) 9 9 d) 9 P = acrto P = acrtos ) qu é o mor itiro positivo tal qu ( + i) é ral. Etão, igual a a) i b) c) d) ) i i i / Mas R s k = ssim: W i cos is k Z i k i i z w i LTERNTIV B i cos is. S arg z, tão um valor para arg(-iz) é a) b) c) d) ) arg(-iz) = arg(-i) + argz = arg(-i) + argz = arg(-iz) = LTERNTIV E z é w P = (P P ) P(acrtar) = P(rrar) = E = 9 E E = 9 E = 9 = LTERNTIV D. Sjam r, r r úmros rais tais qu r r r + r + r são racioais. Das afirmaçõs: I. S r é racioal ou r é racioal, tão r é racioal; II. S r é racioal, tão r + r é racioal; III. S r é racioal, tão r r são racioais, é (são) smpr vrdadira(s) a) apas I b) apas II c) apas III d) apas I II ) I, II III r, r, r rais r r racioal r + r + r racioal I. Vrdadira Como r r é racioal, s r é racioal tmos r racioal portato, r é racioal. S r é racioal tmos r racioal portato, r é racioal. II. Vrdadira Como r + r + r é racioal, s r é racioal, tão r + r é racioal. III. Vrdadira Not qu (r r ) + (r + r + r ) = r + r é racioal. ssim, s r é racioal sgu qu r é racioal como r r é racioal sgu qu r é racioal. GGE RESPONDE IT MTEMÁTIC LTERNTIV E

2 . s raízs, do poliômio p() = + a ( + ) + stão rlacioadas plas quaçõs: Etão, o coficit a é igual a a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ) ( ) Sja p() ( ) a Plas rlaçõs d Girard; tmos Portato, tmos um sistma liar dado por: Escaloado o sistma, a matriz complta é dada por: Logo ( ) ( ) ( ) ( ) Logo = Como p( ) = p() = ssim + a + - (+ ) = + a = a + ( - ) = a + ( - ) = a = ( -) LTERNTIV C. Sab-s qu ( + y, y, y, y + z) é uma progrssão aritmética com o último trmo igual a. Etão, o produto yz é igual a a) b) c) d) ) ( + y, y, y, y + z) é uma P.. y + z = - (I) ( y) = + y + y y = 9 = - y (II) ( y) = y + y + z y = y + z + y z = X + y z = (III) D (I) (III) sgu qu: y z y z + y = - (IV) D (II) (IV), tmos y y - = = - y = z = Logo: yz = - LTERNTIV. Cosidr um poliômio p(), d grau, com coficits rais. Sab-s qu i i - são duas d suas raízs. Sab-s, aida, qu dividido-s p() plo poliômio q() = obtém-s rsto zro qu p() = ( + a) b) c) d) ) Sja p() R[]; grau d p() = ). Etão, p(- ) é igual a Como Z = - i Z i são raízs d p() Tmos qu Z = i Z i são raízs d p(), plo torma das raízs cojugadas. Mas p() possui grau ímpar coficit rais, logo p() possui plo mos uma raiz ral. Como p() é divisívl por q() = tmos qu = é a raiz ral d p(). Usado o torma d dcomposição tmos qu p() pod sr scrito da sguit maira. p() = ( i)( + i)( + - i )( + + i)( ) Como p() p() ( i)( i)( i)( i)( ) p() p () ssim = - Portato p() ssim p( ) p( ) p( ) i i i i i i i i LTERNTIV C GGE RESPONDE IT MTEMÁTIC

3 9. Um triâgulo BC tm lados com mdidas a = cm, b = cm c = cm. Uma circufrêcia é tagt ao lado a também aos prologamtos dos outros dois lados do triâgulo, ou sja, a circufrêcia é -iscrita ao triâgulo. Etão, o raio da circufrêcia, m cm, é igual a: a) b) c) d) ) = (, ), B = (, ), C = (, ) Dtrmiado o barictro, tmos: G,, Cálculo da distâcia tr G : dg dg ( ) 9 9 LTERNTIV B 9. ára do quadrilátro dfiido plos ios coordados as rtas r: y + = s: + y =, m uidads d ára, é igual a 9 a) b) c) 9 d) ) (r): y + = (s): + y = S abc S S S abc CI BI S a a BCIa b R c R a R Sabc R Sabc (b c a) Sabc R b c a LTERNTIV. Sjam = (, ), B = (, ) C = (, ) vértics d um triâgulo. distâcia do barictro dst triâgulo ao vértic, m uidads d distâcia, é igual a a) d) 9 b) ) c) 9 y y y Vértics do quadrilátro: (,); (,); (,); (,) Cálculo da ára do triâgulo d vértics (,); (,); (,) Ára Cálculo da ára do triâgulo d vértics (,); (,); (,) Ára Ára do quadrilátro = LTERNTIV D GGE RESPONDE IT MTEMÁTIC

4 . Dados os potos (,), B = (,) C = (,), o lugar gométrico dos potos qu s cotram a uma distâcia d = da bisstriz itra, por, do triâgulo BC é um par d rtas dfiidas por ª Rsolução, y a) r, : y b) r, : y c) r, : y d) : y r, ) : y r, ª Rsolução y y y y, y y quadrats pars y quadrats impars y, C, y y LTERNTIV E, B, quação da rta suport a bisstriz do âgulo itro  do triâgulo BC é dada por. y Pois BC é rtâgulo isóscls com Ĉ =9 tg Portato o lugar gométrico da qustão é dado pla sguit quação modular y y y y y y y y y r, y ( ) ( ) y :. Sjam, B C subcojutos d um cojuto uivrso U. Das afirmaçõs: I. ( \ B C ) \ C C = (B C); II. ( \ B C ) \ C = (B C C ) C ; III. B C C C = (B C) C, é (são) smpr vrdadira(s) apas a) I b) II c) III d) I III ) II III I. ( \ B C ) \ C C = ( B) \ C C = B C (B C). FLS II. ( \ B C ) \ C = ( B) C C (B C C ) C FLS III. B C C C = (B C) C (Idtidad) VERDDEIR pas III é vrdadira LTERNTIV C. Sjam B dois cojutos disjutos, ambos fiitos ãovazios, tais qu (P() P(B)) + = (P( B)). Etão, a difrça () (B) pod assumir a) um úico valor b) apas dois valors distitos c) apas três valors distitos d) apas quatro valors distitos ) mais do qu quatro valors distitos (P() P(B)) = B (cota-s o cojuto duas vzs) (P( B)) = B como (P() (P(B)) + = (P(B)) B B B B Para o caso d B: ( B) B caso: B B é par (ão tm solução ) é ímpar GGE RESPONDE IT MTEMÁTIC

5 caso : = B Sja = B = O = = = B = ssim: () (B) = (úico valor) LTERNTIV. Cosidr um úmro ral a positivo, fiado, a quação m a + a - =, R Das afirmaçõs: I. S <, tão istm duas soluçõs rais distitas; II. S = -, tão ist apas uma solução ral; III. S =, tão ão istm soluçõs rais; IV. S >, tão istm duas soluçõs rais distitas; é (são) smpr vrdadira(s) apas a) I b) I III c) II III d) II IV ) I, III IV a + a - = R a, REL, FIXO, POSITIVO Fazdo a = y (*), tmos: y + y - = = () (-) = + = ( + ) Sial d : I. Falsa Not qu s < <, tmos < logo a quação ão tm solução ral. II. Vrdadira S = -, tmos y y + = (y ) = y = Substituido m (*) tmos a = = III. Vrdadira S =, tão y = y = substituido m (*) tmos a = (ão há solução, pois < a ) IV. Falsa S >, tão >. Sgu qu y + y - = admit duas raízs rais distitas, cujos siais são: y' y = - < y > y < (sm prda d gralidad) Sgu qu a quação admit uma úica solução ral. LTERNTIV C -y. Sja S R arc s arccos a) S = b) S = {} c) S = R + \{} d) S = R + ) S = R - S R arc s arccos Sjam - arc s arc cos ssim, [, ] Logo s cos Por outro lado, tmos, logo s s s cos Dst modo. Portato = LTERNTIV B. Sja [,] tal qu s()cos(). Etão, o produto a soma d todos os possívis valors d tg() são, rspctivamt a) b) c) d) ) Sja [,] s() s() cos() s() Dst modo cos 9 () cos () cos( ) cos() ou cos( ) ) Caso: s() cos() ssim tg() tg Mas tg() tg Dst modo tg tg tg + tg = = + =. GGE RESPONDE IT MTEMÁTIC

6 tg tg tg tg = - ão covém pois s cos possum o msmo sial. º Caso: s() cos() - ssim tg tg() tg tg = - + tg tg tg = = + = tg tg tg tg Não covém pois s cos possum o msmo sial. Soma dos valors d tg() S = + / = / Produto dos valors da tg. P P = S = / LTERNTIV B cos( k), para todo α [, ], val. soma k a) cos(α) quado é par. b) s(α) quado é par. c) cos(α) quado é ímpar. d) s(α) quado é ímpar. ) zro quado é ímpar. Sja S cos( k), para todo [, ] k S k for ímpar ; tão cos(α + k) = -cosα S k for par ; tão cos(α + k) = cosα [, ] Podmos scrvr Sja S cos( k) da sguit maira: Sja S k cos( k) k k par cos( k) k ímpar cos( k) S = q for ímpar, q N, N, tão, a sguêcia (,) possui (q + ) trmos, isto é, quatidad par. Logo: Sja S cos( k) (q )cos (q )cos k Portato: S = para ímpar. LTERNTIV E 9. Um co circular rto d altura cm gratriz cm é itrcptado por um plao parallo à sua bas, sdo dtrmiado, assim, um ovo co. Para qu st ovo co tha o msmo volum d um cubo d arsta cm, é cssário qu a distâcia do plao à bas do co origial sja, m cm, igual a a) d) R R 9 h r h h h Logo d LTERNTIV D b) ) r R cm V r h r h h c) S = q for par, q N, N, tão, a sguêcia (,) possui (q + ) trmos, isto é, quatidad ímpar. ssim: S cos( k) (q )cos qcos S cos s for par k GGE RESPONDE IT MTEMÁTIC

7 . suprfíci latral d um co circular rto é um stor circular d ára igual a cm. ára total o volum dst co mdm, m cm cm, rspctivamt a) b) c) d) ) g r g r g g cm r cm T r cm r h v Mas h v g r LTERNTIV r. Dz cartõs stão umrados d a. Dpois d mbaralhados, são formados dois cojutos d cartõs cada. Dtrmi a probabilidad d qu os úmros 9 aparçam um msmo cojuto. casos favorávis P casos totais Casos totais: C, = Casos favorávis:!!! 9 C, Casos favorávis =. C, (duas caias) C,!!! Logo P C,!!! 9. Dtrmi os valors rais d d modo qu s() - cos() sja máimo. Dfiimos a sguit fução f() s() cos() Qurmos cotrar os valors R tais qu maimizm a fução f(). r Tmos qu: f() s() cos() Logo f() s() cos s cos() f() s f() s Portato f() atig o valor máimo quado s,log o - k;k z k k k. Portato o cojuto solução. S R k,k z São os valors d R qu maimizam f().. Cosidr a matriz quadrada m qu os trmos da diagoal pricipal são, +, +, + todos os outros trmos são iguais a. Sab-s qu (,,, ) é uma progrssão gométrica cujo primiro trmo é / a razão é. Dtrmi a ordm da matriz para qu o su dtrmiat sja igual a. Not qu é do tipo ( + ) ( + ) para o cálculo da dtrmiat, utilizado a rgra d Chió, obtmos: dt( ) dt( ) dt() = = como ( ) é uma P.G com = / q = tmos: ( ) ( ) GGE RESPONDE IT MTEMÁTIC

8 Por outro lado: q D sgu qu: = - (ão covém) = Como a ordm d é ( + ), tmos como ordm d. +=. Sja um úmro atural. Sabdo qu o dtrmiat da matriz log log log log log log Pé igual a 9, dtrmi também a soma dos lmtos da primira colua ivrsa -. Da soma da ª com a ª, tmos a + c = Da soma do dobro da ª com a ª, tmos: a b = b= a Substituido a ª tmos a + a a = a = a = b = c = Logo a + b + c =. Em um plao stão situados uma circufrêcia d raio cm um poto P qu dista cm do ctro d. Cosidr os sgmtos P PB tagts a os potos B, rspctivamt. o girar a rgião fchada dlimitada plos sgmtos P PB plo arco mor B m toro d um io passado plo ctro d prpdicular ao sgmto P, obtéms um sólido d rvolução. Dtrmi: dt( ) ( ) ( ) dt( ) ' (Não covém ) '' S, tão a b c d f g h i a d g b h c f i a b c a b c a b c Ára da Bas: r Ára latral do cilidro: rh Ára latral da mtad da sfra: a) T rh r r T b) V = V cilidro - V = sfra r r h r. s itrsçõs das rtas r: y + =, s: + y = t: + y =, duas a duas, rspctivamt, dfim os vértics d um triâgulo qu é a bas d um prisma rto d altura igual a uidads d comprimto. Dtrmi: a) ára total da suprfíci do prisma. b) O volum do prisma. GGE RESPONDE IT MTEMÁTIC

9 + f + g =, + f + g = (a + b + c + d) + f + g = (, + +,) + f + g =, r D C t s B, =, = Logo satisfazdo tais codiçõs!,. alis s f : R R, f(), caso afirmativo, cotr f - : R R. é bijtora, m Itrsção tr r s (poto ) y y y y ssim :(,), B:(,), C:(,). Ára: BC BD BCD BC Prímtro: P BC B BC C a) T BC P BC H PRISM T b)vprism BC HPRISM V PRISM. Dos aluos d um colégio, cada um studa plo mos uma das três matérias: Matmática, Física Química. Sab-s qu % dos aluos studam Matmática, % studam Química % studam Física. Sab-s, aida, qu % dos aluos studam apas Física Matmática, quato % studam todas as três matérias. Os aluos qu studam apas Química Física mais aquls qu studam apas Matmática Química totalizam studats. Dtrmi. Do gráfico: i) S f() f() (f ii) a R, tal qu f() a (f Logo: f é bijtora. * Cálculo da ivrsa. Sabmos qu: f() f() f (y), f (y), ssim: y y (f (y)), y (f (y)), y y (f (y)), y y (f (y)), y (f y, (y)) y, y y y, y f (y) y, y é ijtora) é sobrjtora) + d + a + b =, a + b + c + g =, d + a + f + c =, d =, a =, c + b = a + b + c + d + + f + g = + f + g = (a + b + c + d) + f + g = (, + +,) a + (b + c + d) + + f + g =,, + ( +,) + + f + g =,, + +, + + f + g =, + f + g =, GGE RESPONDE IT MTEMÁTIC 9 9. Dtrmi os valors d [, ] tais qu log tg() s(). log s tg s tg s tg s Caso : tg tg Caso : s tg tg,,,,

10 . s rtas r r são cocorrts o poto P, trior a um círculo. rta r tagcia o poto a rta r itrcpta os potos B C diamtralmt opostos. mdida do arco C é P md cm. Dtrmi a ára do stor mor d dfiido plo arco B. P cm C R O B r r F acos F a Mg qq o d cos qq cos d o a, d,d Mg a ε o = prmissividad létrica do vácuo. qq Mg a o a qq oa 9 9Mg Q Mg 9 q o a tg R R R Ára cm 9. figura mostra um sistma formado por dois blocos, B, cada um com massa m. O bloco pod dslocar-s sobr a suprfíci plaa horizotal od s cotra. O bloco B stá coctado a um fio itsívl fiado à pard, qu passa por uma polia idal com io prso ao bloco. Um suport vrtical sm atrito matém o bloco B dscdo smpr parallo a l, coform mostra a figura. Sdo µ o coficit d atrito ciético tr o bloco, a suprfíci, g a aclração da gravidad, = º matido costat, dtrmi a tração o fio após o sistma sr abadoado do rpouso. ERRT FÍSIC //. figura mostra uma chapa fia d massa M com o formato d um triâgulo quilátro, tdo um lado a posição vrtical, d comprimto a, um vértic articulado uma barra horizotal cotida o plao da figura. Em cada um dos outros vértics cotra-s fiada uma carga létrica q, a barra horizotal, a uma distâcia a / do poto d articulação, cotra-s fiada uma carga Q. Sdo as três cargas d msmo sial massa dsprzívl, dtrmi a magitud da carga Q para qu o sistma prmaça m quilíbrio. y y Calculado os torqus m toro d poto O: Bloco T N P F FB a a T f at O a P GGE RESPONDE IT MTEMÁTIC

11 Bloco B T FB PB y cos ab cos y Bloco B FB mab mg T maby Bloco ab a Tcos FB fat ma Ts N mg T a ab a D T cos FB N ma, FB ma B ma T cos ma N ma T cos N ma, N mg T Ts T cos (mg T Ts) ma D a ab y cos g Daí : T m cos T T cos (mg T Ts) m g cos m T cos Ts T T cos mg cos mg Ts mgcos s mgcos mgcos T cos T cos T cos s cos T,s mg mg GGE RESPONDE IT MTEMÁTIC