TÓPICOS. Vectores livres. Vectores em Rn. Produto interno. Norma. Resulta da definição de produto interno entre vectores que:

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1 Not bm: a litra dsts apotamtos ão dispsa d modo algm a litra atta da bibliografia pricipal da cadira TÓPICOS Vctors lirs AULA 8 Chama-s a atção para a importâcia do trabalho pssoal a ralizar plo alo rsoldo os problmas aprstados a bibliografia, sm coslta préia das solçõs propostas, aális comparatia tr as sas rsposta a rspostas propostas, postrior xposição jto do doct d todas as dúidas associadas. Âglo d dois ctors. Vctors ortogoais. Vctors m R Prodto itro. Norma. Dsigaldad d Cachy-Schwarz. Dsigaldad triaglar. Âglo. Distâcia. Propridads. Espaço clidiao. Vctors ortogoais. Torma d Pitágoras. Prodto xtro d ctors m R. 8. Prodto itro m R. 8.. Vctors lirs. Figra 8. Rcord do Esio Scdário q chamamos âglo d dois ctors ão los, α, ao mor âglo formado por dois sgmtos oritados, com a msma origm, q rprstm os ctors, α π. Qado o âglo tr os dois ctors é rcto, α π, dizmos q os dois ctors são ctors ortogoais ( o ctors prpdiclars tr si). O prodto itro (o prodto scalar) d dois ctors ão los,, é m úmro ral dado por cos(α) m q α é o âglo tr os dois ctors os comprimtos d. O âglo d dois ctors ão los pod sr calclado a partir do prodto itro α arccos Rslta da dfiição d prodto itro tr ctors q: são ortogoais. (Dois ctors ão los são ortogoais ss ) > α < π < π < α π Prof. José Amaral ALGA A

2 8.. Prodto itro. Sdo (,,, ) (,,, ) dois ctors m R, dfiimos o prodto itro caóico (o sal) tr os dois ctors como a soma do prodto ordado das coordadas dsss ctors i + + i i + Propridads do prodto itro S,, w são ctors d.. ( + w) + w. α ( ) ( α) ( α) 4. ss R, α é m scalar ral, tão; Para ctors cola a otação matricial do prodto itro rslta, para ctors liha T + + [ ] + T + + [ ] + Exmplos. O prodto itro dos ctors + + é + ( ) + ( ) 6 O prodto itro tr ls é positio, logo, o âglo tr os ctors é α < π. Prof. José Amaral ALGA A

3 Obtríamos o msmo rsltado tdo m atção, por ispcção da figra q, α π 4, cos( α) Figra cos( π 4) O prodto itro tr os ctor + w + é w w ( ( )) + ( ) + w D otro modo, por obsração da figra, os ctors w formam tr si m âglo βπ, o sja, são ortogoais. Assim sdo cos( β ), plo q o prodto itro tr ls é lo. Utilizado a otação ctor cola, tmos >> [ ]'; >> [ ]'; >> '* as 6 >> w[- ]'; >> '*w as. O prodto itro tr os ctors (,,,) (,,, ) é: ( ) + ( ) + ( ) + ( ) >> [ - ]'; >> [- ]'; >> '* as Prof. José Amaral ALGA A

4 8.. Norma. Dsigaldad d Cachy-Schwarz. Dsigaldad triaglar. Dfi-s a orma clidiaa do ctor (,,, ) R, como i i Sdo ctors d R α m scalar ral, dmostra-s q a orma rifica as propridads:. ss. α α. (dsigaldad d Cachy-Schwarz ) (dsigaldad triaglar) Exmplos. A orma do ctor, com bas as sas coordadas, é dada, m R, por, m R por + Figra O ctor 6 + tm orma , o sja, tm comprimto igal a 45, tm rsor pod xprimir-s apas m fção do rsor como s sg Figra 8.4 Utilizado a otação ctor cola, tmos >> [6 ]' Prof. José Amaral ALGA A

5 Sdo a orma do ctor >> sqrt('*) 6.78, o simplsmt, tilizado a fção orm(), >> orm() 6.78, o sja, 45. O s rsor é: >> / , o sja, +. Podmos rificar q tm orma itária >> orm() as. 5. O ctor (,,, 4) tm orma >> [ - - 4]'; >> orm() as ( ) + ( ) Prof. José Amaral ALGA A

6 8.4. Âglo. Sdo ctors ão los d R, o âglo tr ls é α arccos Exmplos 6. Dscohcdo o âglo tr dois ctors, podmos calclá-lo com bas o prodto itro a orma dos ctors. Rtommos os ctors do xmplo. Tmos: 6 π α arccos arccos arccos Aliás, tdo m atção q a orma d m ctor pod sr calclada com bas o prodto itro,, podmos rcohcr q o âglo tr dois ctors pod sr calclado com bas m prodtos itros α arccos arccos ( )( ) >> orm(); >> orm(); >> alfaacos(('*)/(*)) alfa O âglo tr os ctors (,,,) (,,, ) é α arccos arccos ( )( ) arccos ((,,, ) (,,, ))((,,, ) (,,, )) arccos (4 )( 4 ) arccos arccos arccos(.4) >> [ - ]'; >> [- ]'; >> alfaacos(('*)/sqrt(('*)*('*))) alfa.98 Prof. José Amaral ALGA A

7 8.5. Distâcia. Propridads. Espaço clidiao. A distâcia clidiaa tr dois potos, x x, x,, x ) ( y ( y, y,, y ) R, também dita a distâcia tr os dois ctors cjas xtrmidads corrspodm a sts dois potos, é igal à orma do ctor por ls dfiido: i d( xy, ) x y ( x y ) + ( x y ) + + ( x y ) Sdo x, y z potos d ( x y ) i i R, dmostram-s as propridads:. d( xy, ) ( d( xy, ) ss x y). d( xy, ) d( yx, ). d( xy, ) d( xz, ) + d( zy, ) (dsigaldad triaglar ) O spaço ctorial R com o prodto itro atrás dfiido é dsigado por spaço clidiao, o spaço com métrica clidiaa. Exmplo 8. A distâcia tr os ctors (,,,) (,,, ) é d(, ) >> [ - ]'; >> [- ]'; >> dorm(-) d.747 ( ( )) + ( ) + ( ) + ( ) Prof. José Amaral ALGA A

8 8.6. Vctors ortogoais. Torma d Pitágoras. Dois ctors R são ctors ortogoais ss S R são ctors ortogoais tão: + + (torma d Pitágoras) Exmplos 9. Os ctors (,,, ), (,,, ) são ortogoais. Adoptado a otação matricial tmos (sado ctors cola) T [ ] + + Sdo os ctors ortogoais, podmos rificar o torma d Pitágoras T ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] T T ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] + [ ] ( ) + ( ) >> [ -]'; >> [ ]'; >> '* as >> (+)'*(+) as >> '*+'* as Prof. José Amaral ALGA A

9 8.7. Prodto xtro d ctors m R. O prodto xtro (o prodto ctorial) d dois ctors,, é m ctor com as sgits caractrísticas: S o, S são ão los:. Tm módlo s(α) Figra 8.5, sdo α o âglo formado plos dois ctors.. Tm dircção prpdiclar a a.. Tm stido dado pla rgra da mão dirita (o do saca rolhas). Propridads do prodto xtro.. k o o. ( ) ( ) Figra α ( ) ( α ) ( α ) 5. ( ) w ( w ) 6. ( + w) + w 7. ( + ) w w + w Dados dois ctors m R, , o prodto xtro tr ls pod sr calclado atraés do dtrmiat simbólico dt dt dt + ( ) + ( ) + dt + ( ) A orma d, s(α), é mricamt igal à ára do parallogramo dtrmiado por (r figra 6.4). Figra 8.7 Prof. José Amaral ALGA A

10 Prof. José Amaral ALGA A Exmplos. O prodto xtro tr os rsors, é dt dt O prodto xtro tr os rsors, é dt dt O prodto xtro pod sr calclado atraés da fção cross(,). >> [ ]'; >> [ ]'; >> cross(,) as

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