Equações Diferenciais Lineares

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1 Equaçõs Diriais Liars Rordmos a orma gral d uma quação dirial liar d ordm a d d d d a a a, I d d m qu as uçõs a i são idpdts da variávl. S, a quação diz-s liar homogéa. Caso otrário, diz-s liar omplta. Torma: Eistêia Uiidad Sjam P, P,, P, uçõs otíuas um itrvalo a b. Sjam aida ] a, b [,,,, úmros rais arbitrários. Nst aso, ist um úia ução a, b, qu é solução da quação, diida m ] [ d d d d P P P d d o itrvalo ] a, b [ qu satisaz as sguits odiçõs,,...,.

2 Diição: Sjam,,, uçõs rais d uma variávl ral drivávis, plo mos, até à ordm o itrvalo I. o Wroskiao das uçõs,,, é a ução ral d uma variávl ral diida m I por W,,...,, I. Proposição: Sjam,,, uçõs rais d uma variávl ral drivávis, plo mos, até à ordm o itrvalo I. S ist I tal qu W,,..., tão o sistma d uçõs {,,, } é liarmt idpdt m I. Corolário: Sjam,,, uçõs rais d uma variávl ral drivávis, plo mos, até à ordm o itrvalo I. S o sistma d uçõs {,,, } é liarmt dpdt m I tão W,,..., I. Cosidrmos a quação dirial liar homogéa d ordm a d d d d a a a, I d d Um sistma udamtal d soluçõs, m I, dsta quação é um qualqur sistma d soluçõs, m I, qu sjam liarmt idpdts.

3 Proposição: Sjam,,, soluçõs, m I, da quação,,, é um sistma W,,..., dirial liar d ordm. Etão { } udamtal d soluçõs, m I, d ss I. Proposição: Sjam p uma solução partiular, m I, d {,,, } um sistma udamtal d soluçõs, m I, d. Etão o ojuto d soluçõs d é { :,,..., IR}... p. Equaçõs Diriais Liars Homogéas d Coiits Costats No aso partiular dos oiits a i da quação dirial srm idpdts d, a quação dirial diz-s d oiits ostats pod srvr-s a d d d d d d a a a

4 Cosidrmos a sguit quação dirial d ª ordm, om oiits ostats homogéa a a. 3 Façamos orrspodr a sta quação dirial a sguit quação algébria λ a λ a, 4 qu s obtém, a partir d 3, substituido, por λ, λ λ, rsptivamt. A quação 4 domia-s quação aratrístia da quação 3. Emplo: Esrva a quação aratrístia da sguit quação dirial. A solução gral d 3 obtém-s dirtamt a partir das raízs d 4. Para tal há 3 asos a osidrar. Caso λ λ são ambos rais distitos. A solução gral é dada por λ λ. Caso λ λ λ são ambos rais. A solução gral é dada por λ λ.

5 Caso 3 λ α ± iβ, um par d raízs omplas. A solução gral é dada por α os β α s β Emplo: Obtha a solução gral das sguits quaçõs diriais. ; 8 6 ; Cosidrmos agora uma quação dirial d ordm, d oiits ostats homogéa b b b. 5 A quação aratrístia d 5 obtém-s substituido a drivada d j ordm j, da variávl dpdt, por λ j,,..., -. Emplo: Esrva a quação aratrístia da sguit quação 4 dirial 3.

6 Como o aso partiular, d uma quação dirial d ª ordm, a solução gral d 5 obtém-s a partir das raízs da quação aratrístia. S as raízs λ, λ,..., λ orm rais distitas a solução gral é dada por λ λ λ. 6 m S λ k é uma raiz d multipliidad m isto é, λ λ k é um ator da m quação aratrístia mas λ λ k ão é tão a sta raiz orrspod, a solução gral d 5, a prssão m λk m. S as raízs orm distitas, mas algumas orm omplas, solução gral é dada por 6. Mais uma vz, sts trmos podm sr ombiados d orma a origiarm trmos qu volvm sos osos. Emplo: Obtha a solução gral das sguits quaçõs diriais. 4 ; 4 9.

7 Equaçõs Diriais Liars d Coiits Costats Compltas Cosidrmos a sguit quação dirial liar, d oiits ostats omplta b b b, I. Sja p uma solução partiular da quação sja h a solução gral da quação homogéa orrspodt b b b. A solução gral d é: h p Como já sabmos obtr a solução gral, h, da quação homogéa, alta sabr omo obtr uma solução partiular da quação.

8 Método do Poliómio Aulador Diição: Sjam P D um poliómio dirial uma ução ral d variávl ral. Diz-s qu P D é um poliómio aulador para, ou qu P D aula s P D. Proposição: Sjam P D Q D dois poliómios diriais tais qu P D aula a ução Q D aula a ução. Etão o produto omposição P D Q D aula. Proposição:. Para IN, o oprador dirial uçõs D, aula ada uma das,,..., ;. Para IN α IR, o oprador dirial ada uma das uçõs D α, aula,,..., α α α ; 3. Para IN α, β IR, o oprador dirial [ D α β ], aula ada uma das uçõs α α os β, si β, α α os β,..., si β,..., α α os β ; si β.

9 Emplo: Obtha a solução gral das sguits quaçõs diriais. 4 ; ; ; ; 3 ; s 7 3 ; ; 8 4 os s s.

10 Método da Variação das Costats Arbitrárias Para usar st método ão é priso qu tha ormas spiais omo o método atrior. Cosidrmos, m primiro lugar, uma quação dirial liar, om oiits ostats omplta, d ordm, b b. Sja a solução gral da quação homogéa, orrspodt à quação. Proura-s uma solução gral om a orma, om uçõs a dtrmiar, a partir da rsolução do sguit sistma Emplo: Obtha a solução gral das sguits quaçõs diriais. 4, > os 3. ;

11 Est método também pod sr usado m quaçõs diriais d ords supriors. Sja a solução gral da quação homogéa, orrspodt a uma quação dirial liar om oiits ostats, d ordm omplta. Proura-s a solução gral om a orma om,..., uçõs a dtrmiar, a partir da rsolução do sguit sistma d quaçõs