Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa EXAME DE CÁLCULO I. Ano Lectivo º Semestre

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1 Faculdad d Ecoomia Uivrsidad Nova d Lisboa EXAME DE CÁLCULO I Ao Lctivo º Smstr Eam Fial d ª Época m d Jairo 9 Tópicos d Corrcção Duração: horas miutos É proibido usar máquias d calcular ou tlmóvis Não tha o su tlmóvl cosigo Não são sclarcidas dúvidas Simpliiqu os cálculos ao máimo Justiiqu smpr as suas rspostas Pod usar o vrso das olhas d am Os rascuhos dvm star bm idtiicados Não pod dsagraar as olhas do am Idtiiqu todas as olhas

2 Cálculo I Eam d Época, d Jairo 9.5 valors Prcha os spaços m braco com palavras d topologia a sguit ras: Frz m promoção!! Compr _adrêcias_, bba o rspctivo_itrior_ mas dit a _rotira_ o copoto!! Sja liz o _trior_!!!

3 valor Comt a sguit airmação: Uma ução dirciávl qu tha um trmo um crto poto ão admit aproimação d Talor ss poto pois ' o portato as drivadas d ordm suprior srão também zro. A airmação é alsérrima. S ' ada os diz qu as drivadas sguits também o sjam. Notar qu '' ão é a drivada do valor cocrto d '. A aproimação d Talor srá o o... Vja por mplo: 4 4! ' qu é zro m 4 Mas '' qu ão é zro!!! o!

4 valors Cosidr a sucssão U 9 5 a valor É ou ão vrdad qu os trmos dsta sucssão s aproimam cada vz mais d? Justiiqu Sim é vrdad! O primiro trmo da sucssão é < <, o it da sucssão é qu é mor qu a sucssão é moótoa crsct: U U >. Logo é vrdad qu a sucssao s aproima cada vz mais d 5 5 mbora isso ão quira dizr qu é o it. b valor Dtrmi a sucssão W qu dá, para cada, a distâcia tr U. 9 W U - dá-os para cada a distâcia tr U W ; sta sucssão td para 5 5 c.5 valor Dtrmi a sucssão V qu dá, para cada, a distâcia tr U U. 9 9 Dado qu U 5 5 Esta sucssão td para zro. 9, tão V d,5 valors Qual a dirça sscial tr W V? 4

5 A dirça sscial tr W V é qu W vai tdr para a distâcia tr 9, ou sja, V vai tdr para zro dado qu é a distâcia tr U o su it. 5

6 4 4 valors. Cosidr a ução : R R dada pla prssão, z ral a Rprst graicamt algus lmtos da amília d uçõs rais d variávl g diidas pla liha d ívl z, com >. z A amília d uçõs diidas pla liha d ívl z é dada por, com > Tratam-s d hipérbols simétricas m rlação ao io dos YY d domíio R \{ }.. Para ajudar a rprstar graicamt a amília d hipérbols, calcul a imagm para algus valors d, por mplo, corrspodt a dpois tt gralizar. Como s trata d uçõs pars, stará ao msmo tmpo a calcular a imagm corrspodt a. Liha d Nívl Algus Potos -,, -,, K -,K,K 4 4

7 7 b Prov qu,, d Ao trabalho!!!..,, d Provado! c Calcul a prssão gral do itgral d g [ ] d d d d g A prssão gral do itgral é dada por d g

8 d Vriiqu s ist, quado : g d g Para, tmos Assim, g d d d Calma, muita calma! Não avac! Atção ao domíio da ução a itgrar! Não srá um itgral impróprio? Hum O domíio da ução é R \{ }, plo acto do zro star o trmo irior do itrvalo d itgração tmos, d acto, um itgral impróprio! Assim: d l ε ε ε d l ε [ ε] [ ] [ l lε] ε ε g d divrgt 8

9 5 valors Calcul a sguit primitiva P [ ] l cos si ta. Coragm!!! Plo aspcto vê-s logo qu tm d sr um caso da FMQPDMNE!! A amosa primitiva qu parc diícil mas ão é. P l cos l cos [ si ta. ] P[ si ] P ta. P [ ] [ si ] P[ ta.cos ] P[ si ] P[ si ] Vamos por tapas: P [ si ] cos C [ ] P si pod sr rsolvido com rcurso à primitivação por parts. Diido u' si v, tmos u cos v '. [ si ] cos P[ cos ] cos si C P Assim, l cos P[ si ta. ] P[ si ] P[ si ] cos si cos cos si C C cos si cos C Not qu também é imdiato qu P l cos [. ] P l cos l cos l cos [ ' ] ta 9

10 4,5 valors Cosidr a ução a valor Escrva o su dsvolvimto m órmula d Talor d primira ordm m toro do poto a. Para a órmula d Talor d primira ordm m a [ ].. prcisamos d b valor Escrva mas ão aça os cálculos! a prssão umérica com qu calcularia 7 basado a alía atrior. Primiro há qu otar qu 7, ou sja, é o osso o osso. Usado a órmula atrior tmos: 7 7 Curiosidad: 7.8 ;

11 c valor Basado m a, scrva a órmula d McLauri d primira ordm para. Estamos agora a azr uma aproimação m toro do poto a. Prcisamos d d. 4 8 A ormula d McLauri é 4 8 d,5 valors Calcul, pla diição, a drivada da ução o. poto Pla diição a drivada srá dada por: h h h Em tmos h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h

12 7 5 valors Cosidr a ução ral d variávl ral m { } a valors Sja A, R : m. Calcul o itrior, rotira, trior, adrêcia, drivado do cojuto A. É um cojuto abrto ou chado? it A {}, R,, R, R { : } A { R : } { } { } r A t A : A : A É um cojuto chado, pois A ão é abrto porqu ão coicid com o su itrior. A b,5 valors Aplicado a órmula d McLauri à ução m, mostr qu. Vamos comçar por dsvolvr a ução m m séri d McLauri, como sugrido: m m m m... m m m m m m m... m c c

13 m! m m m m... m R!!!!...! c!!!...! c! Como vou qurr studar o comportamto da ução quado td para zro, mas sm uca lá chgar, posso dividir ambos os mmbros da quação por : c...!!!! Agora, s ambos as uçõs à squrda à dirita são iguais, o su it quado td para zro também srá igual: c...!!!! À cpção da primira, todas as parclas do lado dirito dsaparcm icluido o rro, quado td para zro, Como quria dmostrar! c.5 valors Sja a sucssão U l 4 m u.. Calcul [ ] U m U U, porqu a ução pocial é cotíua m todo o su domíio. Assim, vamos coctrar-os primiro o cálculo d l 4 l 4 U. U l 4

14 l [ l ] Assim, o it pdido srá: U U [ m U ] d valor Cosidr a sguit prssão qu rlacioa as variávis d orma implícita: m l. Vriiqu qu sta prssão di como ução d, g, localmt o poto,,. g. Calcul O poto,, vriica m l l Aplicado o Torma da drivada da ução implícita, lmbrado smpr qu st caso é a ' variávl dod ' g é uma ução composta dod '., vm sucssivamt: l 4

15 Avaliado a prssão cotrada quado,, : g valor Admita agora qu ist localmt d d m toro do úico poto cohcido. Estim a variação m dcorrt d um dcréscimo d,4 uidads m a partir dst poto, rcorrdo ao rsultado da alía atrior. Plo Torma da Drivada da Fução Ivrsa, g. Etão, d,4 5