Identifique todas as folhas Folhas não identificadas NÃO SERÃO COTADAS. Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa EXAME DE CÁLCULO I
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- Mario Gama Regueira
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1 Idtifiqu todas as folhas Folhas ão idtificadas NÃO SERÃO COTADAS Faculdad d Ecoomia Uivrsidad Nova d Lisboa EXAME DE CÁLCULO I Ao Lctivo º Smstr Exam Fial d ª Época m 5 d Maio 9 Duração: horas miutos É proibido usar máquias d calcular ou tlmóvis Não tha o su tlmóvl cosigo Não são sclarcidas dúvidas Simplifiqu os cálculos ao máximo Justifiqu smpr as suas rspostas Pod usar o vrso das folhas d xam Os rascuhos dvm star bm idtificados Não pod dsagrafar as folhas do xam
2 ( valors) Cosidr o cojuto Idtifiqu R [, [ { 5} a) O su itrior b) O su xtrior c) A sua frotira d) A sua adrêcia ) S é abrto ou fchado f) O úmro d vizihaças do poto x cotidas m g) Potos isolados R Rsolução a) ], [ b) ],, [ c) { 5,} d) R [, [ { 5} ) Não é abrto pois ão coicid com o su itrior. É fchado pois coicid com a sua adrêcia. f) Alf g) O úico poto isolado é o -5.
3 ( valors) Cosidr a sguit fução dada a forma implícita xy. f ( x ) y. g ( y ) 4587 Supoha qu lh é garatido qu y dfi uma fução d x, sja y h(x), vizihaça d crto poto ( x y )., uma Ecotr a xprssão d h ( x) dy Rsolução S s prtd h ( x) dy sta é a variávl y srá fução d x vamos drivar a xprssão m ordm a x tdo m atção qu [ xy. f ( x) y. g( ] [( x. f ( x) y. g( ] [( ) ( ) ] xy. f ( x) y. g( ( y xy ). f ( x) xyf ( x) y. g( yg ( y y xf yf ( x) xyf ( x) g( yg(
4 Rsolução Pla fórmula F dy x F y F ( x, xy. f ( x) y. g( 4587 dy yf xyf xf g yg 4
5 ( valors) Cosidr as sucssõs U x x U a) Rprst graficamt os três primiros trmos d U d. b) Calculs is limits d U, d. d U Rsolução x x a) U Logo U, 7. x x Logo 5
6 Graficamt: Para a sucssão U : o trmo U é dado pla ára a azul, o trmo U pla ára azul mais a ára amarla o trmo U plas áras azul amarla rosa. x x x Para a sucssão : o trmo é dado plas áras azul amarla vrd, o trmo U pla ára vrd mais a ára amarla o trmo U pla ára vrd. -x -x -x b) U x x ( ) x x ( ) 6
7 7 U
8 4 ( valors) Discuta d forma sucita a vracidad das sguits afirmaçõs a) Todos os cojutos d úmros rais formados plos trmos d uma sucssão são m úmro d alf têm itrior vazio b) Todo o poto adrt a um cojuto é poto d acumulação dss cojuto c) Uma fução ral d variávl ral só pod tr um xtrmo um poto od é difrciávl ou od as drivadas latrais são difrts mas fiitas d) S uma fução cotíua tm drivada fiita m R, tão é difrciávl m R Rsolução a) Todos os cojutos d úmros rais formados plos trmos d uma sucssão têm itrior vazio sjam m úmro ifiito ou ão. A fras é falsa. b) Todo o poto adrt a um cojuto é poto d acumulação dss cojuto é uma afirmação falsa. A adrêcia é a ruião do itrior com a frotira. Basta psar o cojuto {,, } Todos os potos são frotiros, o itrior é vazio, a adrêcia é l próprio ão há potos d acumulação. c) Falso! Cotra xmplo x tm drivadas difrts ifiitas o poto x o tato tm um miimo global st poto. d) S uma fução cotíua tm drivada fiita m R, tão é difrciávl m R. Claro, sta é a dfiição d fução difrciávl. 8
9 5 ( valors) Cosidr as duas fuçõs rais d variávl ral dfiidas os itrvalos idicados f x ( x) x [, ] f ( x) s x x [, ] Ecotr os potos h h d qu fala o torma da média para o Cálculo Itgral (também cohcido por torma da piscia agitada) m rlação às fuçõs f f mas vrifiqu qu ss cohcimto ão o ajuda a dtrmiar o corrspodt valor para a fução Rsolução s( x) f( x) f( x) h x x h ( ) ( ) l h ( ) h ( ) f ( h) si x sih h arcsi [ cos x] f ( h) sih 9
10 ( ) ( ) cos si x x x x ( ) ( ) si ) ( h h s h A quação m h ( ) ( ) si h h ão é rsolúvl por vias ormais d ada os srv o cohcimto d h d h.
11 6 ( valors) Escrva os itgrais qu lh prmitm calcular as áras das zoas assialadas por A B o sguit dsho. Não faça cálculos, limit-s aos itgrais sm squcr os rspctivos limits d itgração. A circufrêcia tm raio. y x A B y x Rsolução Itrscção da circufrêcia da curva y x Itrscção da circufrêcia da rcta o poto od o poto od x x x x x x
12 7 ( valors) Cosidr a quação iovadora fatasista ax y al( x ) ydy Dsvolva a fução y h(x) qu é solução dsta quação m séri d Mc Lauri até à sguda ordm iclusiv. Escrva a xprssão para o rspctivo rsto d Lagrag major-o. Rsolução ax ay y a l( x ) y h( x) l( x ) a l( x ) ydy ay l( x ) y Séri d McLauri até à sguda ordm x f ( x) ~ f () f () x f () x x l( x ) ~ x x Rsto d Lagrag x 6 x R f ( c), c ], x[! ( c )! 6 ( c ) é dcrsct m c, logo x a l( x ) l( x ) 6 x 6 x R < x ( c )! ( )! y
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