Módulo 14. Exercícios. 1. Determine a região de convergência da série. Sendo. , a série tem coeficientes. a n. Pelo que o seu raio de convergência é

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1 Not bm a litra sts apotamtos ão ispsa moo algm a litra atta a bibliograia pricipal a caira hama-s à atção para a importâcia o trabalho pssoal a raliar plo alo rsolo os problmas aprstaos a bibliograia sm coslta préia as solçõs propostas aális comparatia tr as sas rsposta a rspostas propostas postrior posição to o oct toas as úias associaas. Mólo TÓPIOS Fçõs complas iias por séris Séri Talor. Séri Lart. Toria os rsios. Torma os rsíos. Aplicaçõs o torma os rsíos Ercícios.. Dtrmi a rgião corgêcia a séri! So a séri tm coicits! a!! Plo q o s raio corgêcia é R a a!!!! Pro. José Amaral MAT M - --8

2 M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Pro. José Amaral MAT M R O raio corgêcia é iiito o sa a séri é absoltamt corgt para toos os alors.. a Dtrmi o solimto m séri Lart a ção m toro a origm. Qal é o raio corgêcia a séri? b alcl a Vamos ar o solimto m séri Lart com bas o cohcimto a soma a séri gométrica para < So para < < < <. E aia O raio corgêcia é R o sa igal à istâcia tr a origm o pólo mais próimo. b So cohcio o solimto m séri Lart álio a rgião q cotém o cotoro o cálclo o itgral é imiato. So a

3 M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D tmos a plo q ato ao torma os rsíos ao 9 q é o úico pólo tro o cotoro rs a 9 O msmo rsltao atralmt q rsltaria. Mostr q rs 9 s Proco à maça ariál com [ ] plo q s tmos s alclao os ros o omiaor ± ± 8 ± Pro. José Amaral MAT M - --8

4 M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Pro. José Amaral MAT M rslta s To m atção q apas o pólo plo stá tro o círclo itário calclao o rsío corrspot !! rs k k k k Rslta s. So cos a Mostr q é ma ção harmóica m R. b Dtrmi tal q sa ma ção aalítica c alcl a Pomos riicar q a ção R R : é ma ção harmóica m R cos cos s cos cos cos b om bas as qaçõs ach-rimma

5 M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Pro. José Amaral MAT M pomos trmiar a sa ção harmóica cogaa. So s cos rslta s cos g s s h plo q c s logo s cos c So c c s cos tão c plo q s cos s cos o aia so q é ma ção aalítica m o sa itira. c O itgral

6 M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D É acilmt calclao com bas as rlaçõs itgrais ach o o torma os rsíos. So ma ção aalítica o itrior a circrêcia rcorro às rlaçõs itgrais ach tmos a a!. To m atção a igra M. a calcl! a b Figra M. So ma ção aalítica m o itgral ão p o prcrso poo sr aplicao o torma amtal o cálclo itgral. osirmos ma qalqr cra simpls tr os potos por mplo a circrêcia : com moo a q a cocatação com costita ma liha chaa [ ]. So ma ção aalítica a rgião itrior a rslta o torma ach plo q icao assim o cálclo o itgral liha sigiicatiamt simpliicao. Um moo mais simpls aborar o problma sria tr m atção q so ma ção itira o itgral ão p o prcrso mas apas os potos iicial ial. Ato ao torma amtal o cálclo itgral tmos [ ] Pro. José Amaral MAT M - --8

7 M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D. alcl A ção tm ma siglaria sscial m portato tro o circlo raio. Assim so ao q ato ao torma os rsíos rs a amos calclar o coicit a o solimto m séri Lart a ção m toro. So rslta!!!!!!!!!!!!!!!! So rslta a a Pro. José Amaral MAT M

8 M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D 7. So alcl a b c a Qalqr as alías tm ma aboragm iêtica basaa m cosiraos q olm o torma ach as rlaçõs itgrais ach o o torma os rsíos. A ção b tm m pólo plo m. Assim pólos simpls m a So ma ção aalítica o itrior o círclo raio itário cto rslta o torma ach q c Figra M. b Dao q o itrior o círclo raio itário cto tm apas m pólo rslta as rlaçõs itgrais ach q b b b b O altratiamt com bas o torma os rsíos rs c Dao q o itrior o círclo raio itário cto tm apas m pólo plo rslta as rlaçõs Pro. José Amaral MAT M

9 M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Pro. José Amaral MAT M itgrais ach q! c c c c O altratiamt com bas o torma os rsíos! rs Dao q o itrior o círclo raio itário cto tm apas m pólo rslta as rlaçõs itgrais ach q b b O altratiamt com bas o torma os rsíos rs To m atção os rsltaos as alías atriors tmos

10 M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Pro. José Amaral MAT M rs i i 8. alcl s s Rscro a prssão s s s Eiciamos q m a ção tm as siglarias rmoíis m pólo plo como pomos riicar rcorro às rspctias iiçõs s s s s s Dao q o pólo plo stá o itrior a circrêcia tmos ato ao torma os rsíos s s! rs s s

11 M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Pro. José Amaral MAT M Dtrmi o omíio a ção alclao as raís o omiaor rlmbrao q k ρ tmos k k com k rslta plo q o omíio a ção é ± ±. alcl Tmos. alcl so [ ] : So ma ção aalítica m o itgral ão p o prcrso poo sr aplicao o torma amtal o cálclo itgral. So tmos

12 M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Pro. José Amaral MAT M alcl so Vamos riicar as qaçõs ach-rima. Tmos plo q s riicam as qaçõs ach-rima. So toas as riaas parciais cotías m é ma ção itira. Assim so ato ao torma ach. So calcl a b c O omiaor tm ros m plo q tm m pólo simpls m m pólo plo m. Tmos tão;

13 M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Pro. José Amaral MAT M a A ção ão tm siglarias o itrior a circrêcia logo b A ção tm m pólo plo o itrior a circrêcia logo! rs c A ção tm m pólo o itrior a circrêcia logo rs. Dtrmi o itralo corgêcia a séri potêcias A séri tm coicits a plo q o s raio corgêcia é a R Assim so o itralo corgêcia é <.

14 M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Pro. José Amaral MAT M Dsola a ção m séri potêcias So! Etão!!!. Sa a Dtrmi classiiq as siglarias. b alcl c alcl a Rscro a prssão Eiciamos q m a ção tm ma siglaria rmoíl m a ção tm m pólo plo como pomos riicar rcorro às rspctias iiçõs b Dao q a ção é aalítica o a circrêcia tmos

15 M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Pro. José Amaral MAT M c Dao q o pólo plo stá o itrior a circrêcia tmos ato ao torma os rsíos! rs 7. Sa a Dtrmi a séri Lart m toro. b alcl a So! tão!!! b So!!!! tão! a plo q a rs 8. Mostr q s Proco à maça ariál com [ ] plo q

16 M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Pro. José Amaral MAT M s tmos s alclao os ros o omiaor 8 ± ± ± ± ± rslta s To m atção q apas os pólos ± stão tro o círclo itário calclao os rsíos corrspots

17 M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Pro. José Amaral MAT M rs rs Rslta rs rs s 9. So a Mostr q é ma ção harmóica m R.

18 M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Pro. José Amaral MAT M b Dtrmi a ção itira ca part ral é ca part imagiária é tal q c alcl a So tmos b om bas as qaçõs ach-rimma pomos trmiar a sa ção harmóica cogaa. So rslta g h plo q c So c tão c plo q

19 M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Pro. José Amaral MAT M Logo q é ma ção aalítica m ao as riaas parciais srm cotías m. c O itgral Po sr calclao com bas o torma os rsíos. Daa a istêcia m pólo plo m tmos! rs Rsltao as qaçõs ach-rima q tão

20 M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Ato-Aaliação. Fórmlas itgrais ach Eq. ach-rima Driaa compla a a Fçõs harmóicas a a! Séri Gométrica Séri Talor < a ; a! S. Potêcias: raio corgêcia Séri Lart R a ; a R a a ; a Itgral Liha Séris Potêcias b t t t a! ; cos! ; s! Torma os rsíos k k a rs ; rs k! k i i Aplicaçõs T. rsíos ; ; cos ; s. alcl a b c s. So a Mostr q é ma ção harmóica m R. b Dtrmi tal q sa ma ção itira c alcl Solçõs a ; b ; c ; ; c Pro. José Amaral MAT M - --8

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