Teoria dos Jogos. Prof. Maurício Bugarin

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1 Toria dos Jogos Prof. Maurício Bugari Ca. 5. Jogos Diâmicos com Iformação Icomlta Rotiro Caítulo 5. Jogos Diâmicos com Iformação Icomlta Dfiição d Equilíbrio Baysiao Prfito Alicação: Jogos d sialização: O jogo br-quich Alicação: Barrira à Etrada Exrcício: Iformação rivilgiada m jogos Baysiaos (ENB)

2 Dfiição-Equilíbrio Baysiao Prfito Sjam π um rfil d stratégias µ um sistma d crças, dfiidos um jogo diâmico com iformação icomlta. O ar (π, µ) é um quilíbrio baysiao rfito, dotado or EBP, s: (i) Dado o sistma d crças µ, o rfil d stratégias π é sqücialmt racioal (ii) Dado o rfil d stratégias π, o sistma d crças é cosistt do oto d vista d Bays Sialização: O Jogo Br-Quich - c (V) q - {σ >/} {µ} {-λ} c {-σ} q {-µ} (P)

3 Sialização: O Jogo Br-Quich: Obsrvação: - (V) c q X {σ} Estratégia domiat!? {µ} - {-λ} c {-σ} q {-µ} (P) Sialização: O Jogo Br-Quich: Equilíbrio Sarador? - c (V) q - λ= {σ} {µ} µ= {-λ} c {-σ} q (P) X {-µ} Portato, ão xist quilíbrio sarador st caso!

4 Sialização: O Jogo Br-Quich: Equilíbrio Agrgador? - c (V) q - {σ} {µ} λ=σ >/ µ </ {-λ} c {-σ} q {-µ} (P) Sialização: O Jogo Br-Quich: Sialização custosa mas ficaz! - c (V) q - {σ} {µ} λ=σ >/ µ / {-λ} c {-σ} q {-µ} (P) EBP: (((c,c),(,)),(λ=σ, µ /)) 4

5 Dfiição-Equilíbrio Baysiao Prfito Sjam π um rfil d stratégias µ um sistma d crças, dfiidos um jogo diâmico com iformação icomlta. O ar (π, µ) é um quilíbrio baysiao rfito, dotado or EBP, s: (i) Dado o sistma d crças µ, o rfil d stratégias π é sqücialmt racioal (ii) Dado o rfil d stratégias π, o sistma d crças é cosistt do oto d vista d Bays Barrira à Etrada com iformação icomlta: Dmada ivrsa: =6-X Duas firmas: Mooolista: já o mrcado Etrat: dv dcidir s tra ou ão Custo d rodução: Etrat: c E (x E )=4x E Mooolista: dois tios Mos rodutivo: tio : c (x M )=8x M Mais rodutivo: tio : c (x M )=x M Portato: Ambos os tios d mooolista têm vatagm tcológica com rlação ao trat! Custo d trada: F=8 Iformação: Mooolista: cohc su tio o do trat Etrat: cohc su tio mas sab aas qu: Prob(M sr do tio )=ρ=/4 5

6 Barrira à Etrada com iformação icomlta Hiótss: ρ=/4 F=8 c E =4 M(8) M() {ρ } {-ρ} x x x M(8) E {-λ} M() x (4-x )x + (4-x )x (48-x )x + (48-x )x {µ} E {-µ} x E xʹ E x E xʹ E M M x M x M x M x M (4-x )x + (4-(x M +x E ))x M (6-(x M +x E ))x E -F (48-x )x + (48-(x M +xʹ E))x M (6-(x M +xʹ E))xʹ E-F Barrira à Etrada com iformação icomlta Hiótss: ρ=/4 F=8 M(8) M() {ρ } {-ρ} x x M(8) E {-λ} M() (4-x x x )x + (4-x )x (48-x )x + (48-x )x Obs: S E trar com alguma rob ão ula, tão CB=>µ=λ x M (4-x )x + (4-(x M +x E ))x M (6-(x M +x E ))x E -F {µ} E x E xʹ E x E xʹ E M x M {-µ} x M M x M (48-x )x + (48-(x M +xʹ E))x M (6-(x M +xʹ E))xʹ E-F Courot com ifo assimétrica: M cohc su tio, cohc o tio d E (c=4) Mas E sab aas qu M é: Do tio c =8 com robabilidad µ Do tio c = com robabilidad -µ 6

7 Duoólio d Courot : Etrat, E : Mooolista, M A =A =[,6] u ((x,x ),(c,c )=(6-(x +x ))x -F u ((x,x ),(c,c )=(4-(x +x ))x u ((x,x ),(c,c )=(6-(x +x ))x -F u ((x,x ),(c,c )=(48-(x +x ))x Prob[c ]=µ Duoólio d Courot {µ} { µ}... x x...! x! (6 (x +x ))x F (4 (x +x ))x! x! (6 (x +x ))x F (48 (x +x ))x 7

8 Duoólio d Courot: (x, (x, x )) Para o jogador : T ={4} : U (x, 4)= µ ( 6 ( x + x ) x + ( µ )( 6 ( x + x ) x F ( 6 µ x ( µ ) x ) x x F ( ) 6 x + x + µ x = Para o jogador têm-s T ={8,}. µ () S for do tio c =8 tão: U (x, 8)= ( 4 ( x + x ) x x + x 4 () = S for do tio c = tão: U (x, )= ( 48 ( x + x ) x x + x 48 () = Duoólio d Courot: (x, (x, x )) ( ) 6 x + x + µ x = µ () x + x 4 () = ENB: x + x 48 () = x = ( µ ), x = 6+ ( µ ), x = 9+ ( µ ) 8

9 Barrira à Etrada com iformação icomlta Hiótss: ρ=/4 F=8 M(8) M() {ρ } {-ρ} x x M(8) E {-λ} M() (4-x x x )x + (4-x )x (48-x )x + (48-x )x (4-x )x + [6+(-µ)] [+(-µ)][-(-µ)]-f (48-x )x + [9+(-µ)] [7+(-µ)][-(-µ)]-F Obsrv qu: λ{[+(-λ)][-(-λ)]-f} + (-λ) [7+(-λ)][-(-λ)]-F=[-(-λ)] -F Barrira à Etrada com iformação icomlta Hiótss: ρ=/4 F=8 M(8) M() {ρ } {-ρ} x x (4-x )x + 44 E {-λ} x (48-x )x + (48-x )x (4-x )x + [6+(-µ)] [+(-µ)][-(-µ)]-f (48-x )x + [9+(-µ)] [7+(-µ)][-(-µ)]-F 9

10 Barrira à Etrada com iformação icomlta Hiótss: ρ=/4 F=8 M(8) M() {ρ } {-ρ} x x (4-x )x + 44 E {-λ} (48-x )x (4-x )x + [6+(-µ)] [+(-µ)][-(-µ)]-f (48-x )x + [9+(-µ)] [7+(-µ)][-(-µ)]-F Barrira à Etrada com iformação icomlta: Equilíbrio sarador? Hiótss: ρ=/4 F=8 M(8) M() {ρ } {-ρ} x x (4-x )x + 44 E {-λ} (48-x )x (4-x )x + [6+(-µ)] [+(-µ)][-(-µ)]-f (48-x )x + [9+(-µ)] [7+(-µ)][-(-µ)]-F

11 Barrira à Etrada com iformação icomlta: Equilíbrio sarador? Hiótss: ρ=/4 F=8 M(8) M() {ρ } {-ρ} x x E {-λ} (48-x )x (4-x )x + [6+(-µ)] [+(-µ)][-(-µ)]-f (48-x )x + [9+(-µ)] [7+(-µ)][-(-µ)]-F Barrira à Etrada com iformação icomlta: Equilíbrio sarador? Hiótss: ρ=/4 M(8) M() {ρ } {-ρ} x = x = E {-λ} [6+(-µ)] [+(-µ)][-(-µ)] [9+(-µ)] [7+(-µ)][-(-µ)]-8

12 Barrira à Etrada com iformação icomlta: Equilíbrio sarador? Hiótss: ρ=/4 M(8) M() {ρ } {-ρ} x = x = CB:λ= CB:µ=λ= {λ =} E {-λ} [6+(-µ)] [+(- µ)][-(- µ)] [9+(-µ)] [7+(- µ)][-(- µ)]-8 Barrira à Etrada com iformação icomlta: Equilíbrio sarador? Hiótss: ρ=/4 M(8) M() {ρ } {-ρ} x = x = CB:λ= CB:µ=λ= {λ =} E {-λ} [9+(- µ)] [7+(- µ)][-(- µ)]-8

13 Barrira à Etrada com iformação icomlta: Equilíbrio sarador? Hiótss: ρ=/4 M(8) M() {ρ } {-ρ} x =4 x =4 CB:λ= CB:µ=λ= 4+44 {λ =} E {-λ} [6+(- µ)] [+(-µ)][-(-µ)] [9+(-µ)] [7+(-µ)][-(-µ)]-8 Barrira à Etrada com iformação icomlta: Equilíbrio sarador? Hiótss: ρ=/4 M(8) M() {ρ } {-ρ} x =4 x =4 CB:λ= CB:µ=λ= 4+44 {λ =} E {-λ} [6+(-µ)] [+(-µ)][-(-µ)]

14 Barrira à Etrada com iformação icomlta: Equilíbrio sarador? M(8) M() {ρ } {-ρ} x = x = {λ =} E {-λ} [9+(- µ)] [7+(- µ)][-(- µ)]-8 M(8) M() {ρ } {-ρ} x =4 x = {λ =} E {-λ} [6+(-µ)] [+(-µ)][-(-µ)] Barrira à Etrada com iformação icomlta: Equilíbrio agrgador? Hiótss: ρ=/4 M(8) M() {ρ } {-ρ} x =4 x =4 CB:λ=ρ CB:µ=λ=ρ 4+44 {λ =ρ} E {-λ} [6+(-λ)] [+(-λ)][-(-λ)] [9+(-λ)] [7+(-λ)][-(-λ)]-8 4

15 Barrira à Etrada com iformação icomlta: Equilíbrio agrgador? Hiótss: ρ=/4 M(8) M() {ρ } {-ρ} x =4 x =4 CB:λ=ρ CB:µ=λ=ρ 4+44 {λ =ρ} E {-λ} [6+(-λ)] [+(-λ)][-(-λ)] [9+(-λ)] [7+(-λ)][-(-λ)]-8 Obsrv qu: λ{[+(-λ)][-(-λ)]-f} + (-λ){[7+(-λ)][-(-λ)]-f}=[-(-λ)] -F Portato, s E trar sua utilidad srada srá: -7-/8=-7,5< Barrira à Etrada com iformação icomlta: Equilíbrio agrgador? Hiótss: ρ=/4 M(8) M() {ρ } {-ρ} x =4 x =4 CB:λ=ρ CB:µ=λ=ρ=/ {λ =ρ} E {-λ} [6+(-µ)] [+(-µ)][-(-µ)] [9+(-λ)] [7+(-µ)][-(-µ)]-8 Coclusão: Val a a ara o mooolista mos ficit s fazr assar or mais ficit! 5

16 EXP - JOGOS ESTÁTICOS COM INFO. INCOMPLETA Cosidr o jogo baysiao m qu dois jogadors odm star jogado cada um dos dois jogos a sguir com igual robabilidad ½. c d c d a,, 4, 4 b, 8, 6, 8 a 4, 4,, b, 8 8, 6, (i) Suoha iicialmt qu hum dos dois jogadors ossui iformação rcisa sobr qu jogo stá jogado, a ão sr a robabilidad x-at ½. Ecotr o quilíbrio d Nash (m stratégias uras) do jogo. Qual é o ayoff (srado) ara o jogador ss quilíbrio? c d c d a,, 4, 4 b, 8, 6, 8 a 4, 4,, b, 8 8, 6, Suoha qu joga a. Etão, S jogar sua utilidad srada srá./ + 4./= S jogar c sua utilidad srada srá./ +./= S jogar d sua utilidad srada srá 4./ +./= Portato, a MR é c Suoha agora qu joga b. Etão, S jogar sua utilidad srada srá./ + 8./=5 S jogar c sua utilidad srada srá 6./ + 6./=6 S jogar d sua utilidad srada srá 8./ +./=5 Portato, ovamt a MR é c 6

17 c d c d a,, 4, 4 b, 8, 6, 8 a 4, 4,, b, 8 8, 6, Suoha qu joga a, MR é c Suoha agora qu joga b, MR é c Dstart, tm uma stratégia domiat, qu é jogar c Por outro lado, quado joga c, a MR é b Portato, xist um úico ENB ss caso qu é (b, c) Os ayoffs (srados) corrsodts são: 8 ara o jogador 6 ara o jogador c d c d a,, 4, 4 b, 8, 6, 8 a 4, 4,, b, 8 8, 6, (ii) Suoha agora o stágio ítrim o jogador é iformado com xatidão m qu jogo s cotra, quato o jogador cotiua cohcdo aas a robabilidad x at ½. Dtrmi o quilíbrio d Nash (m stratégias uras) dss ovo jogo. Qual é o ayoff (srado) do jogador ss quilíbrio? Etão, s stivr o jogo à squrda o jogador tm uma stratégia domiat qu é jogar d, s stivr o jogo à dirita também tm uma stratégia domiat qu é jogar. Portato m qualqur ENB joga (d, ) Mas tão a MR à stratégia (d, ) d é jogar a Portato, xist um úico ENB ss caso qu é (a, (d, )) Os ayoffs (srados) corrsodts são: 4 ara o jogador 4 ara o jogador 7

18 c d a,, 4, 4 b, 8, 6, 8 c d a 4, 4,, b, 8 8, 6, (iii) Com bas os rsultados cotrados acima, classifiqu como vrdadira ou falsa a afirmação a sguir: Em qualqur jogo baysiao é smr vatajoso ara qualqur jogador sr mlhor iformado. Nss caso vimos qu ara o jogador foi ior tr sido iformado sobr o stado da aturza (4<6). Portato, m smr é vatajoso sr mlhor iformado. 8