Módulo de Probabilidade Condicional. Probabilidade Condicional. 2 a série E.M.

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1 Módulo d Probabilidad Condicional Probabilidad Condicional. a séri E.M.

2 Módulo d Probabilidad Condicional Probabilidad Condicional Exrcícios Introdutórios Exrcício. Qual a probabilidad d tirarmos dois númros sis no lançamnto d dois dados, sabndo qu um dls caiu com um sis voltado para cima? Exrcício. Qual a probabilidad d tirarmos três cartas vrmlhas d um baralho comum complto d cartas, sabndo qu as duas primiras rtiradas trouxram cartas vrmlhas? Exrcício 3. Qual a probabilidad d tirarmos uma coroa no lançamnto d duas modas, sabndo qu a primira moda du cara? Exrcício. Um grupo musical com homns mulhrs foi classificado conform a tabla abaixo. Violão Trompt Homns 0 6 Mulhrs 7 9 Escolh-s ao acaso um dsss intgrants. Sabndo-s qu o scolhido toca trompt, qual a probabilidad d sr mulhr? Exrcício. Considrmos dois dados: um dls quilibrado todas as facs com probabilidad igual a 6 outro viciado, no qual o um tnha probabilidad igual a d acontcr, nquanto as outras facs têm probabili- dad igual a. Escolh-s um dos dados ao acaso s 0 ftuam dois lançamos, obtndo-s dois uns. Obsrv a árvor d probabilidads abaixo com os possívis vntos. Exrcícios d Fixação Exrcício 6. Uma prova é composta por qustõs do tipo vrdadiro falso. Calcul a probabilidad d acrtarmos todas as cinco s: a scolhrmos alatoriamnt a rsposta das prguntas? b scolhrmos alatoriamnt a rsposta das prguntas sabndo qu há mais vrdadiras do qu falsas? Exrcício 7. A urna A contém 7 bolas brancas 3 prtas. A urna B contém bolas brancas prtas. Passa-s uma bola, scolhida ao acaso, da urna A para a urna B, m sguida, rtira-s, também ao acaso, uma bola da urna B. Qual a probabilidad d qu a bola rtirada da urna B sja branca? Exrcício. Marina qur nviar uma carta a Vrônica. A probabilidad d qu Marina scrva a carta é d 0. A probabilidad d qu o corrio não prca é d 9 0. A probabilidad d qu o cartiro a ntrgu é d 9 0. Dado qu Vrônica não rcbu a carta, analis a árvor d probabilidads abaixo rsponda, qual é a probabilidad condicional d qu Marina não a tnha scrito?... 0 Escrv Não prd 0 Prd 9 0 Entrga Não ntrga 0 Não scrv Dado... Viciado Equilibrado = 6 6 = Dois uns Exrcício 9. Uma micromprsa é composta por pssoas, 3 mulhrs homns. Duas dssas pssoas srão nviadas para uma convnção. a Qual a probabilidad d slcionarm mulhrs? Qual a probabilidad d qu o dado scolhido tnha sido o viciado? b S 3 mmbros da micromprsa pudrm viajar, qual a probabilidad d scolhrmo xatamnt mulhrs?

3 3 Exrcícios d Aprofundamnto d Exams. Exrcício 0. Sab-s qu 0% dos pênaltis marcados a favor do Brasil são cobrados por jogadors qu jogam no Flamngo. A probabilidad d um pênalti sr convrtido é d 0% s for um jogador do Flamngo 70% caso contrário. Um pênalti a favor do Brasil acabou d sr marcado. a Qual a probabilidad do pênalti sr cobrado por um jogador do Flamngo sr convrtido? b Qual a probabilidad do pênalti sr convrtido? c O pênalti foi dsprdiçado, qual a probabilidad do qu o cobrador tnha sido um jogador do Flamngo? Exrcício. Uma rifa foi organizada ntr os 30 alunos da turma do Pdro. Para tal, 30 bolinhas numradas d a 30 foram colocadas m uma urna. Uma dlas foi, ntão, rtirada da urna. No ntanto, a bola caiu no chão s prdu uma sgunda bola tv qu sr sortada ntr as 9 rstants. Qual a probabilidad d qu o númro d Pdro tnha sido o sortado dsta sgunda vz? a b c d Exrcício. Lançam-s dois dados obsrva-s as facs voltadas para cima. A soma dos númros obtidos nssas facs é oito. Dssa forma, a probabilidad d qu as facs aprsntm por produto dos númros obtidos um númro par é: a. b 3. c. d. Exrcício 3. Em um jogo, uma moda honsta é jogada sguidamnt. Cada vz qu sai cara, o jogador ganha ral; cada vz qu sai coroa, o jogador ganha rais. O jogo trmina quando o jogador tivr acumulado ou mais rais. a Qual é a probabilidad d qu o jogador ganh xatamnt rais? b Qual é a probabilidad d qu no último lançamnto saia cara? c Dado qu o jogador ganhou xatamnt rais, qual é a probabilidad d qu tnha saído cara no último lançamnto?

4 Rspostas Soluçõs.. Basta trmos o sgundo dado com sis também, o qu ocorr com probabilidad 6.. No baralho d cartas, 6 são vrmlhas. Como já saíram duas vrmlhas, ntão tmos apnas vrmlhas dntr as 0 cartas rstants após as primiras rtiradas. Por fim, a probabilidad pdida é PVrmlho = 0 =. 3. Sjam A o vnto m qu o primiro lançamnto é uma coroa B o vnto m qu a sgunda moda é cara. Qurmos PB A = PA B PA = / / = /. Outra manira sria listar os possívis rsultando: KK, KC, CK CC; dstacando a ordm das ltras como a ordm d rsultado d cada moda. Como a primira du cara, as opçõs são KK KC. Como apnas uma dlas tm o qu foi pdido, a probabilidad procurada é.. Sja T o vnto qu ocorr s a pssoa scolhida toca trompt M s a scolhida for mulhr. Tmos qu PT = = 3 3 PT M = 9 3 portanto PT M PM T = = 9 PT = 3.. Tmos qu: P[obsrvar dois uns] = + P[obsrvar dois uns] = P[dado viciado obsrvar dois uns] = P[dado viciado obsrvar dois uns] =. A probabilidad procurada é ntão igual a P[dado viciado dois uns] = = Existm maniras d prnchrmos alatoriamnt um gabarito do tipo citado no problma. a Para acrtarmos todas alatoriamnt a probabilidad é 3. b Agora, o univrso é igual a + + = 6. 3 Então, a probabilidad procurada é igual a Adaptado do vstibular da FEI 0. Tmos dois cnários, a sabr: i passar uma bola branca d A para B sacar uma branca d B. Nss caso, tmos PA branca B branca = = 3 00 ;. ii passar uma bola prta d A para B sacar uma branca d B. Agora, chgamos a PA prta B branca = = 00. Por fim, o qu é pdido obtém-s com a soma dos casos. Tmos qu: P = = 7 00 = 7%. P[não rcb] = P[não rcb] = P[não scrv] = 0 P[não scrv não rcb] = P[não scrv não rcb] =. 9. O univrso das scolhas pod sr calculado como U = C = 0. Sja M o conjunto d todas as possívis duplas d mulhrs a srm formadas, ntão M = C 3 = 3, logo a PM = 3 = 30%. Além 0 disso, tmos duas opçõs ntr os homns para ocupar a nova vaga juntamnt com as duplas já postas na ltra a.então ficarmos com 3 = 6 trios possívis com duas mulhrs um homm, o qu gra PM H = 3 0 = 60%. 3

5 0. Sjam os vntos F = cobrador do Flamngo C = pênalti convrtido. a Dsja-s o rsultado d PF C qu é igual a PF C = PF PC F = 0, 0, = 0, Extraído do matrial do PROFMAT 0 Obsrv a árvor d probabilidads abaixo, na qual A rprsnta o rsultado cara B, coroa. A sgunda linha d cada tablinha indica o prêmio pago a dpndr do rsultado do lançamnto da moda a trcira linha a probabilidad acumulada para tr o rsultado ncontrado. b Dsja-s o rsultado d PF C + PF C qu é igual a PF C + PF C = PF PC F + PF PC F = 0, 0, + 0, 0, 7 = 0, 3 + 0, = 0, 6. c Por dfinição, PF C = PF C. Sndo assim, po- PC dmos fazr PC = 0, 0, 6 + 0, 0, 3 = 0,. PF C = 0, 0, 6 = 0,. Por fim, chgamos a PF C = 0, 0, = 9.. Extraído da OBM Inicialmnt, obsrv qu todos os alunos têm a msma probabilidad d srm sortados. Com o ocorrido tmos duas situaçõs, a sabr: i a probabilidad do númro d Pdro tr s prdido é igual a caso isso tnha acontcido a probabilidad dl ganhar é igual a 0; 30 ii a probabilidad do númro d Pdro NÃO tr s prdido é igual a 9 assim a probabilidad dl 30 ganhar é igual a 9. Por fim, ficamos a probabilidad da união dsss casos O qu stá na ltra B = 30.. Extraído do xam da AFA O spaço amostral após a condição fita é {, 6; 3, ;, ;, 3; 6, }, os vntos qu intrssam são os lmntos do conjunto {, 6;, ; 6, }. Portanto, a probabilidad pdida é igual a 3. O qu stá na ltra B. a Para calcular a probabilidad d qu o jogador trmin com xatamnt rais, basta somar as probabilidads dos nós m cinza qu têm ganho d rais. São ls: AAAA 6 BB, AAB. A soma fica 6., ABA, BAA b O jogo trmina com cara m todos os nós m cinza qu trminam com a ltra A. Então basta somar as probabilidads d cada caso. São ls AAAA, 6 ABA BAA, o qu dá 6. c Das situaçõs m qu o jogador trminou com rais, listadas m a, qu têm probabilidad d d 6 ocorrr, apnas AAAA, ABA BAA trminam com A cara, com probabilidad d. Então a probabilidad d s trminar com cara dado qu o jogador 6 trminou com rais é =. 6 6 Elaborado por Tiago Miranda Clbr Assis Produzido por Arquimds Curso d Ensino

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